[典例] 如图4 1 5所示，一艘轮船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。
某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。
求：
图4 1 5
（1）发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小。
（2）发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
[审题指导]
（1）发动机熄火前，轮船运动的速度4m/s为水流速度和轮船相对静水行驶速度的合速度。
（2）发动机熄火后，轮船相对静水行驶速度的方向不变，逐渐减小，其合速度的大小和方向也在变化。
[解析]
（1）发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示。
故此时轮船相对于静水的速度v2的大小：
v2＝＝m/s＝5m/s，设v与v2的夹角为θ，则cosθ＝＝0.8。
（2）熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin＝v1cosθ＝3×0.8m/s＝2.4m/s。
[答案]
（1）5m/s
（2）2.4m/s
[针对训练]
1．（多选）（2016·衡水高三月考）小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图4 1 6所示，则（ ）
图4 1 6
A．越接近河岸水流速度越小
B．越接近河岸水流速度越大
C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
解析：
选AC 由船的运动轨迹可知，小船渡河过程是先做加速运动后做减速运动。
河流的中心水流速度最大，越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误；由于船头垂直河岸，则这种方式过河的时间最短，C正确；船过河的时间与水流速度无关，D错误。
2．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。
现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（ ）
A．增大α角，增大船速v
B．减小α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D．增大α角，保持船速v不变
解析：
选A 保持航线不变，且准时到达对岸，即船的合速度大小和方向均不变，由图可知，当水流速度v水增大时，α增大，v也增大，故选A。
3．如图4 1 7所示，两次渡河时船对水的速度大小和方向都不变。
已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。
由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。
则（ ）
图4 1 7
A．t2>t1，v2＝v1
B．t2>t1，v2＝v1
C．t2＝t1，v2＝v1
D．t2＝t1，v2＝v1
解析：
选D 两次船相对于静水的速度都是不变的，船相对于水的速度可以分解为垂直于河岸和平行于河岸两个方向。
由于船速大小和方向不变，故垂直于河岸的速度不变，所以渡河的时间相等，即t2＝t1；渡河的位移x1＝v1t1，x2＝v2t2，解得：
v2＝v1，所以D正确，A、B、C错误。
要点四 关联速度问题
1．模型特点
沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
方法：
v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．常见模型
把物体的实际速度分解为沿绳（杆）和垂直于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图4 1 8所示。
图4 1 8
[典例] （多选）（2016·天津实验中学模拟）如图4 1 9所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。
现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
图4 1 9
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为（－1）d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
[解析] 小环释放后，v增加，而v1＝vcosθ，v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，故绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝（－1）d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，其分速度v1与重物上升的速度大小相等，v1＝vcos45°＝v，所以，小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。
[答案] ABD
[针对训练]
1．（多选）（2016·东北师大附中模拟）如图4 1 10所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
图4 1 10
A．人拉绳行走的速度为vcosθ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
解析：
选AC 人拉绳行走的速度等于船的速度v沿绳方向的分量vcosθ，A正确，B错误；由牛顿第二定律得：
Fcosθ－Ff＝ma，故船的加速度a＝，C正确，D错误。
2．（2016·北京朝阳区二模）如图4 1 11所示，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（ ）
图4 1 11
A． B．
C．D．
解析：
选B 棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝。
所以A、C、D均错，B正确。
3．（多选）如图4 1 12所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是（ ）
图4 1 12
A．此时B球的速度为v
B．此时B球的速度为v
C．在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动
D．在β增大到90°的过程中，B球做加速运动
解析：
选AD 由于绳连接体沿绳方向的速度大小一定，因此vcosα＝vBcosβ，解得vB＝v，A项正确，B项错误；在β增大到90°的过程中，α在减小，因此B球的速度在增大，B球在做加速运动，C项错误，D项正确。
生活中的运动合成问题
（一）骑马射箭
1．（多选）民族运动会上有一骑射项目如图4 1 13所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。
假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。
要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）
图4 1 13
A．运动员放箭处离目标的距离为
B．运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到固定目标的最短时间为
D．箭射到固定目标的最短时间为
解析：
选BC 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C对、D错；运动员放箭处离目标的距离为，又x＝v1t＝v1·，故＝＝，A错误、B正确。
（二）下雨打伞
2．雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打伞以3m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
解析：
雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。
雨滴相对人有向东3m/s的速度v1，有竖直向下的速度v2＝4m/s，如图所示，雨滴对人的合速度v＝＝5m/s。
tanα＝＝。
即α＝37°。
答案：
向西倾斜，与竖直方向成37°角
（三）转台投篮
3．（2016·奉贤区二模）趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。
则如图（各俯视图）篮球可能被投入球筐（图
中箭头指向表示投篮方向）的是（ ）
解析：
选C 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐。
故C正确，A、B、D错误。
（四）风中骑车
4．某人骑自行车以4m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为（ ）
A．西北风 风速为4m/s
B．西北风 风速为4m/s
C．东北风 风速为4m/s
D．东北风 风速为4m/s
解析：
选D 以骑车中的人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向正西，风速大小为v1＝4m/s，当时有正北风，人感觉到的风向为正南，风速为v2＝4m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速v＝4m/s，D正确。
对点训练：
合运动的轨迹与性质判断
1．（多选）（2016·揭阳期末）某质点在光滑水平面上做匀速直线运动。
现对它施加一个水平恒力，则下列说法正确的是（ ）
A．施加水平恒力以后，质点可能做匀加速直线运动
B．施加水平恒力以后，质点可能做匀变速曲线运动
C．施加水平恒力以后，质点可能做匀速圆周运动
D．施加水平恒力以后，质点立即有加速度，速度也立即变化
解析：
选AB 当水平恒力的方向与速度的方向在同一条直线上时，质点做匀变速直线运动，选项A正确；当水平恒力的方向与速度的方向不在同一条直线上时，质点做匀变速曲线运动，选项B正确；无论力的方向与速度的方向关系如何，质点都不可能做匀速圆周运动，选项C错误；速度不能发生突变，选项D错误。
2．（多选）如图1所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。
为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。
在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是（ ）
图1
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
解析：
选BC 当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，选项A错误，B正确；当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动，选项C正确，D错误。
对点训练：
运动的合成与分解
3．（多选）（2016·盐城二模）如图2所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R（R视为质点）。
将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为α。
则红蜡块R的（ ）
图2
A．分位移y与x成正比
B．分位移y的平方与x成正比
C．合速度v的大小与时间t成正比
D．tanα与时间t成正比
解析：
选BD 由题意可知，y轴方向，y＝v0t；而x轴方向，x＝at2，联立可得：
x＝y2，故A错误，B正确；x轴方向，vx＝at，那么合速度的大小v＝，则v的大小与时间t不成正比，故C错误；设合速度的方向与y轴夹角为α，则有：
tanα＝＝t，故D正确。
4．（2016·保定一中检测）物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是（ ）
图3
A．物体在0～3s做直线运动
B．物体在3～4s做直线运动
C．物体在3～4s做曲线运动
D．物体在0～3s做变加速运动
解析：
选B 物体在0～3s内，x方向做匀速直线运动，y方向做匀加速直线运动。
两运动合成，一定做曲线运动，且加速度恒定，则A、D两项错误；物体在3～4s内两个方向的分运动都是匀减速运动，在3s末，合速度与合加速度方向相反，则做直线运动，故B项正确，C项错误。
5．如图4所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。
设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。
一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示（坐标格为正方形，g取10m/s2）求：
图4
（1）小球在M点的速度v1；
（2）在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
（3）小球到达N点的速度v2的大小。
解析：
（1）设正方形的边长为s0。
竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1
水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1
解得v1＝6m/s。
（2）由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为（12,0）。
（3）到N点时竖直分速度大小为v0＝4m/s，
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12m/s，
故v2＝＝4m/s。
答案：
（1）6m/s
（2）见解析图 （3）4m/s
对点训练：
关联速度问题
6．如图5所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（ ）
图5
A．vsinα B．
C．vcosαD．
解析：
选C 人的速度为合速度，当人沿平直的河岸以速度v行走时，可将人的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度，沿绳方向的分速度即为船行驶的速度，故船的速度为vcosα，选项C正确。
7．如图6所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。
由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线水平时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则（ ）
图6
A．v2＝0 B．v2>v1
C．v2≠0D．v2＝v1
解析：
选A 环A在虚线位置时，环A的速度沿虚线方向的分速度为零，故物体B的速度v2＝0，A正确。
8．（2016·烟台模拟）如图7所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知（ ）
图7
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力不变
解析：
选B 设系在A上的细线与水平方向夹角为θ，物体B的速度为vB，大小不变，细线的拉力为FT，则物体A的速度vA＝，FfA＝μ（mg－FTsinθ）,因物体下降，θ增大，故vA增大，物体A做加速运动，A错误，B正确；物体B匀速下降，FT不变，故随θ增大，FfA减小，C、D均错误。
9．（2016·石家庄实验中学检测）一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。
将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图8所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则（ ）
图8
A．v2＝v1B．v2＝2v1
C．v2＝v1
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