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协作比赛的组队问题数学建模竞赛论文

数学建模竞赛（第36组）

B：

协作比赛的组队问题

摘要

在组队参赛的时候我们通常会遇到这样的问题：

有很多同学报名参赛，而这些同学的各种能力不尽相同，那么我们如何从这些同学中选出优秀队员并组成几支队伍，使其能体现参赛单位的最高水平，从而多获奖，获大奖呢？

我们利用了层次分析法和动态规则法建立了一个数学模型，巧妙的解决了这一问题。

在层次分析模型中，我们通过分析并利用构造对比矩阵等方法计算出了方案层（P）对目标层（O）的权重。

对20名同学的综合水平进行了排序，从而挑选出了相对优秀的18名同学。

解决了问题1。

在动态规则模型中，我们让计算机模拟了分组过程，并利用动态规则法对分组结果进行了筛选处理，从而选出整体实力最强的组队法，以及最佳组合阵容，解决了问题2、3。

问题4是给定了准则层（C）对目标层（O）的权重，我们按照这一数据结合所建立的两个模型对问题进行了重新求解。

这也体现了模型的一般性和可靠性。

问题5是要考虑临场发挥问题，我们构造了一个矩阵来考虑水平的发挥程度。

我们还对模型还进行了可行性检验和灵敏度分析，并讨论了模型的优缺点。

最后我们对模型进行了模型内和模型外的推广，使得我们的模型更具现实意义和实际的社会价值。

关键字：

备选队员、优秀队员、最佳组合、层次分析、动态规则、权重。

一、问题的提出

在一年一度的国际数学建模竞赛中，各个单位都会遇到如何组队问题。

现由20名队员。

根据其能力选拔18名参加竞赛，选拔队员主要考虑的条件依次为学习成绩，智力水平（反映思维能力，分析问题、解决问题的能力，分析问题，解决问题的能力），动手能力（计算机的使用和其它方面的实际操作能力），写作能力，外语能力，协作能力（相互协作能力），其他特长（如身体素质等）每个队员的基本条件如下表（满分10分记）：

条件

队员

学习成绩

智力水平

动手能力

写作能力

外语能力

协作能力

其他特长

1

8.6

9.0

8.2

8.0

7.9

9.5

6

2

8.2

8.8

8.1

6.5

7.7

9.2

2

3

8.0

8.6

8.5

8.5

9.2

9.6

8

4

8.6

8.9

8.3

9.6

9.7

9.7

8

5

8.8

8.4

8.5

7.7

8.6

9.2

9

6

9.2

9.2

8.2

7.9

9.0

9.0

6

7

9.2

9.6

9.0

7.2

9.1

9.2

9

8

7.0

8.0

9.8

6.2

8.7

9.7

6

9

7.7

8.2

8.4

6.5

9.6

9.3

5

10

8.3

8.1

8.6

6.9

8.5

9.4

4

11

9.0

8.2

8.0

7.8

9.0

9.5

5

12

9.6

9.2

8.1

9.9

8.7

9.7

6

13

9.5

9.6

8.3

8.1

9.0

9.3

7

14

8.6

8.3

8.2

8.1

9.0

9.0

5

15

9.1

8.7

8.8

8.4

8.8

9.4

5

16

9.3

8.4

8.6

8.8

8.6

9.5

6

17

8.4

8.0

9.4

9.2

8.4

9.1

7

18

8.7

8.3

9.2

9.1

8.7

9.2

8

19

7.8

8.1

9.6

7.6

9.0

9.6

9

20

9.0

8.8

9.5

7.9

7.7

9.0

6

现在要解决的问题是：

1.在20名队员中选择18名优秀队员，参加竞赛。

2.给出18名队员组成6个队的组队方案是整体竞赛水平最高，并给出每队的竞赛水平。

3.给出一个最高水平的参赛队。

4.如果学习的权重为0.2，智力水平权重为0.2，动手能力的权重为0.2，写作能力的权重为0.1，外语能力的权重为0.1，协作能力的权重为0.15，其他权重为0.05，则应如何考虑？

5.如果每个队员在竞赛时，受某种原因干扰，在某一方面发挥不好，但在另一方面发挥很好，应如何考虑？

二、问题的分析

协作比赛的组队问题是要从众多备选队员中按照给定的量化标准，选出综合素质较高的若干名队员，以保证参赛队员的整体水平（即本题问题1）。

通过分析我们知道这是一个多条件多方案的选择问题，属于层次分析问题，需要建立层次结构模型。

为了尽可能体现参赛单位整体水平我们要对选出的这些优秀队员作出适当的搭配组合。

使各组队员之间起到优势互补作用，这样就可以提高该组合的水平。

通过队员间的搭配组合，组合出来的队伍的整体综合素质就会提高。

这样这个单位派出的所有参赛队伍就都具有一定的水平，夺奖的机率会增加许多（即本题问题2）。

但是，为了尽可能体现参赛单位的最高水平，并且提高获大奖的概率，就需要组合出一个“最佳阵容”，即该组合的各项水平几乎都是参赛单位的最高水平（即本题问题3）。

我们知道以上两个问题都属于动态规划问题，需要我们建立动态规划模型。

由于体现参赛队员水平的量化指标很多，但各量化指标的重要程度不尽相同，这就需要对量化指标加入一个可以代表“重要程度”的衡量方式。

本题是对各项量化指标进行加权，用权重来表示该项量化指标体现学生综合水平的程度。

在此基础上来考虑参赛队员的选择以及组队问题（即本题问题4）。

我们可以在题目所给权重的条件下，结合所建立的两个模型来解决问题。

实际参赛时还有一个临场发挥问题，在比赛时受某种条件干扰队员的实际水平有可能超常发挥也可能失常发挥（即本题问题5）。

怎样可以表示出队员水平的变化状态？

我们可以借助矩阵来解决这一问题。

三、模型假设

（1）假设题目中所给的每个队员的各项信息都能真实地体现队员的各项能力和水平。

（2）假设每个队员在比赛能不受外界原因干扰，将自己的单项水平都发挥到正常水平（问题5除外）。

（3）假设一个参赛队单项能力或水平是由该队中水平最高的队员体现的。

（即组合中的单项水平取三名队员中该项水平最高的）。

（4）假设问题3中选择一个体现参赛单位最高水平的组合是在问题1选出的18名队员中挑选。

但它不受问题2中组队方案的影响（即不是直接在问题2已经组好6个队伍的基础上选取水平最高的）。

（5）假设题目中所给出的衡量学生综合素质的7项指标从左往右“重要程度”是依次降低的。

四、符号说明

表示准则i与准则j对目标决策的重要程度之比

R.I表示随机一致性指标

Ak=（

）20*20表示方案层对准则层的比较矩阵

C.R

（1）表示准则层（C）对目标层（O）一致性比例指标

五、模型的建立及求解

对问题1：

从20名队员中选择18名优秀队员。

1.利用层次分析法首先建立该问题的层次结构模型图，如下：

队员1

队员2

队员3

队员4

队员5

队员6

队员7

队员8

队员9

队员10

队员11

队员12

队员13

队员14

队员15

队员16

队员17

队员18

队员19

队员20

（层次结构模型图）

根据层次分析法，我们可以知道

第一层是目标层（记为O），是要解决的问题（即要从20名队员之中挑选18名队员）

第二层是准则层（记为C），是要解决问题时所要考虑的各种因素，即学科代表、智力水平、动手能力、写作能力、外语能力、协作能力、其他特长7项因素。

第三层是方案层（记为P），使该问题可以选择的各种方案，即20名备选队员。

2.确定准则层（C）对目标层（O）的权重

构造比较矩阵

根据假设，准则层的7项因素从左到右的“重要程度”是依次减弱的。

则

>1（1<=i

因此，我们假设比较矩阵为

1234567

1/2123456

1/31/212345

A=1/41/31/21234

1/51/41/31/2123

1/61/51/41/31/212

1/71/61/51/41/31/21

1计算比较矩阵A的特征值及特征向量

由特征方程A-λΙ=0,利用MATLAB软件可以求出（求解过程附后）最大的特征值；λmax≈7.1955，相应的特征向量位W0=（0.3543，0.2399，0.1586，0.1036，0.0676，0.0448，0.0312）

则该特征向量W0,即为准则层（C）对目标层（O）的权重

2一致性检验

由于比较矩阵A的阶数为7，其随机一致性指标为R.I=1.32（注：

见《数学模型》姜启源P312表9-2）

C.I

（1）=（λmax-7）/（7-1）≈0.0326

于是一致性比例指标为C.R

（1）=C.I

（1）/R.I≈0.0247<<0.1

可知准则层（C）对目标层（O）的矩阵是满足一致性的，即比较矩阵A的构造是合理可行的。

3.确定方案层（P）对准则层（C）的权重

确定方案层（P）对准则层（C）的权重就是要给出一个量化指标，是题目中所给出的各队员的各项信息能更准确，方便的表示出各队员的综合参赛水平。

我们看到题目中是用10分制表示各队员的名次水平。

而我们已经假设题目中所给的各项信息都能真实体现队员的水平，且都能正常发挥。

（模型假设

（1）、

（2））。

基于这个原因我们尝试利用每个队员的各项条件比来构造一个比较矩阵。

（见后面程序计算的结果）。

设WK=（

，

，…，

）T为准则CK（k项条件）的相关数据（队员的基本条件）,

记

=

/

（i,j=1,2,3,…,20）,则Ck-P比较矩阵Ak=（

）20*20,且Ak均为

一致阵（k=1，2，3，…，7）。

由于Ak（k=1，2，3，…，7）的非零特征值为λ=20,相应的特征向量取第一列向量,即

（

，…，

）T=（

/

/

，…，

/

）T

=（

，

，…，

）T/

=Wk/

此与向量Wk仅差一个比例常数1/

显然Wk也是Ak的特征向量。

将Ak（k=1，2，3，…，7）的特征向量Wk规一化，分别可得方案层（P）对准则层（C）的权重。

利用MATLAB软件求解（程序和过程附后）结果如（表--2）：

Ck

P

W1

W2

W3

W4

W5

W6

W7

P1

0.0498

0.0522

0.0473

0.0500

0.04517

0.0508

0.04724

P2

0.0475

0.0511

0.0467

0.0406

0.04400

0.0487

0.0157

P3

0.0464

0.0500

0.0490

0.0532

0.0526

0.0513

0.0630

P4

0.0498

0.0517

0.0479

0.0600

0.0555

0.0519

0.0630

P5

0.0510

0.0487

0.0490

0.0481

0.0492

0.0492

0.0709

P6

0.0533

0.0534

0.0473

0.0494

0.0514

0.0481

0.0472

P7

0.0533

0.0557

0.0519

0.0450

0.0520

0.0492

0.0709

P8

0.0406

0.0464

0.0565

0.0388

0.0497

0.0519

0.0472

P9

0.0446

0.0476

0.0485

0.0406

0.0549

0.0497

0.0394

P10

0.0481

0.0470

0.0496

0.0432

0.0486

0.0503

0.0314

P11

0.0521

0.0476

0.0462

0.0488

0.0516

0.0581

0.0394

P12

0.0556

0.0528

0.0467

0.0619

0.0497

0.0519

0.0472

P13

0.0551

0.0557

0.0479

0.0507

0.0515

0.0497

0.0551

P14

0.0498

0.0482

0.0473

0.0507

0.0515

0.0481

0.0398

P15

0.0527

0.0505

0.0508

0.0525

0.0503

0.0503

0.0394

P16

0.0539

0.0488

0.0496

0.0550

0.0492

0.0508

0.0472

P17

0.0487

0.0464

0.0542

0.0575

0.0480

0.0487

0.0551

P18

0.0504

0.0482

0.0531

0.0569

0.0497

0.0492

0.0630

P19

0.0452

0.0470

0.0554

0.0475

0.0514

0.0513

0.0709

P20

0.0519

0.0107

0.0548

0.0494

0.0440

0.0481

0.0472

4.方案层（P）对目标层（O）的组合权重

利用准则层（C）对目标层（O）的权重以及方案层（P）对准则层（C）的权重，可以计算方案层（P）对目标层（O）的权重，根据公式得：

W=（w1,w2,w3,w4,…w20）T=[W1,W2,…,W7]*W0

经过MATLAB软件计算（进程附后）得：

W=（0.04970.04630.04960.05190.0503

0.05140.05310.04560.04630.0472

0.04920.05340.05310.04880.0512

0.05140.05010.05130.04900.0511）

其中向量W的20个分量分别代表方案层（P）中20个队员相对目标层（O）的权重。

由于方案层对准则层的比较矩阵Ak均为一致阵，因此相应的

=（

，

，

，

，…，

）*W=0

于是一致性比例指标

=

/RI=0，

因此组合一致性比例指标为：

CR=

+

=0.024＜0.1

即组合权重可以作为目标决策的依据。

5.选择优秀队员

利用方案层（P）对目标层（O）的权重作为每个队员技术水平指标，求得（过程附后）20名队员综合水平素质按大小排序得：

序号

指标

1

2

3

4

5

队员

队员12

队员13

队员7

队员4

队员6

水平指标

0.0534

0.0531

0.0531

0.0519

0.0514

序号

指标

6

7

8

9

10

队员

队员16

队员18

队员15

队员20

队员5

水平指标

0.0514

0.0513

0.0512

0.0511

0.0503

序号

指标

11

12

13

14

15

队员

队员17

队员1

队员3

队员11

队员19

水平指标

0.0501

0.0497

0.0496

0.0492

0.0490

序号

指标

16

17

18

19

20

队员

队员14

队员10

队员2

队员9

队员8

水平指标

0.0488

0.0472

0.0463

0.0463

0.0456

由排序结果我们可以看到，第9号和第8号队员综合水平素质最差，故淘汰这两名队员，选择其余18名优秀队员。

对问题2：

将18名队员组成6个队，使整体竞赛水平最高，并具体给出每个队的竞赛水平。

模型的建立及求解：

1.问题的进一步分析：

上一问我们已经解决了从备选队员中选择优秀队员的问题。

但是在实际问题中选出的众多队员还要再进行搭配组队，怎样才能使得组出来的队伍整体素质最高，就是我们现在所要解决的问题。

因为将18名队员分成6个组共有

=816种分法，我们要选取的是其中整体水平最高的一种分法，这就需要队分法进行枚举，然后像解决问题1一样，给出一个量化标准分别对这816种分法进行量化，从而选出量化指数最高的一组。

首先我们注意一个基本事实:

在最佳组队决定方案中,每个队对目标O层的权重一定不小于全体队员对目标层权重的几何平均值,否则其组队方案就不可能是最佳的

组队原则：

①3名队员的技术水平指标可以互补,技术水平最高者为该队的水平指标;

②按上述命题求出全队8名队员对目标O层权重的几何平均值,.由表—2按

=[

]1/18（k=1，2，3，…，7）

用计算机编程（程序见附录）可求出几何平均值为

=（

…

）

=（0.0510,0.0505,0.0499,0.0511,0.0499,0.0502,0.0484）

=0.0505

假设3名队员x,y,z组合一队（x,y,z），将对决策目标的权重定为该队的技术水平指标，即v（x,y,z）=M

.此处M=（m1,m2,…,m7）,其中7个分量分别为（x,y,z）对准则C层的权重。

如果v（x,y,z）>

，则对应的（x,y,z）就可能是一个组队；

③任取3名队员组合，求出相应的技术水平指标，使6个技术水平指标之和为最佳组队方案。

2.建立组队模型

通过以上的分析，我们可以清楚的知道这就是一个动态规划问题。

因而需要利用动态规划模型解决这个问题。

利用动态规划的方法，分决策过程为6个阶段，分步给出6个队的组队方案，每一个阶段确定一个队。

决策变量：

Xk=（x,y,z）k（k=1,2,3,4,5,6）,即任取三名队员（x,y,z）所组成的一个组队方案。

状态变量：

Sk（k=1,2,3,4,5,6），即从第k（1≤k≤6）个到第6个组队的组队方案所包含的队员，其中S1={队员1，队员2，队员3，…，队员20}（不含队员8，队员9）。

状态转移方程：

Sk+1=Sk-Xk（k=1,2,3,4,5）

允许决策集合：

Dk={（x,y,z）；x，y，z∈Sk，vk=（x,y,z）≥W}（k=1,2,3,4,5,6）

指标函数：

vk（Sk，Xk）表示决策Xk（一个组队）关于状态Sk的技术水平指标，即vk（Sk，Xk）=M*

最优值函数：

fk（Sk）表示在状态Sk下确定的k（1≤k≤6）个组队的技术水平指标之和的最大值。

则有逆序解法的基本方程：

fk（Sk）=max{vk（Sk，Xk）+fk+1（Sk+1）xk∈Dk}k=6,5,4，3，2，1

f6（S6）=maxvk（Sk，Xk）当x6=sn

其中Sk+1=Sk-Xkk=1,2,3,4,5

3.模型求解

把18名队员分成6个组共有816种分法,根据组队原则,用计算机编程可算得：

组队Xk

X1

X2

X3

X4

X5

X6

队员（x,y,z）

（3,10,11）

（1,14,15）

（2,16,18）

（4,6,20）

（5,13,17）

（7,12,19）

水平

vk（x,y,z）

0.0516

0.0519

0.0533

0.0546

0.0553

0.0563

其最优值为f1（S1）=0.32315

对问题3：

确定一个最佳的组队使竞赛水平最高

模型的建立及求解：

注意：

由于在问题2中，可以用计算机编程把18名队员分成6个组，通过计算相应的技术水平指标，找出最高者的组队，其结果为（12,7,19）

下面我们通过分析法来说明其结果的正确性：

由假设知，每个队中的三名队员具有互补性，即三个人中各单项水平指标的最高者为该队的单项水平指标，最佳组队主要体现全队在各单项水平指标水平最高,不应有貌相述评指标比其他的队低.由问题

（1）中的准则C层对目标O层的权重W0可知,七项准则是按顺序依次排列的,对目标决策的影响是不同的,而且前四项对目标决策起着决定性作用,即水平指标主要体现在前四项上.

（1）最佳组队原则

设mi（x）表示队员x的第i项水平指标，Mi（x,y,z）表示由队员x,y,z组队（x,y,z）

的第i项水平指标，则

Mi（x,y,z）=max{mi（x）,mi（y）,mi（z）}（i=1，2，3，…，7）

（2）组队方案

根据组队原则，最佳组队中的队员一定是前四项水平指标的最高者。

显然由表13-2可得mi（12）=0.0556为最高，于是Mi=m1（12）=0.0556199，则队员12是首先入选的队员。

其次m2（7）=m2（13）=0.0557,而m2（7）>m3（13），故M2=m2（7）=0.0557168，则队员7是第二个入选的队员。

另外，m3（19）=0.0553953，于是M3=m3（19）=0.0553953。

而且M4=m4（12）=0.0619137，则队员19应是第三个入选的队员，并且注意到M5=m5（7）=0.0520297，M6=m6（12）=0.0518717，M7=m7（7）=0.0708661也都是相对的较高者，即

M=（0.0556199，0.0557168，0.0553953，0.0619137，0.0520297，0.0518717，0.0708661）.

因此，由队员12,7,19组成（12,7,19）队的技术水平指标为:

v（12,7,19）=M*W0T=0.563246是最高的,所以,最佳组队为（12,7,19）

对问题4：

如果学习的权重为0.2，智力水平权重为0.2，动手能力的权重为0.2，写作能力的权重为0.1，外语能力的权重为0.1，协作能力的权重为0.15，其他权重为0.05，则应如何考虑？

模型的建立及求解：

利用准则层（C）对目标层（O）的权重（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.15，0.05）

以及方案层（P）对准则层（C）的权重，可以计算方案层（P）对目标层（O）的权重，根据公式得：

W=（W1,W2,W3,W4,…W20）T=[W1,W2,…,W7]*W0

经过MATLAB软件计算（过程附后）得：

W=（0.0498，0.0464，0.0497，0.0520，0.0503

0.0515，0.0531，0.0458，0.0464，0.0472

0.0494，0.0535，0.0515，0.0489，0.0512

0.0516，0.0502，0.0513，0.0491，0.0512）T

根据计算出的这个权重,按我们模型的计算流程可以得出在（4）所给出的条件下每个问题的答案。

这说明准则层（C）对目标层（O）的权重不同，方案层（P）对目标层（O）的影响程度也不一样；因此我们在选择参考条件时，一定要分清主要条件和次要条件。

对问题5：

如果每个队员在竞赛时，受某种原因干扰，在某一方面发挥不好，但在另一方面发挥很好，应如何考虑？