无锡2011-2012第二学期期初教学质量调查卷高三数学.doc
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无锡市2011～2012学年第二学期期初教学质量调查卷
高三数学
2012.02
注意事项及说明：
1.考试前请将答卷纸上密封线内的项目填写清楚．
2.试卷共160分，考试时间120分钟．
3.请用0.5毫米黑色水笔在答卷纸上规定的区域内答题．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）
1．若全集，集合，，则集合=▲．
2．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的_____▲条件．
（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
图1
3．如图1,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为___▲_____.
4．已知，，若，
则正数的值等于▲．
图2
5．如图2所示的算法流程图中，若则的值等于▲．
6．已知正六棱锥的底面边长为1，
侧面积为3，则该棱锥的体积为▲．
7．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为，，
设，则满足的概率为▲．
8．已知函数的图像关于直线对称，且为函数的一个零点，则的最小值为▲．
9．设圆：
的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为▲．
10．已知数列满足，则该数列的前10项的和为▲．
11．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为▲．
12．如图3都是由边长为1的正方体叠成的图形
图3
例如第
（1）个图形的表面积为6个平方单位，第
（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第个图形的表面积是__________个平方单位．
13．如图4，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成
等腰梯形的形状，记，梯形面积为．
则的最大值是▲．
14．已知，且，，
则的值等于▲．图4
二、解答题（本大题共6小题，满分90分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围；
（II）求函数的最大值及取得最大值时的值．
16．如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，
为线段的中点，为线段的中点．
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）当的比值为多少时，平面，
并说明理由．
17．一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治。
经调研，该厂第一个月的污染度为，整治后前四个月的污染度如下表；
月数
1
2
3
4
……
污染度
60
31
13
0
……
污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
，，，其中表示月数，分别表示污染度．
（参考数据：
）
（Ⅰ）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
（Ⅱ）如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？
18．已知双曲线：
的左焦点为，左准线与轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线与直线交于点，且为线段的中点，求直线被圆所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点，使得对圆上任意的点有？
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）当时,研究的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
；
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，
是和的等比中项．
（Ⅰ）证明：
数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）设集合，，且，若存在∈，使对满足的一切正整数，不等式恒成立，试问：
这样的正整数共有多少个？
无锡市2011～2012学年第二学期期初教学质量调查卷
高三数学参考答案及评分标准
2012.02
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请直接将答案填在题中的横线上）
1、 2、充分不必要 3、874、5、9
6、 7、 8、29、410、77
11、 12、13、 14、2
二、解答题（本大题共6小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．解：
（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由，，…………………………………2分
可得， …………………………………4分
． …………………………………6分
（Ⅱ）……………8分
．…………10分
，，当时，………………12分
有． ………………………………14分
16．（Ⅰ）证明：
连接,由题意可知点为的中点．因为点为的中点．
在中，．……………………………………………………………２分
又面，，．……………………６分
（Ⅱ）当时，．………………………………………７分
四边形为菱形，且，．
四棱柱为直四棱柱，四边形为矩形．
又，，
四边形为正方形，……………………10分
在直四棱柱中，，，
四边形为菱形，．
，．
，，又，．…………………13分
．…………14分
17．（Ⅰ）…………3分
…………6分
由此可得更接近实际值，所以用模拟比较合理.…………7分
（Ⅱ）因在上是增函数，又因为………12分
这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，
故应在2012年5月起开始再次整治．……………………………………………………14分
18.解：
（Ⅰ）由双曲线E：
，得：
，，．……2分
又圆C过原点，所以圆C的方程为．……………………4分
（Ⅱ）由题意，设，代入，得，…………5分
所以的斜率为，的方程为．………………6分
所以到的距离为，……………………………………7分
直线FG被圆C截得的弦长为……………………………9分
（Ⅲ）设P（s,t）,G（x0,y0）,则由，得
整理得3（x02+y02）+（48+2s）x0+2ty0+144-s2-t2=0.①………………11分
又G（x0,y0）在圆C:
（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0②
②代入①，得（2s+24）x0+2ty0+144-s2-t2=0.……………………………………13分
又由G（x0,y0）为圆C上任意一点可知，…………………………14分
解得：
s=-12,t=0.…………………………………………………………………15分
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12,0）．……………………………16分
19．解：
（Ⅰ），……1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增…………3分
∴的极小值为……4分
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴，……5分
令，，…………6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，，在上单调递增………7分
∴………9分
∴在
（1）的条件下，……………………………10分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
①当时，，所以，所以在上单调递减，
，（舍去），
所以，此时无最小值.……12分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.……14分
③当时，，所以，
所以在上单调递减，，（舍去），
所以，此时无最小值.……15分
综上，存在实数，使得当时有最小值3.……16分
20．解：
（Ⅰ）由已知，，且．…………………………………1分
当时，，解得．…………………………………2分
当时，有．
于是，即．
于是，即．
因为，所以．
故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且．……………………4分
（Ⅱ）因为，则，…………………………5分
所以．……7分
因为随着的增大而增大，所以当时取最小值．
故原不等式成立．………………10分
（Ⅲ）由，得，所以．…12分
由题设，，，…，，，，…，．
因为∈M，所以，，…，均满足条件．………………14分且这些数组成首项为，公差为的等差数列．
设这个等差数列共有项，则，解得．
故集合M中满足条件的正整数共有450个．…………………16分
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