浙江专版高考数学母题题源系列专题14函数与不等式.docx

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浙江专版高考数学母题题源系列专题14函数与不等式

专题十四函数与不等式

【母题原题1】【2018浙江，15】已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）<0的解集是___________．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】

（1）.（1,4）

（2）.

【解析】分析:

根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.

详解：

由题意得或，所以或，即，不等式f（x）<0的解集是

点睛：

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

【母题原题2】【2017浙江，17】已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________

【答案】

【解析】，分类讨论：

①当时，，

函数的最大值，舍去；

②当时，，此时命题成立；

③当时，，则：

或，解得：

或

综上可得，实数的取值范围是．

【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：

①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．

【母题原题3】【2016浙江，理18】已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，

其中min{p，q}=

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；

（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；

（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）．

试题解析：

（Ⅰ）由于，故

当时，，

当时，．

所以，使得等式成立的的取值范围为．

（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，

则，，

所以，由的定义知，即

（ⅱ）当时，

，

当时，．

所以，．

【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．

【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．

【命题意图】高考对本部分内容的以考查能力为主，重点考查分段函数、绝对值的概念、基本函数的性质、不等式的解法，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.

【命题规律】函数是高考命题热点之一，往往以常见函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.由于导数的加入，除将函数与导数相结合考查外，仍有对函数独立的考查题目，难度基本稳定在中等或以下.

【答题模板】求解函数不等式问题，一般考虑：

第一步：

化简函数，明确函数的构成特点.当呈现方式含绝对值式时，要利用绝对值的概念化简函数；

第二步：

根据函数特征，联想函数的性质，确定求解方法.根据函数的构成特点，结合题目要求，联想函数的单调性、零点的概念、不等式的解法、不等式恒成立问题的解法等；

第三步：

运算求解.

【方法总结】

1.确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法

（1）利用函数零点的存在性定理：

首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点.

（2）数形结合法：

通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

2.已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常用的方法

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

3.确定函数最值的方法：

（1）单调性法：

考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.

（2）图象法：

对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.

（3）分段函数的最值：

将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.

（4）导数法：

对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.

4.分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数问题时应注意以下三点：

（1）明确分段函数的分段区间．

（2）依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．

（3）在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值（范围）是否落在相应分段区间内．

5.含绝对值不等式的应用中的数学思想

（1）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

（2）利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．

1．【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（）

A.函数为偶函数B.若时，有

C.若时，D.若时，

【答案】D

【解析】分析：

的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可．

详解：

在同一坐标系中画出的图像（如图所示），

故的图像为图中粗线所示．

的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，此时有，故B成立．

从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．

取，则，，，故D不成立．

综上，选D．

点睛：

一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．

2．【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

首先根据题中所给的函数解析，将函数的大致图像画出来，可以判断出函数有四个零点时对应参数的范围，并且可以断定有两个正根，两个负根，以及两个负根和为定值，从而确定出其积的取值范围，两个正根可以解方程，之后用两根和来断定，最后根据题的条件，确定出其取值范围.

所以，故选A.

点睛：

该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点由函数图像的对称性，对勾函数图像的走向，函数零点个数向向函数图像交点个数靠拢，总之要想最对改题目，必须将基础知识抓牢.

3．【2018届福建省莆田市第二次检测】已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】分析：

首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，注意分段函数要明确相应的式子，当时，很容易画出抛物线段，当时，利用导数研究函数的单调性，利用函数解析式，确定出函数值的符号，从而画出函数的图像，利用偶函数的图像的对称性，得到函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可得结果.

详解：

画出函数的图像，当时，很容易画出抛物线段，利用导数研究函数的图像的走向，从而确定出其在上单调减，在上单调增，但是其一直落在x轴下方，因为是定义在上的偶函数，所以函数有六个零点，等价于有三个正的零点，相当于函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可知的取值范围是，故选D.

点睛：

该题考查的是有关函数零点的个数问题，在求解的过程中，将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题，结合偶函数的图像的对称性，得到在y轴右侧有三个交点，利用导数研究函数的单调性，得到函数图像的走向，从而观察图像求得结果.

4．【2018届天津市滨海新区七所重点学校联考】已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】,,当时,,其对称轴,则函数在上为增函数,此时的值域为;当时,,其对称轴,则函数在上为增函数,此时函数的值域为,函数在上为减函数,值域为.由于关于的函数有三个不同的零点,所以.而为增函数,故.所以.故选B.

5．【百校联盟2018届TOP202018届三月联考】已知若，恒成立，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】当时，，则是的最大值，，当时，，当时取等号，要满足，需，即，解之得，得的取值范围是，故选C.

6．【2018届北京市人大附中二模】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】,.构造函数,画出函数的图象如下图所示,其中的坐标分别为.故当时,与有个交点,故选.

7.【2018届浙江省绍兴市5月调测】设函数有两个零点，则实数的值是_________.

【答案】

【解析】分析：

将原问题进行换元，转化为两个函数有两个交点的问题，然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果.

详解：

不防令，则.

原问题转化为函数与函数的图像有2个交点，

函数的图像是确定的，如下所示（三个函数图像对应满足题意的三种情况），

而函数是一动态V函数，顶点轨迹y=x，

当动态V函数的一支与反比例函数相切时，即为所求.

联立可得，

则满足题意时：

，解得：

，

注意到当V函数的顶点为时满足题意，此时.

综上可得：

实数的值是.

8．【2018届浙江省温州市一模】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：

接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为.

9．【2017届浙江省台州市高三上学期期末】已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】设，则，由于，则，所以将以上三式两边相加可得，即，应填答案.

10.【2018届江苏省扬州树人学校模拟四】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．

【答案】.

∵函数最小值为，

∴．

②当，即时，则，

∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．

∵函数最小值为，

∴，解得，不合题意，舍去．

③当，即时，则，

∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．

∵函数最小值为，

∴，解得或（舍去）．

综上可得或，

∴实数的取值集合为．

11．【2018届湖南省岳阳市第一中学一模】已知若，恒成立，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】分析：

由题意若，即函数，根据分段函数及二次函数的图象与性质，即可求解实数的取值范围.

12．【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高二下期中联考】已知函数

（1）若在上恒成立，求a的取值范围；

（2）求在[-2,2]上的最大值M（a）.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】分析：

（1）先根据绝对值定义去掉绝对值，并分离变量得当x>1时，；当x<1时，，当x=1时，a∈R；再根据函数最值得a的取值范围；

（2）先根据图像得函数最大值只能在f

（1），f

（2），f（-2）三处取得，再根据三者大小关系以及对应对称轴确定最大值取法，最后用分段函数书写.

详解：

（1）即（*）对x∈R恒成立，

①当x=1时，（*）