圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲.docx
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圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲
椭圆
一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义：
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形。
二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）
（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：
，其中；
（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：
，其中；
2、两种标准方程可用一般形式表示：
或者mx2+ny2=1
三、椭圆的性质（以为例）
1、对称性：
对于椭圆标准方程：
是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
3、顶点：
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。
和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
②因为，所以的取值范围是。
越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；
反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。
③离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
注意：
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
5、椭圆的第二定义：
平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。
即：
到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。
①焦点在x轴上：
（a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上：
（a＞b＞0）准线方程：
6、椭圆的内外部
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（1）点在椭圆的内部
（2）点在椭圆的外部
四、椭圆的两个标准方程的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴长
长轴长=，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
，
，
五、其他结论
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1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
3、椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为
4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
（,）
5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。
6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。
7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是
9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
双曲线
一、双曲线的定义
1、第一定义：
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：
（1）距离之差的绝对值。
（2）2a＜|F1F2|。
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：
动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（，其中||=2c）
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三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系
1、点与双曲线
2、直线与双曲线
四、双曲线与渐近线的关系
五、双曲线与切线方程
六、双曲线的性质
七、弦长公式
1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，
则，，
若分别为A、B的纵坐标，则。
2、通径的定义：
过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。
3、若弦AB所在直线方程设为，则＝。
4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解
八、焦半径公式
九、等轴双曲线
十、共轭双曲线
抛物线
一、抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
二、抛物线的性质
三、相关定义
1、通径：
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：
|H1H2|=2P
2、弦长公式：
3、焦点弦：
过抛物线焦点的弦，若，则
（1）x0+，
（2），－p2
（3）弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p
（4）若AB的倾斜角为θ，则=
（5）+=
四、点、直线与抛物线的位置关系
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圆锥曲线与方程
一、圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F（c,0）称为焦点，定直线称为准线，正常数e称为离心率。
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
特别注意：
当时，轨迹为圆（，当时）。
二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
三、曲线与方程
四、坐标变换
1、坐标变换：
2、坐标轴的平移：
3、中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程
【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
解：
抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
【例】双曲线=1（b∈N）的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________。
解：
设F1（－c,0）、F2（c,0）、P（x,y），则|PF1|2+|PF2|2=2（|PO|2+|F1O|2）＜2（52+c2），即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2，
又∵|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|－|PF2|）2+2|PF1|·|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4，
依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜,
又∵c2=4+b2＜，∴b2＜，∴b2=1。
【例】当取何值时，直线：
与椭圆相切，相交，相离？
解：
①代入②得化简得
当即时，直线与椭圆相切；
当，即时，直线与椭圆相交；
当，即或时，直线与椭圆相离。
【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程。
解：
|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，则（a+c）（a－c）=a2－c2=b2，
∴b2=4，设椭圆方程为①
设过M1和M2的直线方程为y=－x+m②
将②代入①得：
（4+a2）x2－2a2mx+a2m2－4a2=0③
设M1（x1，y1）、M2（x2，y2），M1M2的中点为（x0，y0），
则x0=（x1+x2）=，y0=－x0+m=。
代入y=x，得，
由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－，又|M1M2|=，
代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为：
=1。
【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。
解：
以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为（－10，－4）、（10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py，将A点坐标代入，得100=－2p×（－4），解得p=12。
5，
于是抛物线方程为x2=－25y。
由题意知E点坐标为（2，－4），E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0。
16，从而|EE′|=（－0.16）－（－4）=3.84。
故最长支柱长应为3.84米。
【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程。
解：
设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），P（x1，y1），Q（x2，y2）
由得（m+n）x2+2nx+n－1=0，Δ=4n2－4（m+n）（n－1）＞0，即m+n－mn＞0，
由OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴+1=0，∴m+n=2①
又22，将m+n=2，代入得m·n=②
由①、②式得m=，n=或m=，n=
故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。
【例】已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。
解：
由设椭圆方程为
设
又两式相减，得
又即
将
由得
解得故所有椭圆方程
【例】过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。
解法一：
由e=，得，从而a2=2b2，c=b。
设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上。
则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12－x22）+2（y12－y22）=0，
设AB中点为（x0，y0），则kAB=－，又（x0，y0）在直线y=x上，y0=x0，于是－=－1，kAB=－1，
设l的方程为y=－x+1。
右焦点（b，0）关于l的对称点设为（x′，y′），
由点（1，1－b）在椭圆上，得1+2（1－b）2=2b2，b2=。
∴所求椭圆C的方程为=1，l的方程为y=－x+1。
解法二：
由e=，从而a2=2b2，c=b。
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2，l的方程为y=k（x－1），
将l的方程代入C的方程，得（1+2k2）x2－4k2x+2k2－2b2=0，
则x1+x2=，y1+y2=k（x1－1）+k（x2－1）=k（x1+x2）－2k=－
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