弹簧专题讲义.docx

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弹簧专题讲义

高中物理弹簧专题分析

要点提示：

相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。

对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离。

抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关问题。

现今对于弹簧连接的物体的分离是高考的热点，也是学生理解的难点，下面就弹簧连接的物理列几个典型例子加以说明。

典题分析

例1、一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。

如图7所示。

现让木板由静止开始以加速度a（a＜g＝匀加速向下移动。

求经过多长时间木板开始与物体分离。

分析与解：

设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。

据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时

因为

，所以

。

例2、如图8所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。

现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值是，F的最大值是。

分析与解：

因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。

此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。

在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离：

x=mg/k=0.4m

因为

，所以P在这段时间的加速度

当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m（a+g）=360N.

例3．如图9所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。

物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2，求：

（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F所做的功。

解：

（1）A原来静止时：

kx1=mg①

当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：

F1＋kx1－mg=ma②

当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：

F2－kx2－mg=ma③

对物体B有：

kx2=mg④

对物体A有：

x1＋x2＝

⑤

由①、④两式解得a=3.75m/s2，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N

（2）在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：

WF=mg（x1＋x2）+

49.5J

例4．如图5所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态．

（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？

（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？

【点拨解疑】力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．

（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为

．

（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg．那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg．则F=2mg．因此，使A、B不分离的条件是F≤2mg．

例5．两块质量分别为m1和m2的木块，用一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，现在m1上施加压力F，如图14所示．为了使撤去F后m1跳起时能带起m2，则所加压力F应多大？

（对称法）

例6．如图1-4-8所示，离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A、B，质量分别为2m和m，两球用劲度系数为k的轻弹簧相连，弹簧的自然长度为l．当两球随着离心机以角速度ω转动时，两球都能够相对于杆静止而又不碰两壁．求A、B的旋转半径rA和rB．

例7．（14分）如图14所示，A、B两滑环分别套在间距为1m的光滑细杆上，A和B的质量之比为1∶3，用一自然长度为1m的轻弹簧将两环相连，在A环上作用一沿杆方向的、大小为20N的拉力F，当两环都沿杆以相同的加速度a运动时，弹簧与杆夹角为53°。

（cos53°=0.6）

求：

（1）弹簧的劲度系数为多少？

（2）若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬间，A的加速度为a/，a/与a之间比为多少？

解：

（1）先取A+B和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A、B支持力与加速度方向垂直，在沿F方向应用牛顿第二定律F=（mA+mB）a①

再取B为研究对象F弹cos53°=mBa②

①②联立求解得，F弹=25N

由几何关系得，弹簧的伸长量⊿x=

（1/sin53°－1）=0.25m

所以弹簧的劲度系数k=100N/m

（2）撤去F力瞬间，弹簧弹力不变，A的加速度a/=F弹cos53°/mA

所以a/：

a=3∶1。

例8．（14分）如图所示，质量M=3.5kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2m，其左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。

水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。

此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为WF=6J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5m处。

已知AB间距L1=5cm，A点离桌子边沿C点距离L2=90cm，P与桌面间动摩擦因数

，P、Q与小车表面间动摩擦因数

。

（g=10m/s2）求：

（1）P到达C点时的速度VC。

（2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。

解：

（1）对P由A→B→C应用动能定理，得

（2）设P、Q碰后速度分别为v1、v2，小车最后速度为v，由动量守恒定律得，

由能量守恒得，

解得，

当

时，

不合题意，舍去。

即P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小为

例9．质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图1-9-15所示．一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点．若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度．求物块向上运动到达的最高点与O点的距离．

解：

质量为m的物块运动过程应分为三个阶段：

第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O点．质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动．弹簧

对于m：

第二阶段，根据动量守恒有mv0=2mv1　　　②

对于2m物块：

第二阶段，根据动量守恒有2mv0=3mv2　　　　④

第三阶段，根据系统的机械能守恒有

又因　E′p=Ep　　　　　　　　　　⑦

上几式联立起来可求出：

l=x0/2

例 如图3－5，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。

现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中[ ]

A．动量守恒，机械能守恒B．动量不守恒，机械能不守恒

C．动量守恒，机械能不守恒D．动量不守恒，机械能守恒

【错解】以子弹、木块和弹簧为研究对象。

因为系统处在光滑水平桌面上，所以系统水平方向不受外力，系统水平方向动量守恒。

又因系统只有弹力做功，系统机械能守恒。

故A正确。

【错解原因】错解原因有两个一是思维定势，一见光滑面就认为不受外力。

二是规律适用条件不清。

【分析解答】以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。

在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。

由于子弹射入木块过程，发生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒，故B正确。

例质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。

平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图3-15所示。

物块从钢板正对距离为3X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。

已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O点的距离。

【错解】物块m从A处自由落下，则机械能守恒

设钢板初位置重力势能为0，则

之后物块与钢板一起以v0向下运动，然后返回O点，此时速度为0，运动过程中因为只有重力和弹簧弹力做功，故机械能守恒。

2m的物块仍从A处落下到钢板初位置应有相同的速度v0，与钢板一起向下运动又返回机械能也守恒。

返回到O点速度不为零，设为V则：

因为m物块与2m物块在与钢板接触时，弹性势能之比

2m物块与钢板一起过O点时，弹簧弹力为0，两者有相同的加速度g。

之后，钢板由于被弹簧牵制，则加速度大于g，两者分离，2m物块从此位置以v为初速竖直上抛上升距离

【错解原因】这是一道综合性很强的题。

错解中由于没有考虑物块与钢板碰撞之后速度改变这一过程，而导致错误。

另外在分析物块与钢板接触位置处，弹簧的弹性势能时，也有相当多的人出错，两个错误都出时，会发现无解。

这样有些人就返回用两次势能相等的结果，但并未清楚相等的含义。

【分析解答】物块从3x0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒。

则有

v0为物块与钢板碰撞时的的速度。

因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒。

设v1为两者碰撞后共同速

mv0=2mv1                                                    

（2）

两者以vl向下运动恰返回O点，说明此位置速度为零。

运动过程中机械能守恒。

设接触位置弹性势能为Ep，则

同理2m物块与m物块有相同的物理过程

碰撞中动量守恒2mv0=3mv2                     （4）

所不同2m与钢板碰撞返回O点速度不为零，设为v则

因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化

Ep=Ep                                                          （6）

由于2m物块与钢板过O点时弹力为零。

两者加速度相同为g，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g，所以与物块分离，物块以v竖直上抛。

【评析】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化的。

守恒等多个知识点。

是一个多运动过程的问题。

关键问题是分清楚每一个过程。

建立过程的物理模型，找到相应解决问题的规律。

弹簧类问题，画好位置草图至关重要。

例 如图3-18所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中

A．重力先做正功，后做负功

B．弹力没有做正功

C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡

D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大。

【错解】金属块自由下落，接触弹簧后开始减速，当重力等于弹力时，金属块速度为零。

所以从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中重力一直做正功，故A错。

而弹力一直做负功所以B正确。

因为金属块速度为零时，重力与弹力相平衡，所以C选项错。

金属块的动能为零时，弹力最大，所以形变最大，弹性势能最大。

故D正确。

【错解原因】形成以上错解的原因是对运动过程认识不清。

对运动性质的判断不正确。

金属块做加速还是减速运动，要看合外力方向（即加速度方向）与速度方向的关系。

【分析解答】要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况，就要分析它的运动全过程。

为了弄清运动性质，做好受力分析。

可以从图3-19看出运动过程中的情景。

从图上可以看到在弹力N＜mg时，a的方向向下，v的方向向下，金属块做加速运动。

当弹力N等于重力mg时，a=0加速停止，此时速度最大。

所以C选项正确。

弹力方向与位移方向始终反向，所以弹力没有做正功，B选项正确。

重力方向始终与位移同方向，重力做正功，没有做负功，A选项错。

速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此时弹簧弹性势能最大，故D正确。

所以B，C，D为正确选项。

【评析】对于较为复杂的物理问题，认清物理过程，建立物情景是很重要的。

做到这一点往往需画出受力图，运动草图，这是应该具有的一种解决问题的能力。

分析问题可以采用分析法和综合法。

一般在考试过程中分析法用的更多。

如本题A，B只要审题细致就可以解决。

而C，D就要用分析法。

C选项中动能最大时，速率最大，速率最大就意味着它的变化率为零，即a=0，加速度为零，即合外力为零，由于合外力为mg-N，因此得mg=N，D选项中动能为零，即速率为零，单方向运动时位移最大，即弹簧形变最大，也就是弹性势能最大。

本题中金属块和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。

从简谐运动图象可以看出位移变化中速度的变化，以及能量的关系。

例A、B球质量均为m，AB间用轻弹簧连接，将A球用细绳悬挂于O点，如图示，剪断细绳的瞬间，试分析AB球产生的加速度大小与方向.

分析：

开始A球与B球处于平衡状态，其受力图示见右：

剪断绳OA瞬间，A、B球均未发生位移变化，故弹簧

产生的弹力kx也不会变化，kx＝mg，所以剪断绳瞬间，

B受力没发生变化，其加速度aB＝0；A球受到合外力

为kx＋mg，其加速度aA＝

＝2g竖直向下.

试分析，将上题中绳与弹簧位置互换后悬挂，将绳剪断瞬间，AB球加速度的大小与方向？

（aA＝g，竖直向上；aB＝g，竖直向下）

例　光滑斜面倾角

＝30°，斜面上放有质量m＝1kg的物体，物体用劲度系数K＝500N/m的弹簧与斜面连接，如图所示，当斜面以a＝

m/s2的加速度匀加速向右运动时，m与斜面相对静止，求弹簧的伸长？

分析：

对m进行受力分析

水平方向：

设弹力为F

Fcos

－Nsin

＝ma

（1）

竖直方向：

Fsin

+Ncos

－mg＝0

（2）

由

（1）、

（2）式可得

F＝

＝6.5N

所以，弹簧伸长x＝F/K＝

＝1.3×10－2米

例　用木板托住物体m，并使得与m连接的弹簧处于原长，手持木板M向下以加速度a（a

分析：

m在与M一起向下做匀加速运动过程中，m受到弹簧的弹力不断增大，板M对m的支持力不断减小，重力保持不变.m与板M分离的条件为板M对m的支持力N恰好为零，且m与M运动的加速度恰还相等（下一时刻将不再相等）.

设：

m与M分离经历t时间，弹簧伸长为x：

mg－kx＝ma

∴x＝

又因为：

x＝

at2

∴t＝

例　质量为m的物体A压在放在地面上的竖直轻弹簧B上，现用细绳跨过定滑轮将物体A与另一轻弹簧C连接，当弹簧C处在水平位置且右端位于a点时，它没有发生形变，已知弹簧B和弹簧C的劲度系数分别为k1和k2，不计定滑轮、细绳的质量和摩擦，将弹簧C的右端由a点沿水平方向拉到b点时，弹簧B刚好没有形变，求a、b两点间的距离.

答案：

解析：

弹簧C弹力

【例3】如图所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一原长为l、劲度系数为k的轻弹簧连结起来，木块与地面间的滑动摩擦因数为

。

现用一水平力向右拉木块

例当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是（）

A.

B.

C.

D.

【分析】本题有多种方法，最简单的做法是考虑m1做匀速运动时的受力平衡。

设x表示弹簧的伸长量，立刻可得出kx=

m1g.所以1、2之间的距离应为

l+x=

.即选项A正确

若不去求解，只由四个选项也可以进行判断。

设木块2的质量m2→0，则外力相当于直接加在弹簧右端，要使m1匀速运动，则弹簧必然伸长，因此1、2间的距离应大于l.所以选项C和D都是错误的（m2→0时，距离→l）。

再设想m1→0时，则弹簧将保持原长，可见选项B也是错误的。

因此已知四个选项中有一个正确的，所以只能是A。

如果不知道有没有正确的选项，那只应按正常的办法求解。

例如图（3）所示甲、乙两装置，所用的器材都相同，只是接法不同，其中的绳为不可伸长的轻绳，弹簧不计质量，当用剪子剪断甲图中弹簧，乙图中的绳子的瞬间，A物体是否受力平衡？

分析：

要注意分析物理图景，有条件的同学可以模仿题中做法自己尝试一下.看是不是这样的情况.甲图，剪断弹簧B球下落，A球仍保持静止；乙图，剪断绳子B球下落，A球会向上运动.显然乙图中的A球受力不平衡.为什么会这样呢？

首先我们先画出在剪断之前两图中A的受力分析：

用剪子剪断弹簧是F2突然消失，剪断绳子是FT2突然消失，由剪断前的受力平衡条件可得出F2=FT2之所以出现差别，关键在于绳上的弹力与弹簧上的弹力不同.绳上张力大小，与外界拉它的力的大小有关，在静力问题中，拉绳子的力越大绳子上的弹力也越大；拉绳子的力越小，绳子上的弹力也越小；拉绳子的力为零，绳子上的弹力为零.方向总是指向绳的收缩方向，即绳子上的弹力可以发生突变.弹簧的弹力大小，由胡克定律可知，与它的形变量有关，形变是不能突然回复的，即弹簧上的弹力不能发生突变.所FT1在剪断弹簧后变为FT1’=GA，而乙图中的F1却不能发生突变.