学年最新北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》教学设计优质课教案.docx

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学年最新北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》教学设计优质课教案

1.3正方形的性质与判定

第1课时

【教学目标】

了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理.

【教学重难点】

重点:

探索正方形的性质定理.

难点:

掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.

【教学过程】

一、探究导入

【显示投影片】

显示内容:

展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）.

【活动方略】

教师活动:

操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题:

1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？

正方形四条边有什么关系？

四个角呢？

正方形是矩形吗？

是菱形吗？

为什么？

正方形具有哪些性质呢？

学生活动:

观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：

1.正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）.

实验活动：

教师拿出矩形按左图折叠.然后展开，

让学生发现:

只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生

发现：

只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形.

教师活动:

组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图:

学生活动：

观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：

正方形定义:

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形性质：

（1）边的性质:

对边平行，四条边都相等.

（2）角的性质：

四个角都是直角.

（3）对角线的性质:

两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.

（4）对称性:

是轴对称图形，有四条对称轴.

【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.

二、探究新知

【课堂演练】（投影显示）

演练题1：

如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于0，MN//AB，且分别与OA、OB相交于M、N.

求证：

（1）BM=CN；

（2）BM⊥CN.

分析：

本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在ΔBOM与ΔCON是否全等.

（2）在

（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN.只需证∠5+∠CMG=90°就可以了.

【活动方略】

教师活动:

操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学

生上台演示，交流.

学生活动：

课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题.

证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB.

∵MN//AB，∴∠1=∠2,∠ABO=∠3，

又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，

∴OM=ON，

∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN.

（2）由

（1）知ΔBOM≌ΔCON,

∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN.

演练题2:

如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证:

ΔCEF是直角三角形.

分析：

本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解决问题.这里应用到正方形性质.

【活动方略】

教师活动:

用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析，并请同学上讲台分析思路，板演.

学生活动:

先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.

证明：

设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，

AF=FB=2a，AE=a，DE=3a.

∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：

EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，

CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，

∴EF2+CF2=CE2.

由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形.

【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力.

三、范例点击

例：

已知：

如图，四边形ABCD是正方形，矩形PECF的顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,E在BC上，F在CD上，连接AC、AP、PC、EF，若EC=4，CF=3,求PA的长.

分析：

本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC，运用正方形的性质可得AP=PC，进而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.

解：

∵四边形PECF是矩形，∴PC=EF.在RtΔEFC中，

EC=4，CF=3,∴EF='

∴PC=5.∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分线.∵点P在BD上，∴PA=PC=5.

【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题，主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质，借助第三条线段作“媒介”求线段的长.

四、巩固练习

教材P21随堂练习

五、课堂小结

本节课应掌握：

正方形的概念：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形的性质

正方形的四个角都是直角，四条边相等.

正方形的对角线相等且互相垂直平分.

正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.

六、布置作业

教材P22习题1.7第1、2、3题

第2课时

【教学目标】

1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.

2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.

3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.

【教学重难点】

重点:

掌握正方形的判定条件.

难点:

合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.

【教学过程】

―、创设情境，引入新课

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？

请填入下图中.

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.

1.怎样判断一个四边形是平行四边形？

2.怎样判断一个四边形是矩形？

3.怎样判断一个四边形是菱形？

4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议:

你有什么方法判定一个四边形是正方形？

二、探究新知

1.探索正方形的判定条件：

学生活动：

四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.

（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；

（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.

后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:

有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.

2.正方形判定条件的应用

例1:

判断下列命题是真命题还是假命题？

并说明理由.

（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

⑵四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

师生共析：

是真命题，因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.

⑵真命题,由四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.

（3）假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，

对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图①，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形.

（4）假命题，它可能是任意四边形.如上图②，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.

（5）真命题.

方法一:

对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.

方法三：

由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.

总结:

通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.

例2:

如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠AFE=45°，试说明EF=BE+DF.

师生共析:

要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。

此时可依靠全等三角形来解决.

像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法.

解:

将ΔADF旋转到ΔABC，则ΔADF≌ ΔABG

∴AF=AG，∠ADF=∠ABG,DF=BG，

∵∠EAF=45°且四边形是正方形，

∴∠ADF+∠BAE=45°,

∴∠GAB+∠BAE=45°,

即∠GAE=45°，

∴ΔAEF≌ΔAEG（SAS），∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.

讨论:

你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗?

说出你的做法.

你怎么检验它是一个正方形呢？

小组讨论一下.

三、范例点击

例3:

如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ΔACE是等边三角形.

求证：

四边形ABCD是菱形；

若∠AED=2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形.

分析:

⑴由已知可得BE垂直平分AC,进而可得AB=BC，再用菱形定义可判定.

（2）由菱形性质可得∠DAC=∠BAC，由已知得∠AED=30°，∠EAO=60°，∠DAE=15°，∠DAO=45°，从而得出∠BAD=90°，问题得解.

证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC.

又∵ΔACE是等边三角形，

∴EO⊥AC，即BD⊥AC，

∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.

∵ΔACE为等边三角形，

∴∠AEO=∠OEC=30〇,∠EAC=60〇.

∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=15°，

∴∠DAO=45°.又∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB=90°，∴菱形ABCD为正方形.

四、巩固练习

教材P24随堂练习

通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.

五、课堂小结

本节课应掌握：

正方形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）

对角线相等的菱形是正方形.

对角线垂直的矩形是正方形.

有一个角是直角的菱形是正方形.

有一组邻边相等的矩形是正方形.

六、布置作业

教材P25习题1.8第1、3题.