宁夏银川一中高三数学第一次模拟考试试题 理.docx
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宁夏银川一中高三数学第一次模拟考试试题理
宁夏银川一中2016届高三数学第一次模拟考试试题理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则=
A.B.C.D.
2．复数的虚部是
A．iB．-iC．1D．-1
3．在等比数列中，若，，则该数列前五项的积为
A．±3B．3C．±1D．1
4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，
则该三棱锥的体积为
A．4B．8
C．12D．24
5．二项式展开式中的常数项是
A．360B．180C．90D．45
6．在中，，则=
A．-1B．1C．D．-2
7．若对任意非零实数，若的运算规则
如右图的程序框图所示，则的值是
A．
B．
C．
D．9
8．函数满足，则的值为
A．B．C．D．
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，
，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为
A．B．C．D．
10．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
11．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，②函数有2个零点
③的解集为④，都有
其中正确命题个数是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A．1B．2C．3D．4
12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为的个
小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂
颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法共有（）种
A．18B．36C．72D．108
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .
14．在中，角的对边分别为，若，
则_______________
15．在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率是 .
16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于__________.
理科数学试卷第3页（共6页） 理科数学试卷第4页（共6页）
三、解答题:
解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．
（1）求与；
（2）证明：
．
18.（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视
力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中
随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图
的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，
试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的
学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与
学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和
951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05
的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在
（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：
19．（本小题满分12分）
如图
（1）所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图
（2）所示．
（1）证明：
CD⊥平面A1OC；
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
以椭圆：
的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：
当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：
为自然对数的底数）.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，
OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于
点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：
DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
23.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.
（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数.
（1）解不等式：
；
（2）已知，求证：
恒成立.
银川一中2016届高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
A
B
A
C
C
D
C
B
D
二、填空题
13.4-ln214.15.16.
三、解答题
17．解：
（1）设的公差为，因为所以解得或（舍），．
故，．……………………………………………5分
（2）因为，所以．………………8分
故
．……………………10分
因为，所以，于是，
所以．即．……………………12分
18.
（1）设各组的频率为，
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，……1分
因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为……………………………2分
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全年级视力在5.0以下的人数约为…………………………3分
（2）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分
（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3…………………7分
，，
，
的分布列为
0
1
2
3
………………11分
的数学期望………………12分
19．解：
（1）证明：
在图
（1）中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，
∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD.
即在图
（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
又OA1∩OC＝O，OA1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
又由
（1）知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
所以∠A1OC为二面角A1BEC的平面角，
所以∠A1OC＝.
如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，
所以B（，0，0）E（－，0，0），A1（0，0，），C（0，，0）
得＝（－，，0），＝（0，，－）
＝＝（－，0，0）．
设平面A1BC的法向量n1＝（x1，y1，z1），平面A1CD的法向量n2＝（x2，y2，z2），平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，
则得取n1＝（1，1，1）；
得取n2＝（0，1，1），
从而cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为.
20.解：
（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，
则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为.………4分
（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，
联列方程组代入消元得：
由………6分
可得由得即，所以………8分
此时成立，
则原点到弦的距离,
得原点到弦的距离为，则，
故弦的长为定值.……………………………12分
21、解：
（1）是的一个极值点，则
，验证知=0符合条件…………………….（2分）
（2）
1）若=0时，
单调递增，在单调递减；
2）若
上单调递减…………………………………（4分）
3）若
再令
在-------（6分）
综上所述，若上单调递减，
若
。
若（7分）
（3）由
（2）知，当
当
B
A
C
D
E
O
F
选做题
22.
（1）证明：
连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．
所以DE2=DB•DA．………………5分
（2）解：
DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．
DA=8，从而AB=6，则．
又由
（1）可知，DE=DF=4，BE=2，OE=1．
从而在中，．………………10分
23．（本小题满分10分）【选修4−4：
坐标系与参数方程】
解：
（1）由
得
消去参数t，得，
所以圆C的普通方程为．
由，
得，
即，
换成直角坐标系为，
所以直线l的直角坐标方程为．……………………………………（5分）
（2）化为直角坐标为在直线l上，
并且，
设P点的坐标为，
则P点到直线l的距离为，
，
所以面积的最小值是…………………………（10分）
（说明：
用几何法和点到直线的距离公式求也可参照给分．）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：
不等式选讲】
（1）解：
，即，
①当时，不等式为，即，
是不等式的解；
②当时，不等式为，即恒成立，
是不等式的解；
③当时，不等式为，即，
是不等式的解．
综上所述，不等式的解集为．…
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