学年黑龙江省哈尔滨市四校高一上学期期中考试数学试题.docx

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学年黑龙江省哈尔滨市四校高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市四校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．全集，集合，集合，则等于

A．B．C．D．

2．的定义域为

A．B．C．D．

3．下列四个关系：

①；②；③；④,

其中正确的个数为

A．个B．个C．个D．个

4.设，，下列图形能表示从集合到集合的函数图象的是

ABCD

5．若集合，，则的子集个数为

A．B．C．D．

6.已知函数，则的值等于

A．B．C．D．

7．若，则等于

A．B．C．D．

8.已知，则的大小关系为

A．B．C．D．

9．函数图象大致是

ABCD

10.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集是

A．B．C．D．

11.若函数在上单调，则的取值范围为

A．B．

C．D．

12.已知函数,若关于的方程有四个不同的

实数解，且，则的取值范围是

A．B．C．D．

二、填空题

13．函数的值域是_____．

14．函数的单调递减区间是_____．

15．对于下列结论：

①函数的图象可以由函数（且）的图象平移得到；

②函数与函数的图象关于轴对称；

③方程的解集为；

④函数为奇函数．

其中正确的结论是_____（把你认为正确结论的序号都填上）．

16．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，设，，则，的大小关系为_____．

三、解答题

17．计算：

（1）

（2）．

18．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为3，求实数的值．

19．已知函数．

（1）求；

（2）证明函数在上是减函数．

20．已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若时，函数的最小值为-7，求的值．

21．已知（，且，）是定义在区间上的奇函数，

（1）求的值和实数的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

（3）若且成立，求实数的取值范围．

22．已知函数对于一切正实数，都有且时，，.

（1）求证：

；

（2）求证：

在上为单调减函数；

（3）若，试求的值．

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市四校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

BABDAACBCCCD

二、填空题

13．函数的值域是_____．

【答案】

【解析】因为函数在区间上都是单调递增函数，所以函数在区间上也是单调递增函数，，即函数的值域是，应填答案。

14．函数的单调递减区间是_____．

【答案】

【解析】先求函数的定义域，然后在定义域内求函数的增区间，就是函数的单调递减区间.

【详解】

即或，

函数的定义域为，

在定义域内函数的增区间是，

因为递减，

在上递增，

函数的单调递减区间为，故答案为.

【点睛】

本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：

一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.

15．对于下列结论：

①函数的图象可以由函数（且）的图象平移得到；

②函数与函数的图象关于轴对称；

③方程的解集为；

④函数为奇函数．

其中正确的结论是_____（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①④

【解析】试题分析：

根据函数的图象变换，可得的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，所以①是正确的；函数函数与函数的图象关于轴对称，所以②是不正确的；方程，及，解得，所以③是不正确的；由，可知④是正确的，故选①④．

【考点】函数的性质及其应用．

【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的图象变换、指数函数与对数函数的关系、对数函数的性质和函数的奇偶性等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及灵活应用知识的能力，其中熟记函数的图象变换和基本初等函数的性质是解答此类问题的关键，试题比较基础，属于基础题．

16．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，设，，则，的大小关系为_____．

【答案】

【解析】由为偶函数，及函数的图象的平移法则可知的图象关于对称，由函数在上为减函数及可比较的大小.

【详解】

函数为偶函数，图象关于对称，

又由向左平移5个单位可得函数的图象，

的图象关于对称，

函数在上为减函数，

，

，故答案为.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性、对称性、单调性及函数图象的平移法则，属于中档题.在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性（对称性）与周期性将，，，通过等值变形，将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．

三、解答题

17．计算：

（1）

（2）．

【答案】⑴；⑵．

【解析】试题分析：

对问题⑴，根据有理指数幂的运算法则，即可求得代数式的值；对问题⑵，根据对数恒等式、对数的运算法则即可求出的值．

试题解析：

⑴原式，

．…………………………6分

⑵原式，

．………………………………12分

【考点】1、指数以及指数式的运算；2、对数以及对数式的运算．

18．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为3，求实数的值．

【答案】

（1）和；

（2）或.

【解析】试题分析：

（1）利用函数的解析式进行零点分段可得不等式的解集为和.

（2）分类讨论当时，当时，当时，各种情况可得或.

试题解析：

（1）,当时，，即；当时，，即，此时无实数解；当时，，即，综上所述，不等式的解集为和.

（2）当时，最小值为，不符合题意，当时，，，此时；当时，，，此时，综上所示，或.

点睛：

含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．

19．已知函数．

（1）求；

（2）证明函数在上是减函数．

【答案】

（1）；

（2）证明见解析．

【解析】

（1）直接利用幂指数的运算法则求解即可；

（2）利用单调性的定义证明，设，

可得，从而可得结论.

【详解】

（1）∵，．

∴；

（2）设，

则，，，，

∴

∴，

∴函数在上是减函数．

【点睛】

判断函数单调性的一般方法：

1．利用基本初等函数的单调性与图象：

只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；

2．性质法：

增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；

3．导数法：

在区间上恒成立，则函数在区间上单调递增；在区间上恒成立，则函数在区间上单调递减；

4．定义法：

作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤）．

20．已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若时，函数的最小值为-7，求的值．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）利用换元法，将函数转化为二次函数，配方后，利用函数的单调性，我们可以求出函数的值域；

（2）利用换元法，将函数转化为二次函数，由函数的单调性，得到时，函数取得最小值，利用函数的最小值为-7，列方程就可以求的值.

【详解】

（1）令，∴

∵，∴函数在上单调递减，

∴，

∴函数的值域为

（2）∵，∴时，，

∵

∴函数在上单调减

∴时，函数取得最小值

∵时，函数的最小值为﹣7，

∴

∴

∴或-4舍去）

所以．

【点睛】

本题主要考查函数值域的求解方法，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：

若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：

常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：

借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：

首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：

画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题求值域时主要应用方法①结合方法②解答的.

21．已知（，且，）是定义在区间上的奇函数，

（1）求的值和实数的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

（3）若且成立，求实数的取值范围．

【答案】

（1），；

（2）当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递减,证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据奇函数的特性，可得,再由,，可得实数的值；

（2）讨论两种情况，当时，当时，分别结合对数函数的图象和性质,及复合函数同增异减的原则，可得函数在区间上的单调性；（3）由，可得函数在区间上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数的取值范围.

【详解】

（1）∵（，且，）是定义在区间上的奇函数，

∴，

且，即，

即，

可得，

故，

又∵，

故，

（2）由

（1）得，

令，则在区间上单调递减，

当时，为减函数，此时函数在区间上的单调递增；

当时，为增函数，此时函数在区间上的单调递减；

（3）若，则，由

（1）得，函数在区间上的单调递增，

若，

则，

则，

则，

解得：

.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：

（1）奇函数由恒成立求解，

（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：

奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

22．已知函数对于一切正实数，都有且时，，.

（1）求证：

；

（2）求证：

在上为单调减函数；

（3）若，试求的值．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由，即可证明,再利用反证法证明即可；

（2）任取，且则，，

，从而可得结论；（3）先求得，由，得，进而可得结果.

【详解】

（1）∵，

∴，则由，

得

若存在则对任意都有，与相矛盾，

所以不存在即.

（2）任取，且

则，，

，

即

由此得到是在上为单调减函数．

（3）解：

令，，则，

即，

∵，，

∴，

即，

则，解得．

【点睛】

本题主要考查抽象函数的解析式与单调性，属于难题..利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：

（1）在已知区间上任取；

（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.