北京市大兴区学年八年级下学期期末考试数学试题及答案解析版.docx
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北京市大兴区学年八年级下学期期末考试数学试题及答案解析版
北京市大兴区2013-2014学年八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列每小题的四个选项中，只有一个是正确的．请将1-10各小题正确选项前的字母填写在下表相应题号下面的空格内．
1．方程：
x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）
A．x=﹣1B．x=3C．x1=﹣1，x2=3D．以上答案都不对
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
专题：
计算题．
分析：
解此题采用因式分解法最简单，此题中的公因式为（x+1），提取公因式即可求得．
解答：
解：
∵x（x+1）=3（x+1）
∴x（x+1）﹣3（x+1）=0
∴（x+1）（x﹣3）=0
∴x1=﹣1，x2=3
故选：
C．
点评：
此题提高了学生的计算能力，解题时要注意解题方法的选择，特别要注意虽然因式分解法不适用于所有一元二次方程，但是只要可以用，它就是最简单的方法．
2．已知等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
考点：
等腰梯形的性质．
分析：
过点D作DE∥BC，可知△ADE是等边三角形，从而得到∠C=60°．
解答：
解：
如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
∴DE=CB=AD，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
所以∠A=60°．
故选：
D．
点评：
此题考查等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法．
3．将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点：
解一元二次方程-配方法．
专题：
配方法．
分析：
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：
解：
∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=﹣1，
∴x2+4x+4=﹣1+4，
∴（x+2）2=3．
故选：
A．
点评：
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
考点：
方差；折线统计图；算术平均数；中位数；极差．
分析：
结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．
解答：
解：
A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A选项正确；
B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B选项正确；
C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，故C选项正确；
D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D选项错误．
故选：
D．
点评：
此题主要结合折线统计图，利用极差、中位数、平均数以及方差来进行分析数据，找到解决问题的突破口．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是直角梯形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
考点：
正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定；直角梯形．
分析：
做题时首先知道各种四边形的判定方法，然后作答．
解答：
解：
A、邻边相等的平行四边形是菱形，有两边相等的平行四边形是菱形，并没有说明是邻边，故A错误；
B、有一个角是直角的四边形是直角梯形，还可能是正方形或矩形，故B错误；
C、四个角相等的菱形是正方形，故C正确；
D、两条对角线相等的四边形是矩形，还可能是梯形或正方形，故D错误．
故选：
C．
点评：
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
6．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点：
根的判别式．
专题：
计算题．
分析：
由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
解答：
解：
∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，
∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，
解得：
m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故选：
C．
点评：
此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2﹣4ac有关，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．
7．为了了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中50名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），进行整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（注：
15～20包括15，不包括20，以下同），请根据统计图计算成绩在20～30次的频率是（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
考点：
频数（率）分布直方图．
专题：
图表型．
分析：
根据频率的求法，频率=
，计算可得答案．
解答：
解：
（15+20）÷（5+10+15+20）=0.7，
故选：
D．
点评：
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8．梯形的上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是19cm，那么这个梯形的周长等于（ ）
A．31cmB．28cmC．25cmD．19cm
考点：
梯形．
分析：
根据题意，画出图形，根据图形写成已知条件，将梯形划分为一个平行四边形和一个三角形，利用平行四边形的性质将线段的长度转化，可求梯形的周长．
解答：
解：
如梯形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，CD=6cm，
AD+DE+AE=19cm，
根据平行四边形的判定可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴BA=CD=6cm，
∴BE+BC+CD+DE=AB+AE+DE+CD+AD=6+6+19=31cm，
即梯形周长为31cm；
故选：
A．
点评：
本题考查了梯形、平行四边形的判定与性质，要充分运用线段相等的关系将周长进行转化．
9．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
解答：
解：
设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：
100（1+x）2=121，
故选：
D．
点评：
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
10．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点：
多边形的对角线．
分析：
可根据多边形的对角线与边的关系列方程求解．
解答：
解：
设多边形有n条边，
则
=9，
解得n1=6，n2=﹣3（舍去），
故多边形的边数为6．
故选：
A．
点评：
这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
11．若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为 ±
．
考点：
一元二次方程的解．
分析：
方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
解答：
解：
把x=2代入方程x2﹣x﹣a2+5=0得：
4﹣2﹣a2+5=0，
解得：
a=±
．
故答案为：
±
．
点评：
本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
12．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 c＞9 ．
考点：
根的判别式．
分析：
根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（﹣6）2﹣4c＜0，再解不等式即可．
解答：
解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，
即36﹣4c＜0，
解得：
c＞9．
故答案为：
c＞9．
点评：
本题考查了一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
13．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 等腰梯形 ．
考点：
等腰梯形的判定．
分析：
一组对边平行，一组对边不平行的是梯形，两底角相等的梯形是等腰梯形，因为放在一张矩形纸上可先判断出是梯形，然后证明两底角相等．
解答：
解：
∵放置在一张矩形纸片上，
∴AD∥BC，AB和DC不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
∵∠ABC=∠EDC，∠BCD=∠EDC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
故答案为：
等腰梯形．
点评：
本题考查梯形的概念和等腰梯形的判定，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，底角相等的梯形是等腰梯形，本题先判定是梯形，再判定是等腰梯形．
14．已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：
x2=1（答案不唯一） ．
考点：
一元二次方程的解．
专题：
开放型．
分析：
由于方程有一个根是1，并且是一元二次方程，所以答案不唯一，但一定有一个因式是（x﹣1）．
解答：
解：
∵关于x的一元二次方程的一个根是1，
∴方程有很多，
例如x2﹣x=0．
故答案为：
x2=1（答案不唯一）．
点评：
此题是开放性试题，答案不唯一，主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
15．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 1 m（可利用的围墙长度超过6m）．
考点：
一元二次方程的应用．
专题：
几何图形问题．
分析：
设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6﹣2x），（6﹣2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
解答：
解：
设AB长为x米，则BC长为（6﹣2x）米．
依题意，得x（6﹣2x）=4．
整理，得x2﹣3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．
所以当x=1时，6﹣2x=4；
当x=2时，6﹣2x=2（舍去）．
答：
AB的长为1米．
故答案为：
1．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用6米的篱笆围成三个边．
16．（4分）一组数据3、4、5、a、7的平均数是5，则它的方差是 2 ．
考点：
方差．
分析：
先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．
解答：
解：
由题意得：
a=5×5﹣（3+4+5+7）=6
∴数据的方差S2=
[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2．
故答案为：
2．
点评：
本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为
，则方差S2=
[（x1﹣
）2+（x2﹣
）2+…+（xn﹣
）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（4分）阅读材料：
设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x1+x2=﹣
，x1•x2=
．
根据该材料填空：
已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则
+
的值为 10 ．
考点：
根与系数的关系．
专题：
阅读型．
分析：
根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据
，代入数值计算即可．
解答：
解：
由题意知，x1+x2=﹣
=﹣6，x1x2=3，
所以
=
=10．
点评：
本题考查了代数式变形，难度中等，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为 2或
秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
考点：
梯形；平行四边形的判定．
专题：
动点型．
分析：
分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析，根据平行四边形的性质，可得方程，继而可求得答案．
解答：
解：
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=
BC=
×12=6，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP=t，DP=AD﹣AP=4﹣t，CQ=2t，EQ=CE﹣CQ=6﹣2t，
∴4﹣t=6﹣2t，
解得：
t=2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP=t，DP=AD﹣AP=4﹣t，CQ=2t，EQ=CQ﹣CE=2t﹣6，
∴4﹣t=2t﹣6，
解得：
t=
，
∴当运动时间t为2或
秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：
2或
．
点评：
此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
三、解方程（本题共10分）
19．（5分）解方程：
（2x+3）2﹣2x﹣3=0．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
通过提取公因式（2x+3）对等式的左边进行因式分解．
解答：
解：
原方程化为（2x+3）2﹣（2x+3）=0．
提取公因式（2x+3）（2x+3﹣1）=0．
即2（2x+3）（x+1）=0．
解得
，x2=﹣1．
点评：
本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．（5分）用配方法解方程：
2x2+1=3x．
考点：
解一元二次方程-配方法．
专题：
计算题．
分析：
首先把方程的二次项系数变成1，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．
解答：
解：
移项，得2x2﹣3x=﹣1，
二次项系数化为1，得
，
配方
，
，
由此可得
，
∴x1=1，
．
点评：
配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．
本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．
四、解答题（本题共28分）
21．（5分）（根据市教委提出的学生每天体育锻炼不少于1小时的要求，为确保阳光体育运动时间得到落实，某校对九年级学生每天参加体育锻炼的时间作了一次抽样调查，其中部分结果记录如下：
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
0≤t＜0.5
10
0.2
0.5≤t＜1
0.4
1≤t＜1.5
10
0.2
1.5≤t＜2
0.1
2≤t＜2.5
5
合计
1
请你将频数分布表和频数分布直方图补充完整．
考点：
频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
专题：
图表型．
分析：
首先根据所有频率之和为1求出未知的那个小组的频率，然后根据表格中已知的一组数据可以求出抽样调查的总人数，然后分别乘以各个所求小组的频率，就可以求出所有未知小组的频数，最后即可补全频数分布直方图．
解答：
解：
依题意得2≤t＜2.5小组的频率为：
1﹣0.2﹣0.4﹣0.2﹣0.1=0.1，
根据0≤t＜0.5这组数据可得抽样调查的总人数为10÷0.2=50人，
∴50×0.4=20人，
50×0.1=5人，
∴频数分布表和频数分布直方图补充如图所示：
时间分组（小时）
频数（人数）
频率
0≤t＜0.5
10
0.2
0.5≤t＜1
20
0.4
1≤t＜1.5
10
0.2
1.5≤t＜2
5
0.1
2≤t＜2.5
5
0.1
合计
50
1
点评：
本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，根据表格和图形的信息是解决问题的关键．
22．（5分）己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
考点：
根的判别式．
分析：
（1）方程有两个不相等的实数根，即△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m的范围；
（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值．
解答：
解：
△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，解得m＜
．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0
解得m=
∴方程的根是：
x1=x2=
．
点评：
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
23．（6分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
考点：
一元二次方程的应用．
专题：
几何图形问题．
分析：
等量关系为：
矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．
解答：
解：
设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣4x2=80%×10×8，
80﹣4x2=64，
4x2=16，
x2=4．
解得：
x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：
截去的小正方形的边长为2cm．
点评：
读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去．
24．（6分）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：
△DEF为等边三角形．
考点：
等腰梯形的性质；等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．
专题：
证明题．
分析：
根据梯形的两腰平行和等腰梯形的性质证得2CB=BD，然后证明∠BDE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来证明等边三角形．
解答：
证明：
∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=
∠ABC=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CDB=∠DBE
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点，
∵DE⊥AB，
∴DF=BF=EF，
由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．
点评：
本题考查了等腰梯形的性质及等边三角形的判定方法，等边三角形最常用的判定方法是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
25．（6分）阅读理解：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是x=
．方程y2+by+ac=0的根是x=
．
因此，要求ax2+bx+c=0（a≠0）的根，只要求出方程y2+by+ac=0的根，再除以a就可以了．
举例：
解方程72x2+8x+
=0．
解：
先解方程y2+8y+72×
=0，得y1=﹣2，y2=﹣6．
∴方程72x2+8x+
=0的两根是x1=
，x2=
．
即x1=﹣
，x2=﹣
．
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程49x2+6x﹣
=0．
考点：
解一元二次方程-公式法．
专题：
阅读型．
分析：
根据阅读材料中的方法计算即可求出解．
解答：
解：
先解方程y2+6y﹣49×
=0，即y2+6y﹣7=0，
分解因式得：
（y﹣1）（y+7）=0，
解得：
y1=1，y2=﹣7，
∴方程49x2+6x﹣
=0
解为：
x1=
，x2=﹣
．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣公式法，弄清题中的方法是解本题的关键
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