吴亚玲数学概念的教学.docx

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吴亚玲数学概念的教学

数学概念的教学

数本0803班吴亚玲

指导教师：

杨虎山

摘要：

本文首先介绍了数学概念的含义及其特点，接着阐述了数学概念在数学教学中的重要性。

围绕数学概念教学的特点，对中学生数学形式的教学展开研究探索，对某些数学概念新授课教学案例做分析与比较，以进行教学经验的总结与分析，最后通过案例的分析总结数学教学得到的启示以及今后努力的方向。

关键字：

概念，数学概念，教学

Theteachingofmathematicsconcepts

WuYaLing

Class0803,MathematicsDepartment

Instructor:

YangHuShan

Abstract:

Thispaperfirstintroducesthemeaningsandcharacteristicsofmathematicalconcepts，andthenelaboratestheconceptofmathematicsinmathematicsteaching.Onthecharacteristicsofteachingmathematicalconceptsmainlyonmiddleschoolstudents'mathematicalformofteachingresearchtoexplore，tosomemathematicalconceptsofnewteachingcaseanalysisandcomparisonforteaching，experiencesummaryandanalysis.Finally，throughthecaseanalysisandsummaryofmathematicsteachingtheinspirationandthedirectionoffutureefforts.

Keywords:

Concepts,mathematicalconcepts,teaching

目录

1引言1

1.1研究背景1

1.2研究意义2

2数学概念的特点及其重要性3

2.1数学概念的特点3

2.2数学概念的重要性4

3数学概念的教学形式5

3.1如何进行数学概念的教学5

3.1.1概念的引入6

3.1.2概念的剖析和理解7

3.1.3概念的巩固和深化8

3.2案例分析9

4启示以及今后努力方向11

5结束语13

参考文献15

致谢16

1引言

1.1研究背景

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。

一般来说，概念是哲学、逻辑学、心理学等许多学科的研究对象。

从不同的学科出发，对概念的理解有区别也有联系。

从哲学角度出发，概念是事物本质特征的反映，是逻辑思维的最基本的单元和形式。

从逻辑学角度出发，概念是一种反映对象或其属性的思维形式，具有恒定的内涵与外延。

现代认知心理学认为，“概念是不断发展的，随着知识结构的不断发展，学生对概念的理解也会出现从具体水平向概念水平的发展，从不科学的甚至错误的日常概念向科学概念的发展。

”数学概念与概念相比有其特殊性，数学概念是一类数学对象的本质属性的反映，是学生不断感知经验的活动过程，是主体对客体的不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程。

这种建构是主体与客体的有机融合，既包括结构，也包括整个活动经验过程，是过程与结构的统一。

同时，随着个人的不断发展，这种建构在不断地发展、完善。

概念的习得和有效理解掌握，可以帮助学生在没有直接现实经验的条件下获得抽象观念，同时已掌握的概念又成为学生学习新的概念时的起点，成为学生发现或同化新知的“固着点”。

学生只有透彻的理解数学概念，才能形成正确的逻辑论理，形成空间想象能力，把握住后续的运算技能。

为此，数学概念教学在教学中占有重要的地位，它是数学“双基”教学的核心。

以数学概念教学为载体，可以对学生的思维过程进行相应的训练，从而培养学生思维的灵敏度和主动获取知识的能力。

而中学作为学生的身心发展的黄金时期，数学思维习惯形成重要阶段，中学的数学概念教学更应当得到数学教学工作者重视。

但长久以来，由于中、高考选拔制度的影响，使学生、教师在数学学习和教学上都造成了一定的偏差。

数学教材由于撰写的需要，不能充分展示概念的形成和演绎过程，只能对概念的表征做一个表述，而在整个内容中，对典型例题的讲解占了大多数，在某种程度上给学生一种概念不重要的暗示。

同时，不少教师在教学上，为了追求高升学率仍然以单纯的知识教授为主，把概念、定理等当作即定的结论，直接“灌输”给学生。

在教学实际中把更多的时间化在讲解例题上，把自己整理的未经学生思考过的一些解题方法、套路等直接展示给学生；在教学设计上，仅仅把数学概念看作一个名词，在教学中片面的要求学生记忆，随意偏离、简略数学概念，注重配合使用大量的练习来强化学生对概念认识和应用。

学生由于自身只注重最后的结果，在学习过程中往往把精力主要集中在解题的方法上，陷入题海不可自拔，对于概念不够重视，也不愿花时间和精力在阅读教材和理解概念上，更谈不上对数学能力的培养。

于是，现在的中学数学概念教学中就出现过分强调教师的主导作用，而忽视学生的主体地位；过分强调概念应用的练习教学，而对概念本身教学不够重视。

在习题课教学中，注重对数学解题过程中数学规律的寻找和分析，而忽视对相关的数学概念的解析等等现象，这些都导致学生对数学概念重视不够，对概念的内涵和外延了解不够，掌握不够全面和深刻，甚至生搬硬套学数学，给学生数学思维的培养造成了障碍。

其中突出的问题就是只注重数学概念所含知识的教学以及在解题过程中的应用，而不太注重数学概念形成和内涵的真正了解，特别是形成过程中所包括的思维方法的教学，即往往注重概念习题课（应用）教学，而不重视概念新授课的教学研究。

为此，本课题主要针对中学数学概念新授课教学开展研究。

1.2研究意义

数学概念是数学知识系统的重要组成成分，也是学生学习数学的认知基础。

实际上，学生数学概念学习程度的好坏，与数学概念的获得有着重要的联系。

学生如果没有在真正意义上获得数学概念，不仅在解决数学问题过程中避免不了会出现很多错误，而且也会影响该概念的进一步学习及其后续其他概念的学习，进而影响到整个数学概念体系的建立。

数学概念之间存在着很强的非人为的各种逻辑联系，这些联系最终构成了概念网络。

如上位、下位、并列、弱抽象、强抽象等多方面的联系。

学生通过获得数学概念，不仅是学会一些数学知识，更重要的是构建起新的认知结构，形成对数学知识的理解，发展智力。

学生学习的数学概念数量比较多、涉及的范围比较广，包括代数、几何、概率、统计等许多分支学科的数学概念，这些概念中有的形象，有的抽象、有的简单，有的复杂。

对于那些抽象程度高及综合性强的数学概念，学生在理解和获得的过程中会遇到各种困难。

怎样帮助学生正确理解并获得这些概念便成了教师教学设计的重点和难点。

因此，从过程入手，对数学概念获得进行分析，有助于我们更好地认识数学概念学习的本质特征，从而为数学教师更有效地开展数学概念的教学提供科学的理论依据。

2数学概念的特点及其重要性

2.1数学概念的特点

数学概念的特点：

它们是排除一类对象的具体物质内容以后的抽象，反映的是一类对象在数与形方面的内在的固有的属性，它们都可以由反映概念本质特征符号来表示。

数学概念的产生与发展有各种不同的途径：

有的是从它的现实原形直接得到的，如几何中的点、线、面、体，代数中的自然数等，不过这只是数学概念中很小的一部分，更多的数学概念是在这些相对具体概念的基础上，经过多级抽象概括产生的，其中大部分甚至找不到原形；有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化得到的，如直线的“直”、“可以无限延伸”的特征便是把笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的；有的数学概念是从数学内部的需要产生的，如数“O”；有的数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的，如无穷远点；总之，数学概念的产生和发展是多方面的。

一般的说，它们总是在一定的感性认识或是一定的理性认识的基础上产生并逐步发展。

由于数学概念本身的特点及它的形成发展过程各种各样，我们可以对它进行分类，因为分类本身占有很重要的地位：

分类是概念获得的基础，是对概念的内涵进行认识的过程；分类活动有助于学生更深刻的理解概念之间的关系，有助于学生从整体上把握概念，有助于提高学生的概括能力等等。

根据数学概念反映事物的本质属性的不同，可以将概念分为具体概念和抽象概念。

具体概念指的是根据事物的感知特征而形成的概念，如事物的形状和事物的个数、线段、多面体、有理数、实数，它们很难用语言明确定义，但往往可以直接通过观察获得；抽象概念指的是根据事物的本质特征而形成的概念，也可称作定义性概念（加涅划分的概念类型，指不能通过直接观察，只能通过概念的定义获得的概念）如方程、映射、函数等，它们是能够用语言精确加以定义。

数学概念虽然是抽象，但是当学生掌握了数学概念，它又变成一种实实在在的、可以利用的东西，许多概念背后都有很多实在内容作为支撑。

因而数学概念又具有具体性。

因此说数学概念是具体性与抽象性的辩证统一。

数学概念的独特之处在于，它既具有自然概念的特征（不是完全是自发形成的自然概念），又具有人工概念（不完全是通过规则定义的人工概念）的特征。

中学大多数数学概念是属二者于一体的，只有极少数概念是纯粹的通过规则定义的人工概念（例如无理数、复数等），这也使得数学概念具有“自然”和“人工”的二重性。

数学概念是反映一类事物的本质属性的思维形式，它反映的是一类对象内在的、固有的属性，这个过程当中排除了与这一类对象无关的其他因素，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。

数学概念有很强的逻辑关系，先前的概念往往是后续概念的基础，这使得数学概念具有很强的系统性。

数学概念具有高度的抽象性，而数学符号则表明了概念的简明性。

数学概念借助数学符号语言，可以用一些简明的形式表现出来。

例如平行符号“∥”、垂直符号“⊥”等等。

这些符号既反映出概念本质，又使数学概念比别的概念表达更为清晰、准确、简明。

2.2数学概念的重要性

理解数学概念对于数学学习十分重要，正如曹才翰先生所指出的：

“在数学教学中一定要重视概念的教学，从某种意义上说，学生对概念的理解和应用自如是衡量教学质量高低的标准之一。

”

数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要的地位。

数学教学应以掌握概念、原理为主要目标，以概念、原理为载体，使学生思维获得发展，素质得到提高。

数学概念的学习与教学理论的研究，可以为数学概念学习与教学实践提供指导，为数学课程改革提供依据，同时也为建立系统的科学的数学学习与教学理论奠定基础。

数学概念是反映事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。

数学概念是数学的基础知识，对概念的理解，不仅是学生学好基础理论、定理、公式的前提和基础，也是发展学生智力，特别是培养学生逻辑思维能力，提高学生自身素质的必要条件。

数学概念是整个数学知识结构的基础，作为学生进行数学思维的核心，它不仅是数学思维的产物，同时是更高层次的数学思维的工具。

任何理论知识或方法的学习都要从学习概念开始，良好的概念引入方法对后续的教学有极大的帮助。

数学概念一般用精炼、严密、抽象的教学语言来表述，理解起来也就相对较难，这也反映出理解数学概念对于教学的重要性。

所以，数学教师需要熟练掌握数学概念的引入方法。

数学概念的教学是数学教学的重要组成部分，数学概念是数学教学的基础，离开了这个基础就谈不到数学上各种能力的培养。

在实施素质教育中，作为数学教学的目的是“授之以于渔鱼，而不授之以于鱼。

”所以作为数学教师要研究如何教会学生学习数学的方法，不是教给学生一些公式和结论，而是要使学生知其然，也知其所以然。

而要做到这些，首先要抓住数学概念的教学，因此作为数学教师就必须对数学概念的教学进行研究和探讨，重视数学概念的教法。

概念和命题是组成数学的两个基本元素，准确理解概念需要在感性认识的基础之上，用不同方法揭开不同概念的本质。

数学教学中抓好概念教学是提高教学质量的重要保证，只有让学生掌握了数学中的基本概念，才能够准确的运用相关定理及推论，解决相关问题。

3数学概念的教学形式

3.1如何进行数学概念的教学

概念的形成即个体形成概念的过程，各种概念的形成过程总是从感知开始的，概念的形成的起点应是对先前经验的总结，所以首先需要一定数量的经验，学习者需要通过接触大量事例，从而获得同类事物或现象的共同特征，并以肯定或否定的例子加以证实学习方式及其控制过程。

常识概念的形成是从一些具有某种共同性质的实例中概括、抽象出共通之处，并以此为基础对事物进行分类，能使现有的经验归到某个种类中去。

但数学概念比常识概念更为抽象，更加难以理解。

作为一种处理实际思维材料的方法，没有实际思维材料，就没有思维运算的对象。

可是数学概念作为公理化的组织内容却又往往是先定义后实例，这给学生的学习带来了很大的困扰。

从心理本质上讲，数学概念学习中，以自发性概念为基础，以实例为出发点，是运算思维的要求。

所以，概念学习应通过对学生已接触到的恰当的实例进行组织整理，分析归纳来教，必须用实例来直观地帮助形成定义，而不是教定义。

但是教科书上有些概念的引入就是采用定义的方式，例如绝对值的概念，它的定义是：

“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值就是零。

”这个定义同时给出了运算法则。

一些教师也常常就是以这个定义来教的。

当学生在求绝对值时出现错误时，就认为学生还未能熟悉运算法则，而实际上是学生掌握这个概念有困难，造成困难的原因可能就是由于这个概念的获得过程与常识概念的形成过程次序相反。

这种相反的次序就是Freudenthal（1995）所说的“违反教学法的颠倒”。

总之，数学概念的教学应当遵循人的一般认识规律，从表象到规定，即从具体到抽象，而不是走相反的路。

高中数学课程标准指出：

“由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。

在教学中要引导学生经历从具体实例到抽象的数学概念过程，在初步运用中逐步理解概念的本质”。

这正是建构主义学习观的一种体现。

在学习过程中，知识无法通过教师的讲解直接传输给学生，它必须由个体主动建构的。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学科。

数学概念不是人们主观臆断的结果，而是在研究数量关系和空间形式的过程中形成的。

它是关于数和形的某一类对象的本质属性的反映，是对这些本质属性的整体反映。

掌握数学概念对数学知识的学习和能力的培养具有“奠基植根”的作用。

只有正确理解并掌握了基本概念，才能正确认识数学的基本规律，才可能有正确、合理的分析推理能力及迅速、简捷的运算技巧。

正如《中学数学教学大纲》所指出的那样：

“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。

可见，数学概念的教学是整个数学教学过程中一个非常重要的环节，任何一位数学教师都是绝对不可掉以轻心的。

教师要重视概念教学，讲清概念，学生要正确理解和运用概念，这无疑是提高数学教学质量的前提条件。

那么，教师应如何进行概念教学呢?

3.1.1概念的引入

数学概念不是凭空设想出来的，也不是人们头脑里所固有的，而是从客观现实中抽象出来的，它来源于实际，是根据实际需要建立起来的。

《中学数学教学大纲》中指出：

“在教学中，应当从实际事例和学生已有的知识出发引人新的概念。

”这是符合人们的实际认识规律和事物的发展规律的。

从实际事例引人新概念，例如，在高一立体几何教学中，学习两平面平行的概念，可让学生观察书桌面与地面的关系，从这些实际事例中抽象出两平面平行的概念。

再如，通过观察三棱镜、方砖等实物

引出棱柱的概念；通过研究细胞分裂问题而引出指数函数的概念等等。

从实例引入新概念，引导学生从感性材料中领悟到事物的本质属性。

这样，既调动了学生学习的积极性，又给学生留下深刻的印象，同时也使学生感悟到现实中确有这类问题需要研究，为抽象概念打下了形象的基础。

由已有概念引人新概念。

数学中的许多新概念都是在旧概念的基础上发展而来的。

在教学中，应以学生已掌握了的知识为基础，从复习归纳旧知识开始引出新概念。

例如，在已经学习了“平行四边形”概念的基础上引入“矩形”和“菱形”的概念，进而引人“正方形”的概念；在学习了“排列”概念的基础上，引入全排列的概念等等。

因为原有概念与新概念之间联系十分紧密，只须抓住它们的本质特征作出简要说明，就可以使学生建立起新概念，再通过讲解例题便可以使新概念获得巩固。

由揭露旧概念的矛盾引入新概念，数学中有些概念是由于数学本身矛盾的发展而出现的，引入这些概念时，应充分揭露旧概念的矛盾和局限性，从而明确学习新概念的必要性，同时在与旧概念的对比中引人新概念，例如，数的概念的发展便是如此。

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们引进了零及负数；为了解决测量分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了有理数；为了解决有些量与量之间的比值（用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果）不能用有理数表示的矛盾，人们又引进了无理数；在十六世纪，由于解方程的需要，人们又引进了一个新数i，从而有了复数的概念，进而把数的范围扩大到了复数集。

如此引入新概念，既能使学生明确学习新概念的意义，也在与旧概念的对比中逐步树立了新概念。

概念的引入不是一成不变的，要视概念的性质而定。

教师必须熟悉教材，统观全局，结合学生的实际，选择最佳的引人方法。

3.1.2概念的剖析和理解

剖析和理解概念，揭露概念的本质，这一环节是前一环节的继续和深人。

在引人概念过程中，或提出概念、给出定义之后，通过分析对比、归纳抽象，揭示概念的本质属性，挖掘概念中的“根子”，并且在概念教学中把核心点破，剖析清楚概念中的关键字、词。

概念中的关键字、词对概念的正确理解起着举足轻重的作用。

如在讲平行线定义时，要特殊强调“在同一平面内”这个前提条件的必要性。

如果不受这个条件的约束，缩小了概念的内涵，从而增加了概念的外延。

“没有公共点的两条直线”，便不能确定是平行线。

分层次理解复杂概念，对层次较多，比较复杂的概念，需要逐层揭示其本质，这样才能加深认识，达到全面理解的目的。

例如对二面角的平面角这一概念，就要分三个层次加以理解：

（1）它是一个平面角；

（2）顶点在棱上；（3）两边分别在两个半平面内，且都垂直于棱。

通过这样逐层揭示，这些复杂概念就显得清楚明了。

通过对比，正确区别易混概念。

有些本来不同的数学概念，由于形成概念的过程或者表达概念的语词、符号的某种相似性，易引起学生的混淆。

《大纲》中指出：

“对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法认识它们之间的区别和联系。

”例如，排列、组合都是从n个不同元素中取出m个元素的操作，易混淆。

应在对比中明确这是两种不同的操作，前者是“先取后排”，与元素的顺序有关；后者则是“只取不排”，与元素的顺序无关。

又如，在“球冠”与“球缺”的教学中，介绍它们的定义后，对比说明：

“球冠”与“球缺”的外形（指直观图）相同，但球冠是球面的一部分，球缺则是球体的一部分，二者不容混淆。

在概念系统中理解概念。

教学法表明：

任何概念都不是孤立存在的，概念之间有着严密的系统性。

如果学生只是孤立地、片面地了解一些零星的概念，那就不可能获得系统的数学知识，对数学概念本身也会缺乏深刻的理解。

因此，必须在概念系统中教会概念，使学生更好地掌握概念。

在一个阶段的教学之后，可以对学生学过的概念尽可能地进行系统分类，使学生更好地理解各概念之间的联系。

对于具体概念，如何剖析、怎样理解，应视概念的难点而定，做到具体概念具体分析，具体对待。

3.1.3概念的巩固和深化

要认识一个概念，仅仅停留在概念的引人上是远远不够的。

教师必须有计划地指导学生及时地进行复习和巩固，在应用中不断深化概念，使学生将概念理解透彻，在练习中巩固概念。

针对不同类型的概念，教师应选择不同的习题，指导学生进行练习，以便巩固概念。

对于刚刚引人的新概念，应选择一些能体现概念本质特征的习题让学生完成。

对于易混的概念应该选择一些易于对比的习题，使学生通过对比练习，认识它们之间的区别和联系。

在应用中深化概念。

学习概念的目的在于应用，理论应该联系实际，这样可以培养学生用概念分析问题和解决问题的能力，在理解的层次上达到一个新的高度，在认识上得到升华。

教学活动是一种双边活动，教过程是教师和学生共同活动的过程。

师生之间必须密切配合才能达到较好的教学效果，概念教学当然也不例外。

因此，在概念教学的各个环节中，教师都应充分调动学生学习的积极性，提高学生的学习兴趣，以使学生学得生动、活泼，从而不断提高他们运用概念去观察问题、分析问题和解决问题的能力，达到对概念的深刻理解和灵活运用。

总之，加强数学概念教学，使学生透彻牢固地掌握数学概念，是数学素质教育的要求，是提高数学教学质量的关键。

教学中，应按照人们认识事物的规律，采用灵活多样的教学方法，使学生认识概念，理解概念，巩固概念，运用概念，为祖国的现代化建设培养出更多的高素质人才！

3.2案例分析

前苏联心理学家维果茨基，根据概念形成的来源把概念分为自发性概念和科学概念。

“自发性概念”称为日常概念，是指未经专门的教学而在日常生活和实践中形成的概念，有时学生自己还解释不清楚；“科学概念”是指定义明确的、精细的、有一定逻辑意义和体系属性的概念。

自发性概念和科学概念之间既有区别，也有着相辅相成的关系。

实际上我们可以将自发性概念和科学概念看成是学生的概念形成的两极，即起点和终点。

而学生头脑中已有自发性概念往往是模糊的、不完整的，甚至有误差的。

但这些却是进一步形成科学概念的基础。

因此，在进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，使学生在观察有关实物、图示、模型的同时，获得对于所研究对象的感性认识，在此基础上逐步认识它的本质属性，并提出概念的定义，建立新的概念。

[案例1]

[课题]扇形的定义

[课堂实录]

引例：

一个时钟的时针长10厘米，

（1）半天时间里，时针的针尖所经过的路程总长是____厘米。

（复习圆周长）

时针所扫过的面积是____平方厘米。

（复习圆的面积）

（2）从12:

00到15:

00，时针的针尖所经过的路程总长是____厘米；

从12:

00到18:

00，时针的针尖所经过的路程总长是____厘米；

从12:

00到21:

00，时针的针尖所经过的路程总长是____厘米；

每过1小时，时针的针尖所经过的路程长是____厘米。

（复习弧长）

教师：

上述问题中时针所扫过的区域所形成的图形是什么图形呢？

学生A：

像扇子。

学生B：

扇形！

[分析：

从学生的回答中可以看出，学生对扇形有自发性概念，主要是有扇子这

个实物原形。

]

教师：

很好，那哪位同学能告诉我们什么是扇形？

给扇形下一个定义？

（学生沉默良久）

学生C：

圆的一部分称为扇形。

教师：

同学们认为C的说法对吗？

（有人摇头，有人点头，还有部分同学眉头紧锁）

[分析：

这就是学生自发性概念的模糊性的体现，而自发性概念上升到科学概念

即“从完整的表象蒸发为抽象的规定”阶段，是学生的难点。

]

处理一：

（1）教师给出定义：

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。

（2）辨析：

下列阴影部分的图形中，那些是扇形？

（1）

（2）（3）（4）（5）

（6）（7）（8）（9）（10）

[归纳]扇形与圆的关系：

扇形是所在圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形。

处理二：

（1）辨析：

下列阴影部分的图形中，那些是扇形？

（1）

（2）（3）（4）（5）

（6）（7）（8）（9）（10）

[归纳]扇形与圆的关系：

扇形是所在圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形。

（1）学生总结归纳定义：

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。