高数教案第十章重积分.docx

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高数教案第十章重积分

高等数学教案

章节题目

第十章重积分

§10-1二重积分的概念及性质

课型

理论课

教学目的

理解二重积分的概念，了解二重积分性质。

重点

二重积分的概念，性质

难点

如何运用二重积分的性质去解决问题

参考书目

同上

教具

教学后记

教学过程

（一）、复习上节内容

（二）、讲授

§10-1二重积分的概念及性质

一、二重积分的概念

（一）引例

1.曲顶柱体的体积

2.平面薄片的质量

（二）二重积分的定义

1．定义：

2.几个事实

二、二重积分的性质

三、二重积分的几何意义

（三）、本次课内容小结

（四）、布置作业

第十章重积分

§10-1二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

（一）引例

1.曲顶柱体的体积

设有一空间立体

它的底是

面上的有界区域

它的侧面是以

的边界曲线为准线,而母线平行于

轴的柱面,它的顶是曲面

。

当

时,

在

上连续且

以后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积

可以这样来计算:

（1）用任意一组曲线网将区域

分成

个小区域

，

，

，

，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于

轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体

分划成

个小曲顶柱体

，

，

，

。

（假设

所对应的小曲顶柱体为

这里

既代表第

个小区域,又表示它的面积值,

既代表第

个小曲顶柱体,又代表它的体积值。

）

图10-1-1

从而

（将

化整为零）

（2）由于

连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。

因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

（以不变之高代替变高,求

的近似值）

（3）整个曲顶柱体的体积近似值为

（4）为得到

的精确值,只需让这

个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。

为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。

设

个小区域直径中的最大者为

则

2.平面薄片的质量

设有一平面薄片占有

面上的区域

它在

处的面密度为

这里

而且

在

上连续,现计算该平面薄片的质量

。

图10-1-2

将

分成

个小区域

，

，

，

，用

记

的直径,

既代表第

个小区域又代表它的面积。

当

很小时,由于

连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第

小块区域的近似质量可取为

于是

两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。

因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。

（二）二重积分的定义

1．定义：

设

是闭区域

上的有界函数,将区域

分成个小区域

其中,

既表示第

个小区域,也表示它的面积,

表示它的直径。

作乘积

作和式

若极限

存在,则称此极限值为函数

在区域

上的二重积分,记作

。

即

其中:

称之为被积函数,

称之为被积表达式,

称之为面积元素,

称之为积分变量,

称之为积分区域,

称之为积分和式。

2．几个事实

（1）二重积分的存在定理

若

在闭区域

上连续,则

在

上的二重积分存在。

声明:

在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。

（2）

中的面积元素

象征着积分和式中的

。

图10-1-3

由于二重积分的定义中对区域

的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域

那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将

记作

（并称

为直角坐标系下的面积元素）,二重积分也可表示成为

。

（3）若

二重积分表示以

为曲顶,以

为底的曲顶柱体的体积。

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质

1.线性性

其中:

是常数。

2.对区域的可加性

若区域

分为两个部分区域

则

3.若在

上,

为区域

的面积,则

几何意义:

高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

4.若在

上,

则有不等式

特别地,由于

，有

5.估值不等式

设

与

分别是

在闭区域

上最大值和最小值,

是

的面积,则

6.二重积分的中值定理

设函数

在闭区域

上连续,

是

的面积,则在

上至少存在一点

使得

7、对称性（偶倍奇零）

设函数

在闭区域

上连续,

关于x轴对称,

位于x轴上方的部分为

在

上

则

则

当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.

例1比较下列各对二重积分的大小

（1）

与

，其中

。

（2）

与

，其中

是三角形区域，三顶点分别为

。

例2判断积分

的正负号.[负]

例3估计下列积分之值

[1.96≤I≤2]

三、二重积分的几何意义

1．若

，

表示曲顶柱体的体积

2．若

，

表示曲顶柱体的体积的负值

3．

表示曲顶柱体的体积的代数和

例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.[

]

小结：

二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；

二重积分的性质。

作业：

习题10-1（P136）基础题：

4

（1）;5

（1）

高等数学教案

章节题目

第十章重积分

§10-2二重积分的计算法

（一）

课型

理论课

教学目的

深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧

重点

熟练掌握二重积分计算

难点

对积分区域的划分

参考书目

同上

教具

教学后记

本节内容掌握的不够理想。

教学过程

（一）、复习上节内容

（二）讲授

§10-2二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

1、

-型区域，

-型区域。

2、二重积分化二次积分时应注意的问题

3．求体积

4．更换积分次序

（四）、本次课内容小结

（五）、布置作业

§10-2二重积分的计算法

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算（即二次积分）来实现的。

一、利用直角坐标计算二重积分

１、

-型区域，

-型区域

我们用几何观点来讨论二重积分

的计算问题。

讨论中,我们假定

；

假定积分区域

可用不等式

表示,

其中

在

上连续。

图10-2-1图10-2-2

据二重积分的几何意义可知,

的值等于以

为底,以曲面

为顶的曲顶柱体的体积。

图10-2-3

在区间

上任意取定一个点

作平行于

面的平面

这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间

为底,曲线

为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间

上任一点

且平行于

面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

从而有

（1）

上述积分叫做先对

后对

的二次积分,即先把

看作常数,

只看作

的函数,对

计算从

到

的定积分,然后把所得的结果（它是

的函数）再对

从

到

计算定积分。

这个先对

后对

的二次积分也常记作

在上述讨论中,假定了

，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式

（1）。

但实际上,公式

（1）并不受此条件限制,对一般的

（在

上连续）,公式

（1）总是成立的。

类似地,如果积分区域

可以用下述不等式

表示,且函数

在

上连续,

在

上连续,则

（2）

图10-2-4图10-2-5

显然,

（2）式是先对

后对

的二次积分。

2．二重积分化二次积分时应注意的问题

（1）.积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

对于I型（或II型）区域,用平行于

轴（

轴）的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型（或II型）区域的并集。

（2）.积分限的确定

二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。

这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。

画出积分区域

的图形（假设的图形如下）

图10-2-6

在

上任取一点

过

作平行于

轴的直线,该直线穿过区域

与区域

的边界有两个交点

与

这里的

、

就是将

看作常数而对

积分时的下限和上限；又因

是在区间

上任意取的,所以再将

看作变量而对

积分时,积分的下限为

、上限为

。

例1.计算

其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.

（可用X–型区域，Y–型区域分别求解）[

]

例2.计算

其中D是抛物线

及直线

所围成的闭区域.

（先对x后对y积分）[

]

例3.计算

其中D是直线

所围成的闭区域.[

]

（先对y后对x积分）

例4.交换下列积分顺序

关键画图[

]

例5.计算

其中D由

所围成.

关键：

画图，切割积分区域，利用对称性[

]

3．求体积

思考例6.求由曲面

及

所围成的立体的体积。

解

1.作出该立体的简图,并确定它在

面上的投影区域

图10-2-7

消去变量

得一垂直于

面的柱面

立体镶嵌在其中,立体在

面的投影区域就是该柱面在

面上所围成的区域

2.列出体积计算的表达式

3.配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算

图10-2-8

而

由

的对称性有

所求立体的体积为

4．更换积分次序

练习1改变积分

的次序.[

]

练习2改变积分

的次序.

[

]

练习3改变积分

的次序.

[

]

练习4求

，其中

是由抛物线

和

所围平面闭区域.[

]

练习5求

，其中D是以

为顶点的三角形.[

]

练习6计算积分

.[

]

小结：

二重积分计算公式

直角坐标系下

X—型

Y—型

作业习题10-2（P154）

基础题：

2

（1）,（4）;3;4（3）;7;10

提高题：

6（4）;

高等数学教案

章节题目

第十章重积分

§10-2二重积分的计算法

（二）

课型

理论课

教学目的

掌握二重积分的计算方法（极坐标）。

重点

二重积分的计算方法

难点

二重积分的计算方法

参考书目

同上《高等数学习题集》

教具

教学后记

教学过程

（一）、复习上节内容

（二）讲授

§10-2二重积分的计算法

（二）

一、利用极坐标计算二重积分

1.变换公式

2.极坐标下的二重积分计算法

3.使用极坐标变换计算二重积分的原则

二、例题

（三）、本次课内容小结

（四）、布置作业

§10-2二重积分的计算法

二、利用极坐标计算二重积