NOIP提高组试题及解析.docx
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NOIP提高组试题及解析
NOIP2007提高组试题及解析
1.统计数字（count.pas/c/cpp）
【问题描述】
某次科研调查时得到了n个自然数，每个数均不超过（1.5*109）。
已知不相同的数不超过10000个，现在需要统计这些自然数各自出现的次数，并按照自然数从小到大的顺序输出统计结果。
【输入】
输入文件count.in包含n+1行；
第一行是整数n，表示自然数的个数；
第2~n+1每行一个自然数。
【输出】
输出文件count.out包含m行（m为n个自然数中不相同数的个数），按照自然数从小到大的顺序输出。
每行输出两个整数，分别是自然数和该数出现的次数，其间用一个空格隔开。
【输入输出样例】
count.in
8
2
4
2
4
5
100
2
100
count.out
23
42
51
1002
【限制】
40%的数据满足：
1<=n<=1000
80%的数据满足：
1<=n<=50000
100%的数据满足：
1<=n<=，每个数均不超过1500000000（1.5*109）
【解题思想1】显然，此题可以用排序的方法来解决，根据n的范围，可以看出，O（nlogn）的算法是可以接受的。
【解题思想2】维护一个二叉树，以数的大小作为节点的权值，以数的重复次数作为节点的附加信息。
之后中序遍历即可。
看起来，树内的节点个数应该不到n，所以可能表现不错，其算法复杂度依然为O（nlogn）
【实际数据规模】挺小的，而且也没有传说中的卡Qsort的数据，全部都很温柔。
【分析】这个题目实在不能说是一道TG组的好题。
实际上，个人认为题目最大的意义在于：
提供了10个测试排序算法的不怎么特别好的数据。
话说回来，此题是送分题，但是送分题送的这么水，考察的也就只有OIers的细心程度了。
在考试的时候，要相信有简单的题目，要相信有直接的算法。
在我的身边就有几个同学因为这个题目与一等失之交臂，这是最可惜的事情。
vara:
array[1..]oflongint;
i,j,k,m,n:
longint;
procedureqsort（s,t:
longint）;
vari,j,mid,temp:
longint;
begin
i:
=s;j:
=t;mid:
=a[（s+t）div2];
whilei<=jdo
begin
whilea[i] whilea[j]>middodec（j）;
ifi<=jthen
begin
temp:
=a[i];a[i]:
=a[j];a[j]:
=temp;
inc（i）;dec（j）;
end;
end;
ifiifj>sthenqsort（s,j）;
end;
begin
readln（n）;
fori:
=1tondoreadln（a[i]）;
qsort（1,n）;
a[n+1]:
=maxlongint;
k:
=1;
fori:
=2ton+1do
ifa[i]<>a[i-1]then
beginwriteln（a[i-1],'',k）;k:
=1;end
elsek:
=k+1;
end.
2.字符串的展开（expand.pas/c/cpp）
【问题描述】
在初赛普及组的“阅读程序写结果”的问题中，我们曾给出一个字符串展开的例子：
如果在输入的字符串中，含有类似于“d-h”或者“4-8”的字串，我们就把它当作一种简写，输出时，用连续递增的字母获数字串替代其中的减号，即，将上面两个子串分别输出为“defgh”和“45678”。
在本题中，我们通过增加一些参数的设置，使字符串的展开更为灵活。
具体约定如下：
（1）遇到下面的情况需要做字符串的展开：
在输入的字符串中，出现了减号“-”，减号两侧同为小写字母或同为数字，且按照ASCII码的顺序，减号右边的字符严格大于左边的字符。
（2）参数p1：
展开方式。
p1=1时，对于字母子串，填充小写字母；p1=2时，对于字母子串，填充大写字母。
这两种情况下数字子串的填充方式相同。
p1=3时，不论是字母子串还是数字字串，都用与要填充的字母个数相同的星号“*”来填充。
（3）参数p2：
填充字符的重复个数。
p2=k表示同一个字符要连续填充k个。
例如，当p2=3时，子串“d-h”应扩展为“deeefffgggh”。
减号两边的字符不变。
（4）参数p3：
是否改为逆序：
p3=1表示维持原来顺序，p3=2表示采用逆序输出，注意这时候仍然不包括减号两端的字符。
例如当p1=1、p2=2、p3=2时，子串“d-h”应扩展为“dggffeeh”。
（5）如果减号右边的字符恰好是左边字符的后继，只删除中间的减号，例如：
“d-e”应输出为“de”，“3-4”应输出为“34”。
如果减号右边的字符按照ASCII码的顺序小于或等于左边字符，输出时，要保留中间的减号，例如：
“d-d”应输出为“d-d”，“3-1”应输出为“3-1”。
【输入】
输入文件expand.in包括两行：
第1行为用空格隔开的3个正整数，一次表示参数p1，p2，p3。
第2行为一行字符串，仅由数字、小写字母和减号“-”组成。
行首和行末均无空格。
【输出】
输出文件expand.out只有一行，为展开后的字符串。
【输入输出样例1】
expand.in
121
expand.out
abcs-w1234-9s-4zzabcsttuuvvw89s-4zz
【输入输出样例2】
expand.in
232
expand.out
a-d-daCCCBBBd-d
【输入输出样例3】
expand.in
342
expand.out
di-jkstra2-6dijkstra2************6
【限制】
40%的数据满足：
字符串长度不超过5
100%的数据满足：
1<=p1<=3，1<=p2<=8，1<=p3<=2。
字符串长度不超过100
解题思路:
也是个水题，考察对语言的运用能力，字符串处理的技巧和仔细读题的能力,测试数据已经包括所有情况了，但是有些细节要想清楚，而且一些特殊的情况也要单独测试一下，如9-a-a，--a-1;
需要注意的是：
首尾‘-’的情况，要用ansistring
Varp1,p2,p3,ii,jj,i,ch1,ch2:
longint;
s:
string;
procedureprint（st,en:
longint）;
begin
ifp3=1then
forii:
=sttoendobegin
forjj:
=1top2dowrite（chr（ii））;
end
else
forii:
=endowntostdobegin
forjj:
=1top2dowrite（chr（ii））;
end;
end;
procedureprint0（st,en:
longint）;
begin
forii:
=sttoendo
forjj:
=1top2dowrite（'*'）;
end;
procedurejudge;
begin
ch1:
=ord（s[i-1]）;
ch2:
=ord（s[i+1]）;
ifch1 if（ch1>=48）and（ch1<=57）and（ch2>=48）and（ch2<=57）thenbegin
ifp1=3thenprint0（ch1+1,ch2-1）elseprint（ch1+1,ch2-1）;
exit;
end;
if（ch1>=97）and（ch1<=122）and（ch2>=97）and（ch2<=122）thenbegin
casep1of
1:
print（ch1+1,ch2-1）;
2:
print（ch1-31,ch2-33）;
3:
print0（ch1+1,ch2-1）;
end;
exit;
end;
end;
write（'-'）;
end;
begin
readln（p1,p2,p3）;readln（s）;write（s[1]）;
fori:
=2tolength（s）-1do
ifs[i]='-'thenjudge
elsewrite（s[i]）;
writeln（s[length（s）]）;
end.
3.矩阵取数游戏（game.pas/c/cpp）
【问题描述】帅帅经常更同学玩一个矩阵取数游戏：
对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij据为非负整数。
游戏规则如下：
1.每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。
m次后取完矩阵所有的元素；
2.每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3.每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和；每行取数的得分=被取走的元素值*2i，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；
4.游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。
【输入】
输入文件game.in包括n+1行；
第一行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开
【输出】
输出文件game.out仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大的分。
【输入输出样例1】
game.in
23
124
342
game.out
82
【输入输出样例1解释】
第1次：
第一行取行首元素，第二行取行尾元素，本次的氛围1*21+2*21=6
第2次：
两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20
第3次：
得分为3*23+4*23=56。
总得分为6+20+56=82
【输入输出样例2】
game.in
14
4505
game.out
122
【输入输出样例3】
game.in
210
96565446861223888043
16951829305388836467
game.out
【限制】
60%的数据满足：
1<=n,m<=30，答案不超过1016
100%的数据满足：
1<=n,m<=80，0<=aij<=1000
解题思路:
很多人可能会被第一个样例误导认为贪心，第二个样例就提示我们贪心是错误的,其实有经验的选手一看就是dp，可以看作类似于石子归并，每次在2边进行合并我们可以把问题转化为每次要取完一整行，一共取m次。
注意到每一行都是独立的一个结构，所以可以每行的结果计算出来后求和。
对于每一行，f（i,j）表示从i到j这一子段单独操作可以达到的最大权值。
有状态转移方程：
f（i,j）=2*max（a（i）+f（i+1,j）,a（j）+f（i,j-1））
边界f（i,i）=2*a（i）
最后答案就把每一行的f（0,m-1）加起来即可。
这里可以算得答案不超过30位10进制数，所以高精度的digit数组开到30足够了。
乘法也不用写，用两次加法即可。
Constmaxn=80;one=10000;
Typenum=array[0..25]oflongint;
Vara:
array[1..maxn]oflongint;f:
array[1..maxn,1..maxn]ofnum;
m,n:
longint;ans:
num;
procedureadd（varc:
num;a,b:
num）;
vari,x:
longint;
begin
ifa[0]>b[0]thenc[0]:
=a[0]elsec[0]:
=b[0];x:
=0;
fori:
=1toc[0]do
begin
x:
=a[i]+b[i]+x;
c[i]:
=xmodone;
x:
=xdivone;
end;
ifx>0thenbegininc（c[0]）;c[c[0]]:
=x;end;
end;
proceduretime（vara:
num;k:
longint）;
vari,x:
longint;
begin
x:
=0;
fori:
=1toa[0]dobeginx:
=a[i]*k+x;a[i]:
=xmodone;x:
=xdivone;end;
whilex>0dobegininc（a[0]）;a[a[0]]:
=xmodone;x:
=xdivone;end;
end;
functioncompare（a,b:
num）:
boolean;
vari:
longint;
begin
ifa[0]>b[0]thenexit（true）;
ifb[0]>a[0]thenexit（false）;
fori:
=a[0]downto1do
begin
ifa[i]>b[i]thenexit（true）;
ifb[i]>a[i]thenexit（false）;
end;
exit（false）;
end;
procedureplus（varc:
num;a:
num;k:
longint）;
vari,j:
longint;
begin
c:
=a;i:
=1;inc（c[i],k）;
whilec[i]>=onedo
begin
c[i+1]:
=c[i+1]+c[i]divone;
c[i]:
=c[i]modone;
inc（i）;
ifc[0]=i;
end;
end;
proceduredp;
vari,j:
longint;max,temp:
num;
begin
fillchar（f,sizeof（f）,0）;
fori:
=1tomdobeginf[i,i][0]:
=1;f[i,i][1]:
=a[i]*2;end;
fori:
=m-1downto1do
forj:
=i+1tomdo
begin
plus（max,f[i+1,j],a[i]）;
time（max,2）;
plus（temp,f[i,j-1],a[j]）;
time（temp,2）;
ifcompare（temp,max）thenmax:
=temp;
f[i,j]:
=max;
end;
add（ans,ans,f[1,m]）;
end;
procedureinit;
vari,j:
longint;
begin
readln（n,m）;
fori:
=1tondobeginforj:
=1tomdoread（a[j]）;readln;dp;end;
end;
procedureouts;
vari:
longint;
begin
write（ans[ans[0]]）;
fori:
=ans[0]-1downto1do
begin
write（ans[i]div1000mod10）;
write（ans[i]div100mod10）;
write（ans[i]div10mod10）;
write（ans[i]mod10）;
end;
end;
begin
init;outs;
end.
4.树网的核（core.pas/c/cpp）
【问题描述】设T=（V,E,W）是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。
路径：
树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d（a,b）表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。
我们称d（a,b）为a,b两结点间的距离。
D（v,P）=min{d（v,u）,u为路径P上的结点}。
树网的直径：
树网中最长的路径成为树网的直径。
对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：
各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC（F）：
树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即
ECC（F）=max{d（v,F），v∈V}
任务：
对于给定的树网T=（V,E,W）和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC（F）最小。
我们称这个路径为树网T=（V,E,W）的核（Core）。
必要时，F可以退化为某个结点。
一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了树网的一个实例。
图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。
点W是树网的中心，EF边的长度为5。
如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。
如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。
【输入】
输入文件core.in包含n行：
第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。
其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。
设结点编号以此为1，2，……，n。
从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。
例如，“247”表示连接结点2与4的边的长度为7。
所给的数据都是争取的，不必检验。
【输出】
输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。
【输入输出样例】
【输入输出样例1】
core.in
52
125
232
244
253
Core.out
5
【输入输出样例2】
core.in
86
132
232
346
453
464
472
783
core.out
5
【限制】
40%的数据满足：
5<=n<=15
70%的数据满足：
5<=n<=80
100%的数据满足：
5<=n<=300，0<=s<=1000。
边长度为不超过1000的正整数
解题思路:
可以证明的是，如果图中存在多条路径，则在任何一条直径上都存在一条core（反证法，用到直径的距离最大性）。
因此只需讨论一条直径上的core的情况即可。
接着，如果一条路径包括了一条子路径的所有边，那么子路径的解不会比父路径更优。
这一点后面将用到。
下面是算法：
先寻找一条直径：
任取一点u'，遍历得到到它的最远点u，再对u寻找一个到它的最远点v，则路径u-v一定是一条直径（想想为什么），在刚才遍历u-v的时候记录遍历到每一个点的时候的前继，那么从v出发一直寻找前继到u，就能记录下这一条直径。
这里复杂度是O（n）。
然后枚举core：
注意刚才说到了路径是越长越好，因此枚举的时候，每枚举一个初始点，向后都尽量延伸到不超过s的距离。
这样每个初始点只确定一个枚举对象。
对于终止点的选定可以采用一个游标的方式，当初始点从u到v扫过一遍时，游标也从u扫到了v（回想怎么求解凸多边形最远点对的），因此这里复杂度是O（n）。
最后求ECC：
暂时删除枚举对象（那条路径）上的所有边，然后以那条路径上的那些顶点作为源点开始遍历图，找到的最大距离就是该路径的ECC。
这里复杂度也将是O（n）。
因此总复杂度为O（n）+O（n）*O（n）=O（n^2），ac。
线性算法：
同样只要考虑一条直径。
先对于直径上的顶点赋值：
与该顶点连通的最远点的距离。
这样可以构成一个线性模型，点（记为v[i]）有一个值（记为f[i]），边有一个值（即原来图中v[i]和v[i+1]之间的距离，记为e[i]）。
这一步可以O（n）完成。
接着考虑这个线性模型。
枚举过程还是和刚才一样。
假设枚举的是v[a]到v[b]这一段路径，那么，这一段路径的ECC应当是以下几个值的最大值：
1）max（v[a],v[a+1]...,v[b]）;2）max（v[i]+e[i]+e[i+1]+...+e[a-1],ib）;
如果以上3个值能够在O
（1）内回答，那么总复杂度就将是O（n）
对于1，显然这是个RMQ模型，有一个O（n）算法（当然st的O（nlogn）也可以接受）。
或者考虑到这个问题的特殊性，所有（a,b）类的询问区间都不是严格包含的（即任取询问（a,b）（c,d）都不存在a>b&&c 对于2，设一个数组a[1..n]，a[k]表示max（v[i]+e[i]+...+e[k-1],i 3和2同理，不再详述
Constmaxn=65536;
Varn,s,i,j,aa,bb,k,temp,st,en,ans,tou,max,len,dep,now:
longint;
w,f,mid:
array[0..300,0..300]oflongint;
p:
array[0..50000,1..2]ofinteger;
a:
array[0..300]ofinteger;
d:
array[0..300]oflongint;
begin
readln（n,s）;
fori:
=1tondo
begin
w[i,i]:
=0;f[i,i]:
=0;
forj:
=i+1tondo
begin
f[
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