版高中数学苏教版必修三学案疑难规律方法第三章 概 率 Word版含答案.docx

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版高中数学苏教版必修三学案疑难规律方法第三章概率Word版含答案

1　概率加法公式应用点拨

概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为若事件A1，A2，…，An彼此互斥（两两互斥），则P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An），即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．

一、计算互斥事件和的概率

例1由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：

排队人数

0

1

2

3

4

5人以上

概率

0.10

0.16

0.30

0.30

0.10

0.04

求：

（1）至多2人排队的概率；

（2）至少2人排队的概率．

解　

（1）记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B，C彼此互斥．

P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.

（2）记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P（D）＝P（）＝1－[P（A）＋P（B）]＝1－（0.10＋0.16）＝0.74.

点评　应用概率加法公式求概率的前提有两个：

一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率．

二、求解“至少”与“至多”型问题

例2甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关（事件A）的概率为0.198，恰有2人过关（事件B）的概率为0.380，恰有3人过关（事件C）的概率为0.302，4人都过关（事件D）的概率为0.084.求：

（1）至少有2人过关的概率P1；

（2）至多有3人过关的概率P2.

分析　“至少有2人过关”即事件B＋C＋D，“至多有3人过关”即事件A、B、C与事件“4人均未过关”的和事件，其对立事件为D.（注意“4人均未过关”这种可能情况）

解　由条件知，事件A、B、C、D彼此互斥．

（1）P1＝P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.766.

（2）P2＝P（）＝1－P（D）＝1－0.084＝0.916.

点评　处理“至多”、“至少”型问题，既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解．当事件包含的情况较多时，常利用P（A）＝1－P（）求P（A）．

三、列方程求解概率问题

例3某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.60，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？

分析　设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可．

解　记“任取一人，血型为A型”、“任取一人，血型为B型”、“任取一人，血型为AB型”、“任取一人，血型为O型”分别为事件E，F，G，H，显然事件E、F、G、H两两互斥．

故

解得

所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.30、0.30.

点评　本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点．挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养．

2　概率误区追源

同学们对概率一词虽不陌生，但求解概率问题时总会一不小心就误入歧途，下文例析几类典型错误，为同学们敲响警钟．

一、对频率与概率的含义及关系理解不清致误

例1下列说法中正确的有________．

①抛一枚质地均匀的硬币10次，结果7次正面向上，若事件A表示“正面向上”，则P（A）＝；

②某人将一枚硬币连续抛掷两次，两次都正面向上，则正面向上的频率是1；

③利用均匀的号签抽签决定甲乙二人谁当班长时，先抽的人当班长的概率大；

④已知某批水杯的次品率为2%，则该批水杯中每100个便会有2个次品；

⑤做10000次随机试验，某事件发生的频率可作为该事件发生的概率．

错解　①②③④⑤

剖析　①中，P（A）表示事件A发生的概率，应为.而为事件A发生的频率，二者不相等；③中，无论先抽还是后抽，抽到当班长的概率相同；④中，概率代表某事件在一次试验中发生的可能性，不能由其判断做一次试验一定发生或不发生某种结果；⑤中，概率值是在大量试验的基础上，由多个频率的变化规律得到的，仅凭10000次随机试验中某事件发生的频率得不出该事件发生的概率．

正解　②

点评　频率与随机试验的次数有关，具有随机性．做相同次数的随机试验，某事件发生的频率不一定相同．概率与随机试验的次数无关，具有不变性，反映了事件发生的可能性大小．

二、互斥事件、对立事件概念理解不透致误

例2

（1）对于随机事件A，B，若有P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.7，则事件A，B的关系为________．

（2）某人面试时，答了3道试题．若此人各道试题回答正确与否具有随机性，则他至少答对1道题的对立事件是________________________________________．

错解　

（1）因为P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.7<1，

所以事件A、B互斥．

（2）该次面试，此人至多答对1道题．

剖析　

（1）互斥是同一试验下不可能同时发生的两事件间的关系．若事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）≤1.但这里的事件A，B不一定是同一试验下的两个事件．

（2）对一些关键判断词的否定词不能准确理解应用，误认为将“至少”改为“至多”即可得其对立事件．

正解　

（1）不确定．可能互斥，也可能毫无关系．

（2）此人答对题的个数可以是0、1、2、3.“至少答对1道题”，即答对1道、2道或3道，所以“他至少答对1道题”的对立事件是“他1道题也没答对”．

点评　若同一试验随机事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）≤1，反之不一定成立．在写某事件的对立事件时，应准确把握常见判断词及其否定，如①都是——不都是；②全——不全；③至少有n种——至多有n－1种；④大于——小于或等于．

三、错用加法公式（不互斥时）致误

例3几个人玩掷骰子游戏，某人先随机向上抛掷一颗骰子，骰子落下后各点向上的概率都是，事件A表示“朝上的点数是不等于6的偶数”，事件B表示“朝上的点数不少于4”，求P（A＋B）．

错解　因为P（A）＝＋＝，P（B）＝＋＋＝，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.

剖析　错解的原因在于忽视了概率加法公式应用的前提条件．由于当朝上一面的数为4时，事件A、B同时发生，所以事件“朝上一面的数是不等于6的偶数”与“朝上一面的数不少于4”不互斥，故不能应用公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）求解．

正解　记“朝上一面的数为i（i＝1，2，3，4，5，6）”为事件Ci，则六个事件彼此互斥，且A＝C2＋C4，B＝C4＋C5＋C6，所以A＋B＝C2＋C4＋C5＋C6，所以P（A＋B）＝P（C2＋C4＋C5＋C6）＝＋＋＋＝.

点评　求解随机事件的概率时，要注意分清哪些事件互斥，哪些不互斥．应用互斥事件的概率加法公式时，要先判断两个或多个事件是否彼此互斥，只有事件彼此互斥时才可用公式求解.

3　概率中的几个易混概念辨析

概率问题中有许多概念看似相似，实则不同，非常容易混淆，本文就概率中的几组易混概念进行对比分析，以提高同学们的辨别能力和解题能力．

1．随机事件、必然事件与不可能事件

随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；而必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，其概率为1；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，其概率为0.但需要注意，从概率学角度看，概率为1的事件可以是必然事件，也可以是随机事件；同样，概率为0的事件可以是不可能事件也可能是随机事件．

2．频率和概率

频率和概率是学习的重点，也是学习的难点．频率是指在多次重复试验的基础上此事件发生的次数与试验总次数的比值，它随着试验次数的改变而变化，它不是常数，但它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增大，这种摆动幅度越来越小．而上述中的常数是事件发生的概率，它不随着试验次数的改变而变化，频率只能作为概率的一个近似值．（有时频率与概率相等，如必然事件）

例1　判断下列命题的真假．

（1）掷100次硬币，出现正面的频率是0.4，则在试验中出现正面向上的次数为40次；

（2）某产品的次品率为3%，则任取该产品100件，其中必有3件次品．

解　

（1）真；

（2）假．

3．互斥事件与对立事件

互斥事件、对立事件的共同点是都涉及两个事件之间的关系．如果事件A与事件B不可能同时发生，那么称事件A与B为互斥事件，它包含两层含义：

在同一次试验中，①A、B都未发生；②A、B恰有一个发生．

在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件．

注：

①互斥事件是对立事件的前提；②两个事件中必有一个发生；③对立事件的概率和等于1，即P（A）＋P（）＝1.

因此，两事件对立，必定互斥，但互斥不一定对立．从集合角度考虑：

两个事件A与B互斥，是指由A，B所含的结果所组成的集合的交集是∅.一般情形：

如果事件A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，那么我们称A1，A2，…，An彼此互斥．各事件包含的结果组成的集合A1，A2，…，An有A1∩A2∩…∩An＝∅；对于事件A，B所包含的结果组成的集合A，B若满足“A∪B＝Ω（Ω为所有可能事件组成的集合）且A∩B＝∅”，则事件A与B为对立事件，也即A＝∁ΩB，B＝∁ΩA.利用上述集合观点，很容易判断两个事件是否为互斥事件或对立事件．

4．“放回”与“不放回”

例2　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，连续取两次．

（1）若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

（2）若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一次次品的概率．

解　

（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），其中小括号中左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则事件A由（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）4个事件组成，因而P（A）＝＝；

（2）有放回地取出两件，其一切可能的结果为（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1），且B表示“恰有一件次品”这一事件，则事件B由（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）4个事件组成，因而P（B）＝.

4　点击古典概型中的列举法

古典概型是概率部分的一个重要内容，涉及到古典概型概率求解的问题一般难度不大，但极易出错，下面介绍三种列举方法供同学们学习时参考．

一、直接列举法

例1袋中有除颜色外大小均相同的红、白、黄、黑4个小球．

（1）从中任取一球，求取出白球的概率；

（2）从中任取两球，求取出的是红球和白球的概率．

分析　求古典概型的概率，应先列举出总的基本事件数、所求事件包含的基本事件数，然后利用公式求概率．

解　

（1）设A表示事件“取出白球”．在“从中任取一球”的试验中，等可能出现的结果有取出红球，取出白球，取出黄球，取出黑球，共4种，

所以P（A）＝.

（2）设B表示事件“取出的两个球是红球和白球”，在“从中任取两球”这个试验中等可能出现的结果