备战中考初中数学导练学案50讲第37讲方案设计问题讲练版.docx

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备战中考初中数学导练学案50讲第37讲方案设计问题讲练版

备战中考初中数学导练学案50讲

第37讲方案设计问题

【疑难点拨】

1.方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题．方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题.

2.方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：

（1）根据实际问题拼接或分割图形；

（2）利用方程（组）、不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．

3.解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：

建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.

【基础篇】

一、选择题：

1.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点

M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）

第16题图

A．1个

B．2个C．3个D．3个以上

2.为庆祝“六·一”国际儿童节，某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A，B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生能一次性全部到达公园的租车方案有（C）

A．3种B．4种C．5种D．6种

3.若等腰△ABC的周长是50cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（　　）

A．y=50-2x（0＜x＜50）B．y=50-2x（0＜x＜25）

C．y=（50-2x）（0＜x＜50）D．y=（50-x）（0＜x＜25）

4.如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（）

A．4种B．6种C．8种D．10种

5.（2017•黑龙江）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（　　）

A．2种B．3种C．4种D．5种

二、填空题：

6.如图，现有正三角形纸板150个，矩形纸板180个，正三角形的边长等于矩形的一边长，一个数学兴趣小组的同学想利用这些材料做成正三棱柱和正三棱锥模型共60个（两种模型都要求有），共有__种加工方案．

7.（2018•湖南省永州市•4分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　　种．

8.小明和小华为了获得一张票，他们各自设计了一个方案：

小明的方案是：

转动如图所示的转盘，当转盘停止转动后，如果指针停在阴影区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等分成6个扇区，若指针停在边界处，则重新转动转盘）.

小华的方案是：

有三张卡片，上面分别标有数字1，2，3，将它们的背面朝上洗匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张，若摸出两张卡片上的数字之和为偶数，则小华获得门票.

你所认同的方案是_____________________

.

三、解答与计算题：

9.（2018•湖北恩施•10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在

（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

10.某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y关于x的函数表达式．

（2）求甲、乙两种品牌文具盒的进货单价．

（3）若该超市每销售1个甲品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问：

该超市有几种进货方案？

哪种方案能使获利最大？

最大利润为多少元？

【能力篇】

一、选择题：

11.今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨.现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨.李大叔安排甲、乙两种货车时有（）种方案.

（A）1（B）2（C）3（D）4

12.（2018·滨州中考）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：

①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

13.如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下三个图形：

①邻边不等的矩形；②有一个角为锐角的菱形；③正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（　　）

A．0　　B．1　C．2　　D．3

二、填空题：

14.如图，现有正三角形纸板150个，矩形纸板180个，正三角形的边长等于矩形的一边长，一个数学兴趣小组的同学想利用这些材料做成正三棱柱和正三棱锥模型共60个（两种模型都要求有），共有_种加工方案．

15.一块直角三角形木板的一条直角边AB＝1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案：

甲设计的方案如图①，乙设计的方案如图②.你认为

_同学设计的方案较好（加工损耗忽略不计）．

（第9题）

三、解答与计算题：

16.．如图①所示的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．

（1）如图②，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图①所示．求折叠进去的宽度．

（2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图②所示的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图①所示，问：

折叠进去的宽度最大是多少？

17.（2017黑龙江佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．

（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．

（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？

（3）在

（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的

在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？

18.（2018·广东广州·12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：

每台按售价的九折销售，方案二：

若购买不超过5台，每台按售价销售，若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售，某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台。

（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？

最少费用是多少元？

（2）若该公司采用方案二方案更合算，求x的范围。

【探究篇】

19.如图，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB．

要求：

（1）画出测量示意图；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）

；

（3）根据

（2）中的数据计算AB．

20.如图，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A、B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米，A、B两个单位的水平距离CE=96米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥．

（1）天桥建在何处才能使由A到B的路线最短？

（2）天桥建在何处才能使A、B到天桥的距离相等？

分别在图1、图2中作图说明（不必说明理由）并通过计算确定天桥的具体位置．

图1图2

第37讲方案设计问题

【疑难点拨】

1.方案设计型问题是指运用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算、论证、选择、判断、设计的一种数学试题．方案设计涉及问题的多解性，以函数、方程等思想的指导，利用最优化方法解决问题.

2.方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：

（1）根据实际问题拼接或分割图形；

（2）利用方程（组）、不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．

3.解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：

建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.

【基础篇】

一、选择题：

1.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（D）

第16题图

A．1个B．2个C．3个D．3个以上

答案：

D

解析：

Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故选D。

知识点：

此题容易漏情况，要考虑全面，有规律的考虑。

先下后上，先中间后端点。

2.为庆祝“六·一”国际儿童节，某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A，B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生能一次性全部到达公园的租车方案有（C）

A．3种B．4种C．5种D．6种

【解析】　设租用A型号客车x辆，B型号客车y辆，则

45x＋30y＝360，即3x＋2y＝24.

∵当x为奇数时，13x＋2y必为奇数，∴x只能是偶数．

当x＝0时，y＝12，符合题意；

当x＝2时，y＝9，符合题意；

当x＝4时，y＝6，符合题意；

当x＝6时，y＝3，符合题意；

当x＝8时，y＝0，符合题意．

∴师生一次性全部到达公园的租车方案有5种．

3.若等腰△ABC的周长是50cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（　　）

A．y=50-2x（0＜x＜50）B．y=50-2x（0＜x＜25）

C．y=（50-2x）（0＜x＜50）D．y=（50-x）（0＜x＜25）

【解析】依题意有y=（50-x）．

∵x＞0，50-x＞0，且x＜2y，即x＜2×（50-x），

得到0＜x＜25。

故选D。

4.如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（B）

A．4种B．6种C．8种D．10种

【解析】　如解图，从点A1到点A3共有6种走法，故选B.

5.（2017•黑龙江）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（　　）

A．2种B．3种C．4种D．5种

【考点】95：

二元一次方程的应用．

【分析】直接根据题意假设出未知数，进而得出不等式进而分析得出答案．

【解答】解：

设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：

6x+7y≤20，

当x=1，y=2符合题意；

当x=2，y=1符合题意；

当x=3，y=0符合题意；

故建造方案有3种．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确表示出建造两种大棚的费用是解题关键．

二、填空题：

6.如图，现有正三角形纸板150个，矩形纸板180个，正三角形的边长等于矩形的一边长，一个数学兴趣小组的同学想利用这些材料做成正三棱柱和正三棱锥模型共60个（两种模型都要求有），共有__种加工方案．

【解析】　设做成正三棱柱x个，则做成正三棱锥（60－x）个，则

解得45≤x≤60.

∵两种模型都要求有，∴x≠60，

∴共有15种加工方案．

7.（2018•湖南省永州市•4分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　4　种．

【分析】根据点A、B的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；

【解答】解：

输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；

故答案为4．

【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8.小明和小华为了获得一张票，他们各自设计了一个方案：

小明的方案是：

转动如图所示的转盘，当转盘停止转动后，如果指针停在阴影区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等分成6个扇区，若指针停在边界处，则重新转动转盘）.

小华的方案是：

有三张卡片，上面分别标有数字1，2，3，将它们的背面朝上洗匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张，若摸出两张卡片上的数字之和为偶数，则小华获得门票.

你所认同的方案是_____________________

.

【解析】小明的方案：

小明获得门票的概率为P（小明）=

所以方案公平.

（2）小华的方案：

作出树状图：

共有9种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为偶数有5种.

小华获得门票的概率为

所以小华的方案不公平.

选择公平的方案为小明的方案.

答案：

小明的方案

【高手支招】统计概率方案设计问题是指根据统计量所反映的信息或概率的大小，对某些问题作出合理的预测，选择最优方案的一类题目.命题方式多结合社会热点，背景新颖，能力考查立意明显.

三、解答与计算题：

9.（2018•湖北恩施•10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在

（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；

（3）根据题意和

（2）中的结果，可以解答本题．

【解答】解：

（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，

，解得，

，

答：

A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；

（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，

，

解得，10≤a≤12

，

∴a=10、11、12，共有三种采购方案，

方案一：

采购A型空调10台，B型空调20台，

方案二：

采购A型空调11台，B型空调19台，

方案三：

采购A型空调12台，B型空调18台；

（3）设总费用为w元，

w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，

∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，

即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．

【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．

10.某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y关于x的函数表达式．

（2）求甲、乙两种品牌文具盒的进货单价．

（3）若该超市每销售1个甲品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问：

该超市有几种进货方案？

哪种方案能使获利最大？

最大利润为多少元？

【解析】　

（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，由函数图象，得

解得

∴y关于x的函数表达式为y＝－x＋300.

（2）∵y＝－x＋300，∴当x＝120时，y＝180.

设甲品牌文具盒的进货单价是a元，则乙品牌文具盒的进货单价是2a元，由题意，得

120a＋180×2a＝7200，

解得a＝15.∴2a＝30.

答：

甲、乙两种品牌文具盒的进货单价分别为15元，30元．

（3）设甲品牌文具盒进货m个，则乙品牌文具盒进货（－m＋300）个．由题意，得

解得180≤m≤181.

∵m为整数，

∴m＝180或181.

∴共有两种进货方案：

方案一，甲品牌文具盒进货180个，乙品牌文具盒进货120个；

方案二，甲品牌文具盒进货181个，乙品牌文具盒进货119个．

设两种品牌文具盒全部售出后获得的利润为W元．由题意，得

W＝4m＋9（－m＋300）＝－5m＋2700.

∵k＝－5＜0，

∴W随m的增大而减小，

∴当m＝180时，W最大＝1800.

∴方案二能使获利最大，最大利润为1800元．

【能力篇】

一、选择题：

11.今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨.现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨.李大叔安排甲、乙两种货车时有（）种方案.

（A）1（B）2（C）3（D）4

【解析】选B.设李大叔安排甲种货车x辆，则乙种货车（10-x）辆.依题意得

解得5≤x≤7.

故有三种租车方案：

第一种是租甲种货车5辆，乙种货车5辆；第二种是租甲种货车6辆，乙种货车4辆；第三种是租甲种货车7辆，乙种货车3辆.

12.（2018·滨州中考）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：

①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

【解析】选C.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝0.5BC.∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC.又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE.如图

（1），把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝

90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立.如图

（2），把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立.如图（3），移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点N（E），在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立.因拼成矩形只有图

（1）一种情况，而图

（1）中的矩形不是正方形，则④不成立.

13.如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下三个图形：

①邻边不等的矩形；②有一个角为锐角的菱形；③正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（　　）

A．0　　B．1　C．2　　D．3

【解析】本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质．

①将剪开的△ADE绕点E顺时针旋转180°，使EA和EB重合得到邻边不等的矩形；如图：

②将剪开的△ADE中的边AD和梯形DEBC中的边DC重合，△ADE中的边DE和梯形DEBC中的边BC共线，即可构成等腰梯形，如图：

③将剪开的△ADE绕点D逆时针旋转180°，使得DA与DC重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如图：

故计划可拼出①②③.故选C.

二、填空题：

14.如图，现有正三角形纸板150个，矩形纸板180个，正三角形的边长等于矩形的一边长，一个数学兴趣小组的同学想利用这些材料做成正三棱柱和正三棱锥模型共60个（两种模型都要求有），共有_15_种加工方案．

（第8题）

【解析】　设做成正三棱柱x个，则做成正三棱锥（60－x）个，则

解得45≤x≤60.

∵两种模型都要求有，∴x≠60，

∴共有15种加工方案．

15.一块直角三角形木板的一条直角边AB＝1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案：

甲设计的方案如图①，乙设计的方案如图②.你认为甲_同学设计的方案较好（加工损耗忽略不计）．

（第9题）

【解析】　由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，得BC＝2m.

由图①，设甲设计的正方形桌面边长为x（m），

由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，

∴

＝

，即

＝

，

解得x＝

.

由图②，过点B作Rt△ABC的斜边AC上的高BH，交DE于点P，交AC于点H，如解图．2-1-c-n-j-y

由AB＝1.5m，BC＝2m，

得AC＝

＝

＝2.5（m）．

由AC·BH＝AB·BC，得

BH＝

＝

＝1.2（m）．

设乙设计的桌面的边长为y（m）．

∵DE∥AC，

∴Rt△BDE∽R