弧长与扇形面积试题及答案.docx
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弧长与扇形面积试题及答案
弧长与扇形面积
一、选择题
1．（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中
剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆
锥的高为（）
A．10cmB．15cmC．10cmD．20cm
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的
底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长
得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长=
=20π，
设圆锥的底面圆的半径为
r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥的高=
=20．
故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：
圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2.（2016兰州，12,4分）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋
转了108o，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
（A）πcm（B）2πcm
（C）3
πcm
（D）5
πcm
【答案】：
C
【解析】：
利用弧长公式即可求解
【考点】：
有关圆的计算
3．（2016福州，16,4分）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为
r上，下方的弧半径为r
下，则r上=r下．（填“＜”“=”“＜”）
【考点】弧长的计算．
【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．
【解答】解：
如图，r上=r下．
故答案为=．
【点评】本题考查了弧长公式：
圆周长公式：
C=2
R
2
）弧长公式：
l=
（弧长为
π
（
l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的
弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，
才是三者的统一．
4.（2016·四川资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90
BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为
积是（）
°，AC=2，以点B为圆心，
AB的中点，则阴影部分的面
A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，
∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出结论．
【解答】解：
∵D为AB的中点，
∴BC=BD=
AB，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=2
，
∴BC=AC
?
tan30°=2
?
=2，
∴S阴影=S
△ABC
﹣S扇形
CBD
=×2×2
﹣
=2
﹣
π
．
故选A．
5.（2016·四川自贡）圆锥的底面半径为
4cm，高为5cm，则它的表面积为（
）
A．12πcm
2
B．26πcm
2
C．πcm
2
D．（4
+16）πcm
2
【考点】圆锥的计算．
【专题】压轴题．
【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积
=底面积+侧面积=π×底面半径2+
底面周长×母线长÷2．
【解答】解：
底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母
线长=
cm，
圆锥的侧面面积=×8π×=4
πcm2，∴它的表面积=16π+4
π=（4
+16）πcm2，
故选D．
【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
6.（2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4
，
则S阴影=（
）
A．2πB．πC．πD．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得
CE=ED=2
，然后由圆周角定理知∠
DOE=60°，然后通过解直
角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入
S阴影=S扇形ODB﹣
S△DOE+S△BEC．
【解答】解：
如图，假设线段
CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?
cot60°=2×
=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=
﹣OE×DE+BE?
CE=
﹣2+2=．
故选B．
7.（2016吉林长春，7，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，
∠P=60°，则的长为（）
A．πB．πC．D．
【考点】弧长的计算；切线的性质．
【专题】计算题；与圆有关的计算．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形
内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出的长即可．
【解答】解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l==π，
故选C
【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
8.（2016·广东深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中
点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分
的面积为（）
A.24B.48C.28D.44
答案：
A
考点：
扇形面积、三角形面积的计算。
解析：
∵C为AB的中点，CD=22
COD450,OC4
1
2
1
（
2
S阴影
S扇形OBC-S△OCD
π4-
2
）
8
2
22π-4
9.（2016·广西贺州）已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的
底面圆的直径为（）
A．2B．4C．6D．8
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆
锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的值即可．
【解答】解：
设圆锥的底面半径为r．
圆锥的侧面展开扇形的半径为12，
∵它的侧面展开图的圆心角是120°，
∴弧长==8π，
即圆锥底面的周长是8π，
∴8π=2πr，解得，r=4，
∴底面圆的直径为8．故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10.（2016年浙江省宁波市）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面
积为（）
2222
A．30πcmB．48πcmC．60πcmD．80πcm
【专题】与圆有关的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：
∵h=8，r=6，
可设圆锥母线长为
l，
由勾股定理，
l=
=10，
圆锥侧面展开图的面积为：
S侧=×2×6π×10=60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：
C．
【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，
解题关键是利用底面半径及高求出母线长即
可．
11
山东省青岛市,3
分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和
AC
的夹角
．（2016.
为120°，长为25cm，贴纸部分的宽
BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为
（
）
A
．
175cm2
B
．
350cm2
C
cm2D
．
150cm2
π
π
．π
π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：
∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸=﹣
=175πcm2，
故选A．
12．（2016.山东省泰安市，3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面
展开图的扇形圆心角的大小为（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据
勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解答】解：
∵圆锥的底面半径为3，
∴圆锥的底面周长为6π，
∵圆锥的高是6，
∴圆锥的母线长为=9，
设扇形的圆心角为n°，
∴=6π，
解得n=120．
答：
圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
13．（2016·江苏无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的
面积等于（
）
A．24cm
2
B．48cm
2
C．24πcm
2
D．12πcm
2
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．
【解答】解：
底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm2）．
故选：
C．
二、填空题
1．（2016·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，
且与AD相切，则图中阴影部分面积为75﹣．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．
【分析】设圆的半径为
x，根据勾股定理求出
x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：
矩形ABCD的面积﹣（扇形
BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．
【解答】解：
设圆弧的圆心为
O，与AD切于E，
连接OE交BC于F，连接OB、OC，
设圆的半径为
x，则OF=x﹣5，
由勾股定理得，
2
2
2
OB=OF+BF，
即x2=（x﹣5）2+（5）2，
解得，x=5，
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：
矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）
=10
×5﹣
+×10×5
=75
﹣
，
故答案为：
75
﹣
．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式
S=是解题的关键．
2．（2016·湖北鄂州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面
积是.
【考点】扇形的面积．
【分析】利用阴影部分面积
=扇形的面积-三角形的面积进行计算．
【解答】解：
S
=S
=
1
2
1
2
1
3
=6π-93.
阴影
扇
360
πnR－S=
360
π×60×6－
2×6×6×
2
△AOB
故答案为：
（
6π-9
3）cm2．
【点评】本题考查了求扇形的面积．要熟知不同条件下的扇形的面积的求法：
S扇=1
LR
2
（L为扇形弧长，R为半径）=
1
2
R为半径）=
1
2
αR（α为弧度制下的扇形圆心角，
360
πn
R2（n为圆心角的度数，R为半径）；C扇=
1
2
πnR+2R（n为圆心角的度数，
R为半
360
径）=（α+2）R
（α为弧度制下的扇形圆心角，
R为半径）；S扇=πRM.
3.（2016·四川乐山·3分）如图8，在Rt
ABC中，ACB
90，AC2
A
3,以点C
为圆心，CB的长为半径画弧，与
AB边交于点D,将BD绕点D旋转1800后点B与
点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为
___▲__.
D
2
答案：
23
3
解析：
依题意，有AD＝BD，又ACB
90
，所以，有
B
C
图8
CB＝CD＝BD，即三角形BCD为等边三角形
∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°，
由AC
23，求得：
BC＝2，AB＝4，
弓形
＝
－
＝
604－
＝2
－
，
S扇形BCD
SBCD
3
3
SBD
360
3
阴影部分面积为：
S＝SACD－S弓形AD＝
3－（2
－3）＝23
2
3
3
4.（2016江苏淮安，17
，3
分）若一个圆锥的底面半径为
2，母线长为
6，则该圆锥侧面展
开图的圆心角是
120
°．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后
根据弧长公式即可求解．
【解答】解：
圆锥侧面展开图的弧长是：
2π×2=4π（cm），
设圆心角的度数是n度．则=4π，
解得：
n=120．
故答案为120．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5.（2016·广东广州）如图4，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，
点P是切点，AB＝123，OP＝6则劣弧AB的长为.（结果保留）
O
A
P
B
图4
［难易］容易
［考点］勾股定理，三角函数，求弧长，垂径定理
［解析］因为AB为切线，P为切点，
OP
AB,
AP
BP
63
OP
6,OB
OP2
PB2
12
OP
AB,OB2OP
POB60,POA60
劣弧AB所对圆心角
DAOB=120°
l
AB=
120
2
·
180
pr=
p12=8p
3
［参考答案］
8p
6.（2016
年浙江省宁波市）
如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图
中阴影部分的面积为
．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积
相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结
论．
【解答】解：
∵弦CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD=?
π?
=×π×=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD．本
题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
7.
（2016
年浙江省台州市）
如图，△
ABC
的外接圆
O
的半径为
2
C=40
°，则的长是
，∠
π．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式：
l=（弧长为l，圆心角
度数为n，圆的半径为R）即可求解．
【解答】解：
∵∠C=40°，
∴∠AOB=80°．
∴
的长是
=
．
故答案为：
π．
8．（
2016
C
为半圆内一点，
O
为圆心，直径
AB
长为
2cm
，∠
BOC=60°
·山东烟台）如图，
，
∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域
（图中阴影部分）的面积为πcm2．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：
∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，
∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，
∴∠B′OB=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC′=，
∴B′C′=，
∴S扇形B′OB=
=π，
S扇形C′OC=
=，
∵
∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣
=π；
故答案为：
π．
9．（2016·山东烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等
分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，
则圆柱上M，N两点间的距离是cm．
【考点】圆柱的计算．
【分析】根据题意得到
EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以
6
得到EM的长，进而确定出
MN的长即可．
【解答】解：
根据题意得：
EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点
A与点D重合，底面圆的直径为
10cm，
∴底面周长为10πcm，即EF=10πcm，
则MN=
cm，
故答案为：
．
10．（2016·四川巴中）如图，将边长为
3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆
心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）
．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为
18．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】由正六边形的性质得出的长=12，由扇形的面积=弧长×半径，即可得出结果．
【解答】解：
∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇
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