数学广东省汕头市潮南实验学校学年高二上学期期中考试理.docx
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数学广东省汕头市潮南实验学校学年高二上学期期中考试理
广东省汕头市潮南实验学校2017-2018学年
高二上学期期中考试(理)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知集合A={x|x2<4,x∈R},B={x|(x+3)(x-1)>0},则A∩(∁RB)=( )
A.(-∞,-3)∪(1,2)
B.[-3,1]
C.(1,2)
D.(-2,1]
2.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21
B.42
C.63
D.84
4.四边形ABCD中,=,且||=||,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
5.已知实数x,y满足条件,则z=2x+y+3的最大值是( )
A.3
B.5
C.7
D.8
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,则公差d等于( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.2
7.已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,则2x+4y的最小值是( )
A.8
B.6
C.3
D.4
8.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象( )
A.关于点(,0)对称
B.关于点(-,0)对称
C.关于直线x=-对称
D.关于直线x=对称
9.已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则cos2θ的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )
A.6π
B.5π
C.4π
D.3π
11.已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( )
A.{-,}
B.{,-}
C.{-,,}
D.{-,-,}
12.已知x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22取最小值时,实数m的值是( )
A.2
B.
C.-
D.-1
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.以点(1,3)和(5,-1)为端点的线段的中垂线的方程是______.
14.某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如图所示,若130~140分数段的人数为90人,则90~100分数段的人数为______.
15已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,有下列命题:
①若m,n平行于同一平面,则m与n平行;
②若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
③若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线;
④若α∩β=n,m∥n,则m∥α且m∥β;
⑤若m∥n,α∥β,则m与α所成角等于n与β所成角.
其中真命题有______.(填写所有正确命题的编号)
16.自圆x2+y2=4上点A(2,0)引此圆的弦AB,则弦的中点的轨迹方程为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.在△ABC中,角A,B,C的所对的边分别为a,b,c,且a2+b2=ab+c2.
18.已知等差数列{an}的公差为2,若a2,a3,a6成等比数列
19.已知函数f(x)=1+2sinxcosx-2sin2x,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若把f(x)向右平移个单位得到函数g(x),求g(x)在区间[-,0]上的最小值和最大值.
20.已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
(1)求证:
MN∥平面A′ACC′;
(2)求证:
A′N⊥平面BCN.
(3)求三棱锥C-MNB的体积.
21已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,
当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
22.已知圆C:
x2+y2-2x+4y-4=0,
(1)求直线2x-y+1=0截圆C所得的弦长.
(2)是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点?
若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题(每题5分,共60分)
1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.D
二、填空题(每题5分,共20分)
13.x-y-2=0
14.810
15.②⑤
16.(x-1)2+y2=1,(x≠2)
三、解答题(17题10分,18-22每题12分,共70分)
17.(10分)
解:
(Ⅰ)∵a2+b2=ab+c2,a2+b2-c2=ab,
∴cosC==,
∵C为△ABC内角,
∴C=,
则tan(C-)=tan(-)==2-;…………5分
(Ⅱ)由ab+3=a2+b2≥2ab,得ab≤3,
∵S△ABC=absinC=ab,
∴S△ABC≤,
当且仅当a=b=时“=”成立,
则S△ABC的最大值是.…………10分
18.(12分)
解:
(1)由题可知a3=a2+2,a6=a2+8,
因为a2,a3,a6成等比数列,
所以(a2+2)2=a2(a2+8),解得a2=1,
所以an=a2+(n-2)d=2n-3;…………6分
(2)由
(1)可知=•=(-),
所以Sn=(-1-1+1-+-+…+-)=(-1-)=,
所以.…………12分
19.(12分)
解:
(Ⅰ)∵函数f(x)=1+2sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+),
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,求得kπ-≤x≤kπ+,
可得函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z;
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,
可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.…………6分
(Ⅱ)若把函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数
g(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-)的图象,
∵x∈[-,0],∴2x-∈[-,-],∴sin(2x-)∈[-1,],
∴g(x)=2sin(2x-)∈[-2,1].
故g(x)在区间上的最小值为-2,最大值为1.…………12分
20.(12分)
(1)证明:
如图,连接AB′,AC′,
∵四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
∴AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点,
∴MN∥AC′,
又MN⊄平面A′ACC′,且AC′⊂平面A′ACC′,
∴MN∥平面A′ACC′.…………4分
(2)解:
直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
可得A′N⊥B′C′,A′N⊥CC′,B′C′∩CC′=C′,
∴A′N⊥平面B′C′CB
∴A′N⊥平面BCN…………8分
(3)解:
由图可知VCMNB=VMBCN,
∵∠BAC=90°,∴BC==2,
又三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
∴S△BCN=×2×4=4.
∵A′B′=A′C′=2,∠B′A′C′=90°,点N为B′C′的中点,
∴A′N⊥B′C′,A′N=.
由
(2)知A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点,
∴M到平面BCN的距离为,
∴VCMNB=VMBCN=×4×=.…………12分
21.(12分)
解:
(1)由已知得,方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两个根为-3,2,
则
解得a=-3,b=5,
∴f(x)=-3x2-3x+18;…………4分
(2)由已知得,不等式-3x2+5x+c≤0的解集为R,
所以△=52-4×(-3)×c≤0,
∴c≤-,即c的取值范围为(-∞,-],…………8分
(3)y==
=-3×(x+)
=-3×[(x+1)+-1],
因为x>-1,(x+1)+≥2,
当且仅当x+1=,即x=0时取等号,
∴当x=0时,ymax=-3.…………12分
22.(12分)
解:
(1)圆C:
x2+y2-2x+4y-4=0的圆心C(1,-2),半径r==3,
圆心C(1,-2)到直线2x-y+1=0的距离d==,
∴弦长为:
2=2=4.…………4分
(2)假设存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点,
设直线l的方程为:
y=x+b,
2x2+(2b+2)x+b2+4b-4,①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴y1y2=(x1+b)(x2+b)
=
=,
又∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0,
∴=0,
解得b=1或b=-4,
把b=1和b=-4分别代入①式,验证判别式均大于0,故存在b=1或b=-4,
∴存在满足条件的直线方程是:
y=x-4或y=x+1…………12分