考研数学三真题与答案.docx
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考研数学三真题与答案
2006年考研数学三真题
一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
）
（1）。
【答案】
【解析】
【方法一】记因为且故。
【方法二】而为有界变量，则原式。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算
（2）设函数在的某领域内可导，且则。
【答案】。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由知
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数
（3）设函数可微，且则在点处的全微分。
【答案】
【解析】因为
所以。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分
（4）设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。
【答案】2。
【解析】
因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
（5）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。
【答案】。
【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
（6）设总体的概率密度为
为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。
【答案】
【解析】
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质
二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）
（1）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则
（A）（B）
（C）（C）
【答案】A。
【解析】
【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图
由图可得
【方法二】
由凹曲线的性质，得，于是，即
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
（8）设函数在处连续，且则
（A）且存在（B）且存在
（C）且存在（D）且存在
【答案】C。
【解析】由且则由于在处连续，且从而
由于上式中
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念
高等数学—一元函数微分学—导数的概念
（9）若级数收敛，则级数
（A）收敛（B）收敛
（A）收敛（A）收敛
【答案】D。
【解析】由收敛知收敛，所以级数收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
（10）非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B。
【解析】由于是对应其次线性微分方程的非零解，所以它的通解是故原方程的通解为
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—常微分方程与差分方程—非齐次线性微分方程性质及解的结构
（11）设与均为可微函数，且。
已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若，则
（B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
【答案】D。
【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数并记对应的参数的值为则即
消去得
整理得：
若则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
（12）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是
（A）若线性相关，则线性相关
（B）若线性相关，则线性无关
（C）若线性无关，则线性相关
（D）若线性无关，则线性无关
【答案】A。
【解析】
【方法一】因为线性相关，故存在不全为零的数使得
从而有
即由于不全为0而是上式成立，说明线性相关。
【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有
那么
因为线性相关，有
从而故线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩
（13）设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B。
【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有
所以。
综上所述，本题正确答案是B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
（14）设随机变量服从正态分布服从正态分布且则必有
（A）（A）
（C）（D）
【答案】A。
【解析】由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。
随机变量且其概率密度函数为偶函数，故
同理,
因为是单调增函数，当时，
即所以即。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用
三、解答题（15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
（15）（本题满分7分）
设求
（I）
（II）
【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。
（I）在求时为固定的正数，则
则。
（II）=
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的比较、洛必达法则
（16）（本题满分7分）
计算二重积分其中是由直线所围成的平面区域。
【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。
积分区域如左图，因为根号下的函数为关于的一次函数，先后积分较容易，所以：
。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的计算
（17）（本题满分10分）
证明：
当时，.
【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。
设
则
则在上单调减，从而有
因此，在上单调增，当时，
即。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质
（18）（本题满分8分）
在坐标平面上，连续曲线过点其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于。
（I）求的方程；
（II）当与直线所围成的平面图形的面积为时，确定的值。
【解析】本题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分计算图形的面积。
（I）设曲线的方程为则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中代入通解公式得
又所以
故曲线的方程为
（II）与直线所围成平面图形如下图所示，所以：
故
【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质
高等数学—常微分方程与差分方程—一阶线性微分方程
（19）求幂级数的收敛域及和函数
【解析】因为幂级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数。
记则
所以即时，所给幂级数收敛；当时,所给幂级数发散；当时，所给幂级数为均收敛，故所给幂级数的收敛域
在内，
而,
所以
又于是同理
又所以
故
由于所给幂级数在处都收敛，且
在处连续，所以在成立，即
【考点】高等数学—无穷级数—理幂级数及其收敛域、幂级数的和函数
（20）（本题满分13分）
设四维向量组问为何值时，线性相关？
当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
【解析】本题考查求极大线性无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的方法。
个维向量线性相关记
于是当或时，线性相关，
当时，为的一个极大线性无关组，且
当时，对施以初等行变换，有
由于为的一个极大线性无关组，且
故为的一个极大线性无关组，且
【考点】线性代数—向量—向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组
（21）（本题满分13分）
设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解。
（
）求的特征值与特征向量；
（
）求正交矩阵和对角矩阵，使得;
（III）求及其中为三阶单位矩阵。
【解析】本题中未知，故用定义法求解。
（I）因为矩阵的各行元素之和均为即有所以是矩阵的特征值，是属于的特征向量。
又故是矩阵属于的两个线性无关的特征向量。
因此矩阵的特征值是.
的特征向量为其中为常数；
的特征向量为其中是不全为0的常数。
（II）因为不正交，故需要正交化，
单位化
那么令
得
（III）由前面知有即
又
所以
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算
（22）（本题满分13分）
设随机变量的概率密度为令
为二维随机变量的分布函数，求：
（I）的概率密度
（II）
（III）.
【解析】
（I）设的分布函数为则
当时，
当时，
当时，
;
当时，
故的概率密度为
（II）
故。
（III）
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维连续型
随机变量的概率密度、分布函数
概率论与数理统计—随机变量的数字特征— 随机变量的数学期望（均值）、协方差
（23）（本题满分13分）
设总体的概率密度为
其中是未知参数为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于的个数，求：
（I）的矩估计；
（II）的最大似然估计。
【解析】未知参数仅一个所以矩估计的关键在于找出总体的矩，似然估计的关键在于写出似然函数。
（I）
令解得
所以参数的矩估计为其中。
（II）似然函数为
取对数，得
两边对求导，得显然最大，所以的最大似然估计为。
【考点】概率论与数理统计—参数估计—矩估计法最大似然估计法
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