湖南省浏阳一中攸县一中醴陵一中届高三上学期联考试题 数学理含答案.docx

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湖南省浏阳一中攸县一中醴陵一中届高三上学期联考试题数学理含答案

2015届高三浏攸醴三校联考

理科数学试题

时量120分钟总分150分

命题人：

攸县一中谭忠民审题人：

攸县一中尹光辉

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是（）

A.B.C.D.且

2．函数的定义域是（）

A．[-1，4]B．C．[1，4]D．

3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4、设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（　　）

A.8B.7C.6D.5

5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若,则（）

A.B.C.D.

6．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（）

A.B.C.D.

7．已知点分别是正方体

的棱的中点，点分别在

线段上.以为顶点

的三棱锥的俯视图不可能是（）

8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是（）

INPUT“n=”；

k=1

p=1

WHILEK<=n

p=p*k

k=k+1

WEND

PRINTp

END

A.120B.720C.1440D.5040

9、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如右上图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（　　）

A.[6K-1，6K+2]（K∈Z）B.[6k-4,6k-1]（K∈Z）

C.[3k-1,3k+2]（K∈Z）D.[3k-4,3k-1]（K∈Z）

10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则（）.

A.B.-1C.2D.1

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11、已知各项均为正数的等比数列中，则。

12.若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则=　　．

13.在中，若，则角B=。

14、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是．

15、对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.

（1）下列函数中具有性质P的有

①②③，

（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是.

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16．（本题满分12分）在△ABC中，已知A=，．

（I）求cosC的值；

（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．

17.（本题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．

（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，.

（Ⅰ）当时，求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点满足平面？

并说明理由.

19、（本题满分13分）已知椭圆的焦距为，

且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？

若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由.

20.（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）设,讨论的单调性;

（Ⅲ）已知且,证明:

21.（本题满分13分）已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：

.

（Ⅰ）若，数列的前n项和为Sn，求S19的值；

（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。

①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则；

③如果数列是等比数列，则。

浏阳市一中、攸县一中、醴陵一中2015届高三11月联考

理科数学试题参考答案及评分标准

1、选择题：

1―5：

CDCAB6―10：

ACBBD

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11、2712、13、14、

15、

（1）①②，

（2）.

三、解答题：

答案仅供参考。

如有其他解法，请参照此标准酌情给分。

16．（本题满分12分）在△ABC中，已知A=，．

（I）求cosC的值；

（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．

【解析】（Ⅰ）且，∴…2分

……………………………4分

……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得……8分

由正弦定理得，即，解得．………10分

在中，，所以…………12分

17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．

（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

【解析】（I）、可能的取值为、、，…………………1分

，，

，且当或时，．

因此，随机变量的最大值为………………………3分

有放回摸两球的所有情况有种………6分

（Ⅱ）的所有取值为．

时，只有这一种情况．

时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，…………………………8分

则随机变量的分布列为：

………………10分

因此，数学期望…………………12分

18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，.

（Ⅰ）当时，求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点满足平面？

并说明理由.

解：

（Ⅰ）取中点，连接，………………1分

又，所以.

因为，所以,

四边形是平行四边形，………………2分

所以

因为平面，平面

所以平面.………………4分

（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，

且，所以平面，所以，………………5分

因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.

则，………6分

是平面的一个法向量.

设平面的法向量，则

，即

令，则，所以,

所以，………………8分

故二面角的正弦值为。

………………9分.

（Ⅲ）因为，所以与不垂直,……………11分

所以不存在点满足平面.………………12分

19、（本题满分13分）已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，

是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？

若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由.

解：

（1）由已知，焦距为2c=…………1分

又…………2分

点在椭圆上，…………3分

故，所求椭圆的方程为……………5分

（2）当时，直线，点不在椭圆上；……………7分

当时，可设直线，即……………8分

代入整理得

因为，所以

若关于直线对称，则其中点在直线上……………10分

所以，解得因为此时点在直线上，……………12分

所以对称点与点重合，不合题意所以不存在满足条件.……………13分

20.（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）设,讨论的单调性;

（Ⅲ）已知且,证明:

解：

（Ⅰ）所以……1分

由题意,得……3分

（Ⅱ），所以……4分

设

当时，，是增函数，，

所以，故在上为增函数；……………5分

当时，，是减函数，，

所以，故在上为增函数；

所以在区间和都是单调递增的。

……………8分

（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知成立，即，………9分

从而，即……………12分

所以。

……………13分

21.（本题满分13分）已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：

.

（Ⅰ）若，数列的前n项和为Sn，求S19的值；

（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。

①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则；

③如果数列是等比数列，则。

解析：

………1分

………3分

………5分

（Ⅱ）①显然是对的，只需满足……………7分

②显然是错的，若，……………9分

③也是对的，理由如下：

…………10分

首先是奇函数，因此只需考查时的性质，此时都是增函数，从而在上递增，所以在上单调递增。

若，则，所以，即，所以.

同理若，可得，

所以时，.

由此可知，数列是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；

若各项符号不一致，则公比且，

若是偶数，符号一致，

又符号一致，所以符合；

若是奇数，可证明总和符号一致”，

同理可证符合；……………12分

综上所述，①③是真命题；②是假命题……………13分