答案：
（－13,13）
10．[2014·江门调研]已知圆C：
x2＋（y－2）2＝5，直线l：
mx－y＋1＝0.
（1）求证：
对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
解：
（1）解法一：
直线mx－y＋1＝0恒过定点（0,1），且点（0,1）在圆C：
x2＋（y－2）2＝5的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法二：
联立方程，消去y并整理，得
（m2＋1）x2－2mx－4＝0.
因为Δ＝4m2＋16（m2＋1）>0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法三：
圆心C（0,2）到直线mx－y＋1＝0的距离d＝＝≤1<，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），联立直线与圆的方程得（m2＋1）x2－2mx－4＝0，
由根与系数的关系，得x＝＝，
由点M（x，y）在直线mx－y＋1＝0上，当x≠0时，得m＝，代入x＝，得x[（）2＋1]＝，
化简得（y－1）2＋x2＝y－1，即x2＋（y－）2＝.
当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x2＋（y－）2＝.
11．已知圆A：
x2＋y2－2x－2y－2＝0.
（1）若直线l：
ax＋by－4＝0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最大值；
（2）若圆B平分圆A的周长，圆心B在直线y＝2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．
解：
（1）圆A的方程即（x－1）2＋（y－1）2＝4，其圆心为A（1,1），半径为r＝2.
由题意知直线l经过圆心A（1,1），所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.
原点O到直线l的距离d＝.
因为a2＋b2＝a2＋（4－a）2＝2（a－2）2＋8，所以当a＝2时，a2＋b2取得最小值8.
故d的最大值为＝.
（2）由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，它经过圆心A.
设圆B的圆心为B（a,2a），半径为R.如图所示，在圆B中，
由垂径定理并结合图形可得：
R2＝22＋|AB|2＝4＋（a－1）2＋（2a－1）2＝5（a－）2＋.
所以当a＝时，R2取得最小值.
故符合条件且半径最小的圆B的方程为（x－）2＋（y－）2＝.
12．[2014·金华十校联考]已知圆C：
x2＋（y－1）2＝5，直线l：
mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．
（1）若|AB|＝，求直线l的倾斜角；
（2）若点P（1,1）满足2＝，求此时直线l的方程．
解：
（1）由圆C：
x2＋（y－1）2＝5，得圆的半径r＝，
又|AB|＝，故弦心距d＝＝.
再由点到直线的距离公式可得d＝，
∴＝，解得m＝±.
即直线l的斜率等于±，故直线l的倾斜角等于或.
（2）设A（x1，mx1－m＋1），B（x2，mx2－m＋1），由题意2＝可得2（1－x1，－mx1＋m）＝（x2－1，mx2－m），
∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①
再把直线方程y－1＝m（x－1）代入圆C：
x2＋（y－1）2＝5，化简可得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝.②
由①②解得x1＝，故点A的坐标为（，）．
把点A的坐标代入圆C的方程可得m2＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
B级 知能提升
1．[2014·河南质检]直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·（O为坐标原点）等于（ ）
A．－7B．－14
C．7D．14
解析：
记、的夹角为2θ.依题意得，圆心O（0,0）到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，cosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×（）2－1＝－，·＝3×3cos2θ＝－7，选A.
答案：
A
2．已知两点A（0，－3），B（4,0），若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为（ ）
A．6B.
C．8D.
解析：
如图，过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P，
这时△ABP的面积最小．
直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，
圆心C到直线AB的距离为
d＝＝，
∴△ABP的面积的最小值为×5×（－1）＝.
答案：
B
3．设m，n∈R，若直线l：
mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
解析：
∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，
∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A（，0），与y轴交点B（0，），∴S△AOB＝·||||＝·≥×6＝3.
答案：
3
4．[2014·新乡市一中练习]已知圆C过点P（1,1），且与圆M：
（x＋2）2＋（y＋2）2＝r2（r>0）关于直线x＋y＋2＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？
请说明理由．
解：
（1）设圆心C（a，b），则，
解得.
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
（2）设Q（x，y），则x2＋y2＝2，且·＝（x－1，y－1）·（x＋2，y＋2）＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
∵（x＋y）min＝－2，
所以·的最小值为－4.
（3）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：
y－1＝k（x－1），PB：
y－1＝－k（x－1），
由，
得（1＋k2）x2＋2k（1－k）x＋（1－k）2－2＝0.
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，所以可得xA＝.
同理，xB＝.
则kAB＝
＝
＝＝1＝kOP.
所以，直线AB和OP一定平行．
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