椭圆知识点及经典例题汇总.docx

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椭圆知识点及经典例题汇总

椭圆知识点

知识要点小结：

知识点一：

椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　注意：

若，则动点的轨迹为线段；

　　　　　若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：

椭圆的标准方程

　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：

，其中

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：

，其中；

3.椭圆的参数方程

注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

　　3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，

知识点三：

椭圆的简单几何性质

　　椭圆：

的简单几何性质

（1）对称性：

对于椭圆标准方程：

说明：

把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。

（3）顶点：

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，　　

③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。

和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

　　②因为，所以的取值范围是。

越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

注意：

　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1）；；；

●；；；

（3）；；；

知识点四：

椭圆第二定义

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

左准线右准线

知识点五：

椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）（右焦半径）其中是离心率

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：

（其中分别是椭圆的下上焦点）

知识点六：

直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交与、两点，则

弦长

知识点七：

椭圆与的区别和联系

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于轴、轴和原点对称

顶点

，

，

轴长

长轴长=，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径

，

，

注意：

椭圆，的相同点：

形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：

两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法：

1．如何确定椭圆的标准方程？

　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：

两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义

　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。

分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

，，且。

可借助右图理解记忆：

　　显然：

恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：

看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程是表示椭圆的条件

方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。

当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：

　　①待定系数法：

由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”；

　　②定义法：

由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c相同。

与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：

①若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

②若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；

③若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：

与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。

将有关线段，有关角（）结合起来，建立、之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率，因为，，用表示为。

显然：

当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。

经典例题：

一、椭圆的定义

例1、已知F1（-8，0），F2（8，0），动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为（）

A圆B椭圆C线段D直线

例2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则⊿CDF2的周长为______

二、椭圆的标准方程

例3、已知方程表示椭圆，则k的取值范围是（）

A-10Ck≥0Dk>1或k<-1

例4、已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为.

例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程

（1）长轴长为10，短轴长为6

（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，1）

（3）经过点（5，1），（3，2）

例6、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为（-4，0），（4，0），AC、AB边上的中线长之和为30，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。

例7、已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

例8、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

三、离心率

例9、椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

例10、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为______

例11、椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使（为坐标原点），求其离心率的取值范围．

四、最值问题

例12、椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____

例14、已知椭圆，A（1，0），P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值和最小值。

六、直线和椭圆

例16、已知直线l:

y=2x+m，椭圆C：

，试问当m为何值时：

（1）有两个不重合的公共点；

（2）有且只有一个公共点；

（3）没有公共点.

例17、已知斜率为1的直线l经过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.

例18、已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

例19、已知椭圆C：

，直线l:

y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，OA⊥OB

例20、已知椭圆，

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

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