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建模D题
2010年西安文理学院数学建模竞赛D题
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名）：
日期：
年 月 日
2010年西安文理学院数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
基于灰色GM（1,1）预测模型的食品价格变化趋势
摘要
进入2010年以来，城市居民普遍感觉到消费品价格涨势明显，尤其以日常生活离不开的食品而言，价格更是“日新月异”。
为研究食品价格变动的趋势，建
立灰色GM（1,1）预测模型。
本文首先介绍价格指数的概念在其基础上引进食品价格指数的概念，并利用食品价格指数的计算方法对表1中的数据做处理，得出食品价格指数。
对表2中的食品价格指数与其对应的时间利用MATLAB做二次拟合，得出拟合函数与函数图像（见图一），用来刻画食品价格的总体水平。
然后介绍灰色GM（1,1）预测模型的基本内容，从而建立食品价格指数的灰色GM（1,1）预测模型，继而利用表2中的11组食品价格指数原始数据进行模型可靠性的验证，同时预测未来四旬（2010年11月21日—2010年12月31日，以旬为单位）的食品价格指数如表：
11月20日—31日
12月1日—10日
12月10日—21日
12月20日—31日
86.5193
85.1999
83.9006
82.6211
得出其食品价格指数将会下降的结论，并知模型预测结构良好，能够真实地反映我国食品价格变化的总体趋势。
本文最后对模型进行优化和推广，使其更加符合实际，并广泛用于实际，并对模型的优缺点进行了分析。
关键字：
食品价格指数灰色GM（1,1）模型趋势
一、问题的提出
２.１问题背景
进入2010年以来，城市居民普遍感觉到消费品价格涨势明显，尤其以日常生活离不开的食品而言，价格更是“日新月异”。
为监测食品价格的实际变化情况，国家统计部门定期统计50个城市主要食品平均价格变动情况，8月到11月20日的具体数据如表1（见附录一）。
２.１需解决的问题
（1）根据网站提供的数据，选择表中所有或部分食品种类，建立一个标志食品价格变化指数的数学模型来刻画食品价格的总体水平。
（2）根据你所建立的食品价格指数模型以及食品价格变动的统计数据，定量预测未来一段时间内食品价格的总体变化趋势。
二、问题分析
仔细考虑问题的条件和要求，我们的思路如下：
1）工作前奏——概念理解和数据处理
商品价格指数是反映工业、商业、餐饮业和其他零售企业向居民、机关团体出售生活消费品和办公用品价格水平变动情况的相对数，以此反映市场商品零售价格的变动趋势和变动程度。
其目的在于掌握商品价格的变动趋势，为国家宏观调控和国民经济核算提供参考依据
食品的价格指数，其中包括很多种食品。
那么可以考虑把多种商品在基期和报告期的价格分别相加从而得到简单综合的食品价格指数。
简单综合价格指数的计算公式是：
其中
表示基期商品价格，
表示报告期（t期）商品价格，m表示商品种类数。
对表1中的数据利用食品价格指数的计算方法算出食品价格指数，作为原始数据。
三、符号说明
时间序列
时间序列中的第
个观察值，
通过对
序列累加生成的新序列
新序列中的第
个值，
=1,2…,11
时间
发展灰数
内生控制灰数
四、模型假设
1）表1所获得的由中国国家统计局提供的统计数据真实可信。
2）忽略各商品价格的差别，对其求和值做为原始数据。
3）以表1中所给各商品的价格计算商品价格指数而忽略其他类商品的价格。
4）基期数据以平均值为准，排除其他特殊数据。
五、模型的建立与求解
5.1问题一
表28月上旬—11月中旬的食品价格指数
时间
8月上旬
8月中旬
8月下旬
9月上旬
9月中旬
9月下旬
10月上旬
10月中旬
10月下旬
11月上旬
11月中旬
平均值
求和值
444.87
447.482
449.129
449.6
451.475
454.81
455.832
459.005
466.707
475.363
480.677
457.7227
食品价格指数
102.88
102.28
101.9
101.8
101.383
100.64
100.4
99.72
98.07
96.289
95.2
如图所示：
图一：
8月上旬—11月中旬的食品价格指数与时间的二次拟合曲线图
模型一：
灰色系统理论中的灰色GM（1,1）模型。
引入：
灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述。
它所研究的系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。
它将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程。
对灰色量用数据处理的方法，将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成效列再作研究。
灰色理论的微分方程型模型称为GM模型，G表示grey（灰），M表示Model（模型）。
GM（1，1）表示1阶的，1个变量的微分方程型模型。
灰色预测方法是根据过去及现在已知的或非确知的信息,建立一个从过去引申到将来的GM模型,从而确定系统在未来发展变化的趋势,为规划决策提供依据.。
在灰色预测模型中,对时间序列进行数量大小的预测,随机性被弱化了,确定性增强了。
此时在生成层次上求解得到生成函数,据此建立被求序列的数列预测,其预测模型为一阶微分方程,即只有一个变量的灰色模型,记为GM（1,1）模型。
题中关于申请量的描述符合灰色系统的要求，所以我们用灰色系统的GM（1,1）来进行预测。
5.2模型的建立与求解
GM（1,1）是一个单个变量预测的一阶微分方程模型,其离散时间响应函数近似呈指数规律。
建立GM（1,1）模型的方法是：
设
为原始非负时间序列,
为累加生成序列,即
GM（1,1）模型的白化微分方程为：
式（6）中,
为待辨识参数,亦称发展灰数；
为待辨识内生变量,亦称灰作用量。
设待辨识向量
，按最小二乘法求得
式中
于是可得到灰色预测的离散时间响应函数为：
为所得的累加的预测值,将预测值还原即为：
在本，有与之对应的原始非负时间序列
，将每类货物30天的申请量输入即可得到
运用MATLAB软件进行求解（具体程序见附录二），我们得到灰色预测的离散时间响应函数：
由以上公式我们能够对未来四旬即11月20日—12月31日的食品价格指数来做分析。
经过预测我们得到未来四旬即11月20日—12月31日的食品价格指数结果为：
表3未来四旬即11月20日—12月31日的食品价格指数预测值
11月20日—31日
12月1日—10日
12月10日—21日
12月20日—31日
86.5193
85.1999
83.9006
82.6211
如图所示：
图二GM（1,1）模型预测值与真实值的比较
六、模型优化与评价
6.1模型的优化
6.2模型评价
1）优点：
灰色GM（1,1）模型具有要求所收集的数据量少的特点，与MATLAB的结合解决了它在计算中的问题.。
由MATLAB编制的相应预测程序简单实用,容易操作，在预测价格指数等方面有一定的优势。
2）缺点：
在于对随机性很强的数据，预测精度相对较差。
七、模型推广
八、参考文献
[1]姜启源、谢金星等，数学模型（第三版）【M】，高等教育出版社，2004；
[2]楚天科技MATLAB科学计算实例教程【M】化学工业出版社2009年
[3]董辰辉彭雪峰等MATLAB2008全程指南【M】电子工业出版社2009
[4]李习平基于GM（1,1）理论的中国居民消费价格指数预测模型研究【J】
[5]李君丽李乐用灰色模型方法预测我国居民消费价格指数变动趋势【J】
[6]中国国家统计局网站：
九、附录
附录一：
表1
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
日期
名称
8月1日
8月2日
8月3日
8月4日
8月5日
8月6日
8月7日
8月8日
8月9日
8月10日
8月11日
大米
4.7
4.71
4.73
4.74
4.76
4.76
4.77
4.8
4.82
4.86
4.95
面粉
4.21
4.23
4.25
4.26
4.27
4.29
4.31
4.35
4.38
4.38
4.45
面粉
3.5
3.5
3.52
3.61
3.58
3.6
3.64
3.65
3.68
3.57
3.62
花生油
95.07
95.17
95.55
96.31
96.83
97.36
97.61
98.23
99.07
101.51
102.94
大豆油
48.83
48.92
49.09
49.13
49.14
49.11
48.92
51.02
54.57
56.45
56.99
菜籽油
10.7
10.72
10.74
10.79
10.79
10.89
10.97
11.27
11.53
11.92
12.16
猪肉
20.16
20.34
20.39
20.46
20.62
20.73
20.7
20.84
21.02
21.43
22.34
牛肉
34.8
34.91
34.95
34.95
35.05
35.05
35.11
35.21
35.39
35.24
35.4
羊肉
37.4
37.39
37.35
37.5
37.79
37.86
38.07
38.24
38.64
39.32
40.19
鸡
15.85
16.05
16.17
16.32
16.6
16.7
16.68
16.54
16.68
16.9
17.13
鸡
17.77
18.11
18.21
18.59
18.69
18.71
18.76
18.63
18.76
18.6
18.88
鸭
14.93
15.1
15.16
15.13
15.38
15.39
15.48
15.43
15.52
15.82
15.97
猪肉
21.26
21.41
21.47
21.54
21.61
21.76
21.77
21.8
21.99
22.5
23.21
活鲤鱼
12.66
12.61
12.68
12.65
12.61
12.69
12.52
12.41
12.28
12.44
12.47
活草鱼
13.96
13.97
13.97
13.94
13.83
13.95
13.82
13.68
13.59
13.59
13.59
带鱼
21.34
21.24
21.24
21.3
21.33
21.47
21.44
21.55
21.8
21.99
22.18
大白菜
2.84
2.81
2.81
2.69
2.64
2.59
2.54
2.51
2.53
2.65
2.46
油菜
4.61
4.67
4.8
4.48
4.51
4.64
4.33
4
4.09
3.96
3.72
芹菜
4.61
4.56
4.54
4.41
4.39
4.58
4.84
4.89
5.14
5.35
5.09
黄瓜
3.86
3.97
3.92
3.64
3.76
4.72
4.88
4.65
4.81
5.07
4.76
西红柿
3.86
4.08
4.15
4.23
4.37
4.68
5.52
5.82
5.88
5.99
5.81
豆角
5.14
5.68
5.94
5.48
5.45
5.98
6.33
6.85
7.38
7.78
7.57
土豆
3.5
3.61
3.7
3.64
3.66
3.7
3.7
3.7
3.9
4.03
4.09
苹果
9.7
9.72
9.52
9.57
9.63
9.59
9.41
9.4
9.4
9.62
9.96
香蕉
5.34
5.38
5.37
5.26
5.21
5.05
4.83
4.68
4.64
4.59
4.73
豆制品
3.45
3.45
3.45
3.43
3.43
3.44
3.47
3.48
3.5
3.57
3.63
鸡蛋
9
9.23
9.48
9.66
9.63
9.4
9.23
9.14
9.32
9.67
9.88
巴氏牛奶
1.73
1.74
1.75
1.82
1.77
1.77
1.75
1.76
1.77
1.76
1.77
利乐枕奶
3.61
3.63
3.63
3.6
3.65
3.65
3.65
3.67
3.67
3.7
3.7
附录二：
灰色GM（1，1）模型程序算法：
GM（1，1）模型简介
%GM（1，1）模型相应的微分方程dX1/dt=a*X1=μ（*需离散化*）
%a:
发展灰数；μ：
内生控制灰数；
%A=（B'*B）^（-1）*B'*Yn
%其中B为累加矩阵[-1/2（x1
（1）+x1
（2））1;...]
%Yn：
表示x0
（2）...x0（n）
clear
clc
yn=[102.28101.9101.8101.383100.64100.499.7298.0796.28995.2]';
b=[
-102.58001.0000
-153.53001.0000
-204.43001.0000
-255.12151.0000
-305.44151.0000
-355.64151.0000
-405.50151.0000
-454.53651.0000
-502.68101.0000
-550.28101.0000];
A=（b'*b）^（-1）*b'*yn;
s=A
（2）/A
（1）;
disp（['a=',num2str（A
（1））,'u=',num2str（A
（2））]）;
x1
（1）=102.88;
x0
（1）=102.88;
fork=1:
15
x1（k+1）=（102.88-s）*exp（-A
（1）*k）+s;
x0（k+1）=x1（k+1）-x1（k）;
end
x1
x0
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