高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文.docx
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高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文
2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文
1．抛物线x2＝
y的焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．1
C.
D.
答案 D
解析 抛物线标准方程x2＝2py（p>0）中p的几何意义为：
抛物线的焦点到准线的距离，又p＝
，故选D.
2．过点P（－2，3）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝－
x或x2＝
yB．y2＝
x或x2＝
y
C．y2＝
x或x2＝－
yD．y2＝－
x或x2＝－
y
答案 A
解析 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，3），解得k＝－
，m＝
，∴y2＝－
x或x2＝
y，选A.
3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是（0，1），则a＝（ ）
A．1B.
C．2D.
答案 D
解析 因为抛物线的标准方程为x2＝
y，所以其焦点坐标为（0，
），则有
＝1，a＝
，故选D.
4．若抛物线y2＝2px上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝6x
C．y2＝8xD．y2＝10x
答案 C
解析 ∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－
.
∵点P（2，y0）到其准线的距离为4，∴|－
－2|＝4.
∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
5．已知点A（－2，3）在抛物线C：
y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A．－
B．－1
C．－
D．－
答案 C
解析 因为点A在抛物线的准线上，所以－
＝－2，所以该抛物线的焦点F（2，0），所以kAF＝
＝－
.
6．（xx·衡水中学调研卷）若抛物线y2＝2px（p>0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36xD．y2＝8x或y2＝32x
答案 C
解析 因为抛物线y2＝2px（p>0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P（x0，±6）．因为P到抛物线的焦点F（
，0）的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋
＝10 ①.因为P在抛物线上，所以36＝2px0 ②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
7．（xx·课标全国Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4
，|DE|＝2
，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
答案 B
解析 由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px（p>0），由|AB|＝4
，|DE|＝2
，可取A（
，2
），D（－
，
），设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得
＋8＝
＋5，得p＝4，所以选B.
8．（xx·吉林长春调研测试）已知直线l1：
4x－3y＋6＝0和直线l2：
x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A.
B．2
C.
D．3
答案 B
解析 由题可知l2：
x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F（1，0），则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：
4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是
＝2，故选B.
9．点A是抛物线C1：
y2＝2px（p>0）与双曲线C2：
－
＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 求抛物线C1：
y2＝2px（p>0）与双曲线C2：
－
＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的交点为
解得
所以
＝
，c2＝5a2，e＝
，故选C.
10．（xx·课标全国Ⅱ，理）设抛物线C：
y2＝2px（p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 方法一：
设点M的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋
＝5，则x0＝5－
.
又点F的坐标为（
，0），所以以MF为直径的圆的方程为（x－x0）（x－
）＋（y－y0）y＝0.
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即
－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由y02＝2px0，得16＝2p（5－
），解之得p＝2或p＝8.
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
方法二：
由已知得抛物线的焦点F（
，0），设点A（0，2），抛物线上点M（x0，y0），则
＝（
，－2），
＝（
，y0－2）．
由已知得，
·
＝0，即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M（
，4）．
由抛物线定义可知：
|MF|＝
＋
＝5.
又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.
11．（xx·合肥质检）已知抛物线y2＝2px（p>0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（ ）
A．±
B．±1
C．±
D．±
答案 A
解析 设M（xM，yM），由抛物线定义可得|MF|＝xM＋
＝2p，解得xM＝
，代入抛物线方程可得yM＝±
p，则直线MF的斜率为
＝
＝±
，选项A正确．
12．（xx·太原一模）已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足
＋
＋
＝0，则
＋
＋
＝（ ）
A．0B．1
C．2D．2p
答案 A
解析 设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），F（
，0），则（x1－
，y1）＋（x2－
，y2）＋（x3－
，y3）＝（0，0），故y1＋y2＋y3＝0.∵
＝
＝
＝
，同理可知
＝
，
＝
，∴
＋
＋
＝
＝0.
13．（xx·河南新乡第一次调研）经过抛物线y2＝8x的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________．
答案 3
解析 圆心是x＝1与抛物线的交点．r＝1＋2＝3.
14．（xx·福建闽侯三中期中）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°（O为坐标原点）时，|PF|＝________．
答案
解析 设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝
.设P（x0，y0），则x0＝±
，代入x2＝4y中，得y0＝
，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝
.
15．已知定点Q（2，－1），F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．
答案 （
，－1）
解析 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q（2，－1）的纵坐标代入y2＝4x得x＝
，故P的坐标为（
，－1）．
16.
右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
答案 2
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为x2＝－2py（p>0），
由点（2，－2）在抛物线上，可得p＝1，则抛物线方程为x2＝－2y.
当y＝－3时，x＝±
，
所以水面宽为2
米．
17．抛物线y2＝2px（p>0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5
，求此抛物线方程．
答案 y2＝4x
解析 设抛物线y2＝2px（p>0）的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－
x.
解方程组
可得点A的坐标为
；
解方程组
可得点B的坐标为（8p，－4p）．
∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5
，
∴
＋（64p2＋16p2）＝325.
∴p＝2，∴所求的抛物线方程为y2＝4x.
18．（xx·上海春季高考题）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．
答案
（1）
（2）9.59°
解析
（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为y轴，建系．
∴B（1.5，－4.5）．
设抛物线方程为x2＝－2py.
点B（1.5，－4.5）在抛物线上．
∴p＝
.∴焦点到准线距离为
.
（2）如图，C为DE中点，OC∥SD，∴O为SE中点．
SC⊥DE，OC＝4.5，∴SE＝2OC＝9.
DE＝AB＝3，∴CE＝1.5.
∴sin∠CSE＝
＝
≈0.167.
∴∠SCE≈9.59°.
∴圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°.
1．抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是（ ）
A．y＝－1B．y＝－
C．x＝－1D．x＝－
答案 D
解析 抛物线x2＝
y的准线方程为y＝－
，关于x＝y对称的准线方程x＝－
为所求．
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A.
B．3
C.
D.
答案 A
解析 抛物线y2＝2x的焦点为F（
，0），准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点（0，2）的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点（0，2）的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点（0，2）的距离，因此所求的最小值等于
＝
，选A.
3．抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（ ）
A．（0，a）B．（a，0）
C．（0，
）D．（
，0）
答案 C
解析 抛物线方程化标准方程为x2＝
y，焦点在y轴上，焦点为（0，
）．
4．已知点A（－2，3）在抛物线C：
y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解．
抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－
，而点A（－2，3）在准线上，所以－
＝－2，即p＝4，从而C：
y2＝8x，焦点为F（2，0）．设切线方程为y－3＝k（x＋2），代入y2＝8x得
y2－y＋2k＋3＝0（k≠0）①.由于Δ＝1－4×
·（2k＋3）＝0，所以k＝－2或k＝
.因为切点在第一象限，所以k＝
.
将k＝
代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为（8，8），所以直线BF的斜率为
＝
.
5．（xx·海口一模）过点F（0，3）且和直线y＋3＝0相
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