小学计数知识学习汇总.docx
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小学计数知识学习汇总
小学计数知识学习汇总
乘法原理
加法原理
整体法
排列组合法
标数法
递推法
小学计数知识学习：
乘法原理习题一
答案
小学计数知识学习：
乘法原理习题二
求正整数1400的正因数的个数．
解 因为任何一个正整数的任何一个正因数（除1外）都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积
1400=23527
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到（有的可重复）．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
（1）取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种；
（2）取52的正因数是50，51，52，共2+1种；
（3）取7的正因数是70，71，共1+1种．
所以1400的正因数个数为
（3+1）×（2+1）×（1+1）=24．
说明利用本题的方法，可得如下结果：
若pi是质数，ai是正整数（i=1，2，…，r），则数
的不同的正因数的个数是
（a1+1）（a2+1）…（ar+1）．
小学计数知识学习：
乘法原理习题三
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9＝6561，
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．
小学计数知识学习：
乘法原理习题四
用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
分析与解：
组成一个三位数要分三步进行：
第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。
根据乘法原理，可以组成三位数
5×6×6＝180（个）。
小学计数知识学习：
乘法原理习题五
从甲城到乙城有3条不同的道路，从乙城到丙城有4条不同的道路，那么从甲城经乙城到丙城共有多少条不同的道路？
解：
4×3=12（条）
答：
从甲城经乙城到丙城共有12条不同的道路。
小学计数知识学习：
乘法原理习题六
1、三位小朋友每两人通一次电话,一共通了多少次？
2、在一次聚会上,小刚遇见了他的5位朋友,他们彼此握了一次手,他们一共握了多少次手？
3、校运动会上,四年级有5人参加乒乓球单打比赛,每人都要和另外4人比赛一场,一共要比赛多少场
4、小红和她的爸爸,妈妈,弟弟去公园玩,每次选2人进行合影留念,有多少种不同的选法?
5、某旅行社推出"五一"黄金周的旅游景点为:
桂林,花果山,周庄,苏州园林,南京中山陵.小红家想选择其中的两个景点游玩,他们家一共有多少种不同的选择方案?
6、有5位同学,如果每两人互赠一件礼物,共需多少件礼物?
小学计数知识学习：
乘法原理习题七
一个小组有6名成员，召开一次座谈会，见面后，每两个都要握一次手，一共要握多少次手？
解：
5×6÷2=15（次）
答：
一共要握15次手。
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乘法原理习题八
变速自行车主动车轴上有48、36、24三种齿数的轮子，后轴飞轮有36、16、12、24四种齿数的轮子，变速车共有多少种不同的速变？
解：
3×4=12（种）
答：
变速车共有12种不同的速变。
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乘法原理习题九
从甲城到乙城有3条不同的道路，从乙城到丙城有4条不同的道路，那么从甲城经乙城到丙城共有多少条不同的道路？
解：
4×3=12（条）
答：
从甲城经乙城到丙城共有12条不同的道路。
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加法原理习题一
答案：
小学计数知识学习：
加法原理习题二
1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。
问：
一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
分析与解：
一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：
4＋3＋2=9（种）不同走法。
2、旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
分析与解：
根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。
第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。
所以一共可以表示出不同的信号
3＋6=9（种）。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。
乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
小学计数知识学习：
加法原理习题三
1、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
分析与解：
两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。
根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
2、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：
共有多少种不同的染色方法？
分析与解：
本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。
因为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同。
本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。
根据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×3＝180（种）。
当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。
根据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有
180＋240=420（种）。
小学计数知识学习：
加法原理习题四
用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
分析与解：
将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：
连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。
连续五位是1，只有11111一种；
中任一个，所以有3＋3＝6（种）；
3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
由加法原理，这样的五位数共有
1＋6＋33＝40（种）。
在此题中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使用的都是加法原理。
小学计数知识学习：
加法原理习题五
下图中每个小方格的边长都是1。
一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。
如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？
分析与解：
如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见下图）。
实际上，小虫爬行的总长是3。
小虫爬行的第一步有四种情况：
向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；
同理，向右也有6条路线；
向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；
同理，向下也有4条路线。
根据加法原理，共有不同的爬行路线
6＋6＋4＋4＝20（条）
小学计数知识学习：
加法原理习题六
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。
问：
共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？
小学计数知识学习：
加法原理习题七
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。
问：
共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？
小学计数知识学习：
加法原理习题八
1.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：
共有多少种不同的染色方法？
2.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
3.下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？
小学计数知识学习：
加法原理习题九
1、小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
分析与解：
登上第1级台阶只有1种登法。
登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。
登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。
根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。
由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。
登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。
也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
小学计数知识学习：
加法原理习题十
在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？
分析与解：
题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。
如果到E点有a种走法（此处a＝6），到F点有b种走法（此处b＝4），根据加法原理，到D点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。
我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见上图），最后得到共有35条不同路线。
小学计数知识学习：
整体法经典例题
经典例题展示1：
有一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两个数字大；另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两个数字小。
请问符合要求的数M和W，哪一类的个数多？
多多少？
经典例题展示2：
游乐园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。
问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?
小学计数知识学习：
整除法习题一
解题时，不是着眼于题中一个一个的元素，而是把二个以上的元素看作一个整体，这种从整体结构考虑的解题方法，称之整体法。
例1右图是一个圆柱被平面斜切余下的几何体，求这个物体的体积。
（单位：
cm）
此题利用小学阶段的数学知识不能直接通过计算解答。
若考虑圆柱的整体，所求物体是其一半。
小学计数知识学习：
整除法习题二
小学计数知识学习：
整除法习题三
小学计数知识学习：
整除法习题四
小学计数知识学习：
整除法习题五
小学计数知识学习：
整体法习题六
小学计数知识学习：
整体法习题七
小学计数知识学习：
整体法习题八
小学计数知识学习：
整体法习题九
小学计数知识学习：
排列组合习题一
答案
小学计数知识学习：
排列组合习题二
答案
小学计数知识学习：
排列组合习题三
答案
小学计数知识学习：
排列组合习题四
小学计数知识学习：
排列组合习题五
从北京到天津火车有10个车次,汽车有12个班次,飞机有2个航班,从天津到上海火车有10个车次,汽车有8个班次,飞机有8个航班,轮船有2个班次,
（1）问:
从北京到天津有多少种不同的到达方法
（2）问:
从北京经天津到上海有多少种不同的到达方法.
解:
（1）完成这件事:
从北京到达了天津（可乘坐任何班次的火车,汽车,飞机）
乘坐火车,汽车,飞机都能完成这件事,火车,汽车,飞机中的任何班次都能完成这件事,因此采用分类计数原理,共有三类办法,每一类分别有10,12,2种不同的办法,共有10+12+2=24种不同的办法.
（2）完成这件事:
从北京经天津到达上海（必须经天津）
完成这件事分为两个步骤:
第一步,从北京到天津,共有24种不同的办法;第二步从天津到上海,共有10+8+8+2=28（作法同
（1））种不同的方法,完成这件事利用分步计数原理共有24×28=672种不同的方法.
小学计数知识学习：
排列组合习题六
（1）四位同学参加跳远,跳高,跑步三项比赛,要求每人报名参加一项,问:
有多少种不同的报名方法
（2）四位同学争夺跳远,跳高,跑步三项比赛的冠军,问:
有多少种不同的结果
解:
（1）完成这件事:
四位同学都有了一个项目,四位都报了名这件事才完.采用分步计数原理:
3×3×3×3=81种不同的方法;
（2）完成这件事:
三项冠军都有了得主,而对于每一项冠军来说,每一位同学都有可能得到.采用分步计数原理:
4×4×4=64种不同的方法.
小学计数知识学习：
排列组合习题七
1、求:
集合A={1,2,3,4}的子集的个数.
解:
首先要知道子集的定义,即:
集合M中的每一个元素都在集合N中,则称集合M是集合N的子集.因此集合A的子集中的元素都是集合A的元素,需要考察集合A中的每一个元素是否在其子集中,而对于一个元素相对于集合来说只有在,不在两种情况,集合A中有四个元素,集合A的子集的个数为:
2×2×2×2=16个.
2、求:
用0,1,2,3组成无重复数字的三位偶数的个数.
解:
由于满足条件的三位数的个位需要0,2,而个位是0,2对百位（首位）又有不同的影响（首位不能为零）,因此把满足条件的三位数分为个位是0,个位是2两类:
个位是0时有3×2=6个数;
个位是2时有2×2=4个数,共有10个数.
分类,分步计数原理同时应用时,一般采用先分类,后分步的原则.
小学计数知识学习：
排列组合习题八
7人站在一排,
（1）甲站在中间的不同排法有___________种;
（2）甲,乙相邻的不同排法有_____________种;
（3）甲,乙不相邻的不同排法有___________种;
（4）甲,乙,丙两两不相邻的不同排法有__________种;
（5）甲站在乙的左边的不同排法有_____________种;
（6）甲不站在左端,乙不站在右端的不同排法有___________种.
解:
求满足条件的排列数需要从特殊条件的元素入手,先排好特殊元素,对于没有要求的元素进行全排列即可.
（1）先排甲:
（此时的中间指正中间）;
（2）先排甲,乙:
=1440（相邻的问题采用"捆绑"的方法,把甲,乙二人排好后看作一人,再与其他五人,共六人全排列）;
（3）先排甲,乙:
=3600（不相邻的问题采用插空的方法,没有要求的五个人排好后出现六个空,甲,乙二人站在其中的两个空中）;
（4）先排甲,乙,丙:
=1440（道理同（3））;
（5）由于七个人站好以后,甲在乙的左边,与甲在乙的右边的情况是一样的,因此满足条件的不同排法为:
=2520种;
（6）由于甲站不站在右端对乙有影响,因此满足条件的站法被分为两类:
甲站右端,甲不站右端,甲站右端:
=720;甲不站右端:
=3000,共有3720种不同的站法.
也可:
=3720（用七个人的全排列减去甲在左端,再减去乙在右端,再加上甲在左端且乙在右端）.
小学计数知识学习：
排列组合习题九
用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的五位数,其中
（1）这样的五位数的个数是___________;
（2）奇数有________个,偶数有__________个;
（3）5的倍数有________个;
（4）奇数位必须为奇数有________个.
解:
（1）首位特殊（首位不能为零）:
=600;
（2）末位,首位特殊（从未位入手）:
=288;
（3）可用
（1）
（2）的结论:
600-288=312,也可分为末位是0,末位是2,4两类,
末位是0:
=120;末位是2,4:
=192,共有120+192=312种;
（4）1,3,5位特殊:
=36种.
小学计数知识学习：
排列组合习题十
1、100件产品中有4件次品,现抽取3件检查,
（1）恰好有一件次品的取法有___________种;
（2）既有正品又有次品的取法有_______________种.
解:
（1）=18240种;
（2）既有正品又有次品分为:
1件次品,2件正品;2件次品,1件正品两类,
即:
=18816手中.
2、6本不同的书,
（1）分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本,有___________分法;
（2）分给甲,乙,丙三人,一人一本,一人两本,一人三本,有_________分法;
（3）分成三堆,每堆两本,有__________分法;
（4）分给甲,乙,丙三人,每人两本,有_____________分法.
解:
（1）三堆书的本数各不相同:
=60种（分组,没有顺序）;
（2）相当于
（1）中三堆书再分给三个人:
=360种;
（3）三堆书的本数相同（平均分组的问题）:
=15种;
（4）相当于（3）中三堆书再分给三个人:
.
小学计数知识学习：
标数法习题一
小学计数知识学习：
标数法习题二
1.如图所示，小明家在A地，小学在B地，电影院在C地。
1.小明从家里去学校，走最短的线路，有多少种走法?
2.小明从家里去电影院，走最短线路，有多少种走法?
小学计数知识学习：
标数法习题三
如图，从一楼到二楼有12梯，小明一步只能上1梯或2梯，问小明从1楼上到2楼有多少种走法？
小学计数知识学习：
标数法习题四
一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
解答：
蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房。
明确了行走路径的方向，就可运用标数法进行计算。
如图所示，小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法。
小学计数知识学习：
标数法习题五
例1．按图中箭头所指的方向行走，从A到I共有多少条不同的路线？
解答：
第1步：
在起点A处标1。
再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，所以在B点也标1。
第2步：
再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点C处标1＋1＝2。
同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I
小学计数知识学习：
标数法习题六
分析:
既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地的过程中只能向右或向下走.
我们首先来确认一件事,如下图
从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B地有多少种走法呢?
就是用加法原理,一共有m+n种走法.
这个问题明白了之后,我们就可以来解决这道例题了:
首先由于只能向右或向下走,那么最上面一行和最左边一列的每一个点都只能有一种走法,（因为不可以走回头路）.
我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.
小学计数知识学习：
标数法习题七
有一个5位数,每个数字都是1,2,3,4,5中的一个,并且相临两位数之差是1.那么这样的5位数到底有多少个呢?
（数字可以重复）
这是一道数论的题目,但是我们也可以使用标数法来解答,并且非常直观.
到第一站可以有5种选择,每种选择有一种走法,
那么下一站,
走1号门就只有一种走法（就是第一站走的2号门）,
走2号门就有2种走法（第一站走1号或3号门）
走3号门也是2种走法（第一站走2号门或4号门）
走4号门2种走法（第一站走3号门或者5号门）
走5号门只有一种走法（第一站走的是4号门）
我们发现在这一站经过某个门有多少种走法,正好等于他左上和右上的两个数字和.于是我们可以将数字标全.
这道题的答案就是42种,
虽然很多同学会用枚举法也能做出42种,但是一旦这道题给的不是5位数,而是7位数,9位数的话,枚举法就显得无力了.这种时候标数法是个不错的选择.
可以用到标数法的问题有很多，大家掌握这种方法之后可以解决很多平时看起来很麻烦的题目。
小学计数知识学习：
标数法习题八
在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。
例1下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？
分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？
从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。
有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：
A→C→D→G→BA→C→F→G→B
A→C→F→I→BA→E→F→G→B
A→E→F→I→BA→E→H→I→B
通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏
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