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补了假设和摘要雏形10

对土豆、生菜的施肥效果分析

摘要

本文主要讨论分析不同施肥方法和不同营养素种类对作物产量的影响效果。

已知某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。

首先然以单个营养素的施肥效果为分析对象，得到产量与不同营养素的施肥量之间的关系，以求得对土豆和生菜增产效果最明显的营养素种类。

再通过多元回归分析建立最佳施肥效果模型得到三种营养素与产量之间的关系，以求得最佳施肥效果，并给出施肥建议与改进方法。

模型一基于数据拟合的单个营养素施肥效果模型。

通过使用MATLAB拟合所给的相关数据，得到拟合度较佳的产量与单个营养素施肥量之间的函数关系。

我们构造最大增产率一值，其表达式如下：

。

通过计算，可以发现对土豆增产效果明显的主要是氮肥，而对生菜增产效果最明显的则是磷肥。

这与实际相符。

为了获得更为准确的结果，我们引入AE（肥料农学效益）这一农学量,以及肥料农业效益评价依据表，得到以下结论：

使用合适氮肥对土豆增产的效果极好；使用氮肥对生菜的增产效果一般；是否使用磷肥对土豆产值的影响大；使用较大量的磷肥功效一般；使用磷肥对生菜增产效果好；钾肥的使用对土豆的增产效果好；对生菜的增产效果极差。

模型二基于多元回归分析的多种营养素最佳施肥效果模型。

易知，作物产量同时受三种营养素的影响，通过使用SPSS获得两个施肥量与产量之间的函数关系式，营养素和土豆产量之间的关系函数：

营养素和生菜产量之间的关系函数：

使用MATLAB分别分析讨论这两个函数，得到生菜的最佳施肥方案为氮肥212.9078kg/ha,磷肥为685kg/ha,钾肥为412.4231kg/ha，此时的生菜产量最高，为24542kg/ha；土豆的最佳施肥方案为氮肥291.41kg/ha,磷肥为246.6706kg/ha,钾肥为539.125kg/ha，此时的土豆产量最高，为44768kg/ha。

通过分析我们发现所给数据的局限性，无法得到各个营养素之间的交互项系数，对此我们给出了新的增设实验建议。

本文的亮点在于：

本文不仅仅局限于对给定数据的分析研究，更积极引入农学量，以及国家农业部颁布的推荐方案。

具体如下：

给出了各个营养素的农学效应；由于无法准确获得各个营养素之间相互影响的关系，因此结合我国农业部推荐的“3414”方案，给出新的增设实验，通过该实验能够更准确地获得最佳施肥方案，提高农作物的产量。

关键词：

MATLAB工具箱拟合多元回归分析交互项实验组

一、问题重述

我国系农业大国，土豆、生菜的产量与需求量居高不下，施肥作为农作物在生产阶段必不可少的一个环节消耗了不少多余的人力物力，因此通过分析实际数据，寻找到最佳施肥方案是很有必要的。

本题已给我们在控制变量条件下实验所获得的相关数据，要求给出施肥量与产量之间的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估计。

我们先对单个营养素进行定量分析，再结合实际对多个营养素进行分析，直观地给出施肥量与产量之间的关系，以及肥料的农学效应。

最后结合实际情况给出应用价值的估计和改进方法的建议。

二、符号说明

Y

产量

XN

N肥使用量

XP

P肥使用量

XK

K肥使用量

【注】其他未列出符号将在首次出现时给出详细说明。

三、问题假设

假设1：

土壤中的其他营养成分对农作物生长的影响可忽略不计。

假设2：

实验期间环境因素（如温度、适度等）对农作物生长的影响可忽略不计。

假设3：

建模所涉及的主观分析的结论与实际相符

四、模型建立

4.1单个营养素施肥效果模型

4.11氮肥比较

为了解决该问题首先我们对不同肥料的施肥量和作物产量数据进行分析，希望拟合得到两者的关系函数。

首先我们画出各种肥料施肥量对应产量的散点图。

如下图所示

图1-1土豆产量-N施肥量图1-2生菜产量-N施肥量

分析散点图我们可以发现：

随着氮肥施肥量的增加，一开始的时候农作物产量快速增长，后来增速逐渐降低，当达到最大值之后产量随着施肥量的增大产量反而减少。

对此我们对其进行函数拟合，我们选取了以下几种常见函数式运用MATLAB工具对目标数据进行函数模拟

1.线性关系：

f（x）=p1*x+p2

2.二次多项式：

f（x）=p1*x^2+p2*x+p3

3.三次多项式：

f（x）=p1*x^3+p2*x^2+p3*x+p4

4.高斯式1：

f（x）=a1*exp（-（（x-b1）/c1）^2）

5.高斯式2：

f（x）=a1*exp（-（（x-b1）/c1）^2）+a2*exp（-（（x-b2）/c2）^2）

6.傅里叶式：

f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）

对于P、K的函数拟合也基本上采用上述几个函数式。

我们根据以下原则选出满意的拟合函数。

原则一：

函数的拟合程度高。

原则二：

函数尽量简单。

对于函数拟合程度的评价我们主要选取三个指标：

指标一：

SSE（和方差）

该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和，计算公式如下

SSE越接近于0，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功。

接下来的MSE和RMSE因为和SSE是同出一宗，所以效果一样

指标二：

RMSE（均方根）

该统计参数，也叫回归系统的拟合标准差，是MSE的平方根，就算公式如下

指标三：

R-square（确定系数）

在讲确定系数之前，我们需要介绍另外两个参数SSR和SST，因为确定系数就是由它们两个决定的

（1）SSR：

Sumofsquaresoftheregression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和，公式如下

（2）SST：

Totalsumofsquares，即原始数据和均值之差的平方和，公式如下

“确定系数”是定义为SSR和SST的比值，故

其实“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。

由上面的表达式可以知道“确定系数”的正常取值范围为[01]，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好

最终得到土豆产量-N施肥量拟合函数及函数图如下。

图1-3土豆产量-N施肥量拟合曲线

函数

二次多项式拟合的各指标值SSE、RMSE、R-square分别为9.806、1.184、0.988拟合程度很好。

生菜产量-N施肥量拟合函数及函数图则如下

图1-4生菜产量-N施肥量拟合曲线

函数如下：

生菜产量的拟合采用傅里叶函数，拟合的各指标值SSE、RMSE、R-square分别为4.695、0.8846、0.963拟合程度很好。

4.1.2磷肥比较

散点图如下：

图1-5土豆产量-P施肥量图1-6生菜产量-P施肥量

通过对散点图的粗略分析我们可以看到与氮肥不同，随着磷肥使用量的增加，蔬菜的产量在达到较大值之后没有呈现明显的下降。

对两者磷肥使用量-产狼进行函数模拟。

土豆产量-P施肥量拟合得到如下函数图

图1-7土豆产量-P施肥量拟合曲线

函数

土豆产量关于P施肥量的拟合采用e指数模型，拟合的各指标值SSE、RMSE、R-square分别为13.58、1.504、0.8285拟合程度较好。

生菜产量-P施肥量拟合得到如下函数图

图1-8生菜产量-P施肥量拟合曲线

生菜产量关于P施肥量的拟合采用e指数模型，拟合的各指标值SSE、RMSE、R-square分别为46.67、2.789、0.9112拟合程度较好。

4.1.3钾肥比较

图1-9土豆产量-K施肥量图1-10生菜产量-K施肥量

分析散点图随着K肥施肥量的增加开始时土豆产量增长速度极快后来有所下降，而蒸菜产量增长速度基本不变只是存在着波动。

根据上述分析结合MATLAB工具得到土豆产量-K施肥量拟合函数图如下：

图1-11土豆产量-K施肥量拟合曲线

函数

土豆产量关于K施肥量的拟合采用e指数模型，拟合的各指标值SSE、RMSE、R-square分别为23.1、1.962、0.9611拟合程度较好。

根据上述分析结合MATLAB工具得到生菜产量-K施肥量拟合函数图如下：

图1-12生菜产量-K施肥量拟合曲线

函数如下

生菜产量关于K施肥量的拟合采用e指数模型，拟合的各指标值SSE、RMSE、R-square分别为11.97、1.223、0.4511拟合程度较好。

4.1.4增产率比较

用以上拟合的函数求出施各种肥料之后作物的最大产量，以及对应的施肥量，我们将最大产量与为使用该种肥料的产量进行比较得到最大增产率。

得到如下表格。

表1-1施肥后后最大产量记录表

N

P

K

土豆

生菜

土豆

生菜

土豆

生菜

施肥量（产量最大时）

295.00

350.00

250.00

525.00

650.00

650.00

最大产量

43.29

22.02

41.81

26.56

45.21

19.29

不施肥产量

15.18

11.02

33.46

6.39

18.98

15.75

最大增产率

185.21%

99.85%

24.96%

315.67%

138.20%

22.48%

从上表中容易看对土豆增产效果明显的主要是氮肥，而对生菜增产效果最明显的则是磷肥。

土豆和生菜之所以有这样的区别，是因为土豆是植物的块茎而生菜则是植物的叶子。

通过查阅资料我们了解到氮肥的主要作用于茎叶的生长和果实的发育，所以氮肥对生菜土豆均有较大的增产效果，其中土豆的效果更好。

磷肥的作用是促使作物根系发达,增强抗寒抗旱能力，从而能够给叶子提供更多养分，因此能显著提高生菜的产量。

4.1.5肥料效果评价及比较

为了更准确的描述肥料的效果，我们引入AE（肥料农学效益）这一农学量。

计算公式如下：

式中：

AE是指肥料农学效益，单位为千克/千克；Yf为某一特定的化肥施用下作物的经济产量，单位为公斤/亩；Y0为对照（不施特定化肥条件下）作物的经济产量，单位为公斤/亩；F为肥料纯养分（是指N、P2O5和K2O）投入量，单位为公斤/亩。

由于题目所给数据的限制我们难以确定所施肥料的纯养分，故而对效果量的确定如下修改。

式中：

F’为肥料的投入量

根据以上算式结合现有资源得到各种肥料的肥料农学效益算法如下：

氮肥农学效率：

AEN=（YNPK–YPK）/FN

磷肥农学效率：

AEP=（YNPK–YNK）/FP

钾肥农学效率：

AEK=（YNPK–YNP）/FK

根据上述分析我们运用你和得到的函数做随着施肥量增加各种肥料农学效益变化的曲线图，得到如下6张图。

为了更方便对比，讲同种肥料异种作物的图放在一起比较。

图中虚线处表示最大产量值所在处。

说明：

图中箭头所指处为作物产量最大处

图1-13氮肥农业效益比较图

观察上图，不难发现土豆的氮肥农业效益是随着氮肥施肥量的增加逐步稳定下降的，而生菜的该项指标则是随着施肥量的增加先增大后减小的趋势。

对数据的比较之后发现氮肥对土豆的影响远远高于对生菜的影响。

中等施肥量（土豆100-300kg/ha，生菜100-300kg/ha）的状况下，土豆的氮肥农业效益在80-160kg/kg左右，而生菜则只有20-40kg/kg，土豆是生菜的4倍左右。

分析结果：

使用合适氮肥对土豆增产的效果极好。

使用氮肥对生菜的增产效果一般。

说明：

图中箭头所指处为作物产量最大处

图1-14磷肥农学效益比较图

观察上图土豆的磷肥农学效益随着施肥量的增加迅速降低，且降低的速度逐渐变小。

生菜的该指标则逐步降低，但是降低的速度有小幅的增长。

在合理的使用量范围内（土豆150-250kg/ha，生菜300-550kg/ha）两者的磷肥农学效益均值差不多，生菜稍高大约是45，而土豆则是40左右。

分析结果：

是否使用磷肥对土豆产值的影响大，使用较大量的磷肥功效一般。

使用磷肥对生菜增产效果好。

说明：

图中箭头所指处为作物产量最大处

图1-15钾肥农学效益比较图

观察上图可以发现土豆的钾肥农业效益开始时很大，随着施肥量的增加逐步降低，最后平稳在50kg/kg左右。

生菜的钾肥农业效益一直处于较低水平，无大波动。

在合理的使用量范围内（土豆100-400kg/ha，生菜100-400kg/ha）土豆的磷肥农学效益均值大约在100左右，生菜的该项指标则在10左右。

分析结果：

钾肥的使用对土豆的增产效果好，对生菜的增产效果极差。

以上分析结果依据下表给出。

表1-2肥料农业效益评价依据表

肥料农业效益

0-10

10-20

20-40

40-100

100及以上

等级

极差

差

一般

好

极好

4.2多种营养素最佳施肥效果模型

4.2.1土豆产量与营养素之间的关系。

已知当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，而从上文可知N,P,K等营养素在第七个水平上时土豆对其的需求已经达到饱和状态。

故而得到下表（为计算方便，令单位统一）：

产量（kg/ha）

施N量（kg/ha）

施P量（kg/ha）

施K量（kg/ha）

15180

0

196

372

21360

34

196

372

25720

67

196

372

32290

101

196

372

34030

135

196

372

39450

202

196

372

43150

259

196

372

43460

336

196

372

40380

404

196

372

30750

471

196

372

33460

259

0

372

32470

259

24

372

36060

259

49

372

37960

259

73

372

41040

259

98

372

40090

259

147

372

41260

259

196

372

42170

259

245

372

40360

259

294

372

42730

259

342

372

18980

259

196

0

27350

259

196

47

34860

259

196

93

38520

259

196

140

38440

259

196

186

37730

259

196

279

38430

259

196

372

43870

259

196

465

42770

259

196

558

46220

259

196

651

表1土豆产量与营养素的关系

由于有三种营养素在同时影响土豆产量，本文将采取多元回归法分析施肥量与产量之间的关系。

经过SPSS软件发现

系数a

模型

非标准化系数

标准系数

t

Sig.

B

标准误差

试用版

1

（常量）

29067.314

16535.603

1.758

.094

x1

79.290

46.906

.970

1.690

.106

x3

108.177

33.251

1.859

3.253

.004

x11

-.217

.166

-1.217

-1.305

.207

x22

-.423

.310

-1.257

-1.365

.187

x33

-.432

.086

-4.636

-5.043

.000

x111

.000

.000

-.338

-.570

.575

x222

.001

.001

.514

.895

.381

x333

.000

.000

2.469

4.303

.000

x123

.001

.000

1.695

2.536

.020

a.因变量:

产量

不难发现有许多因素的回归检验非常不显著，故而应该修改回归方程：

再次通过SPSS软件的回归分析功能进行回归检验

模型汇总

模型

R

R方

调整R方

标准估计的误差

1

.959a

.920

.899

2456.31712

a.预测变量:

（常量）,x33,x11,x22,x1,x3,x2。

Anovab

模型

平方和

df

均方

F

Sig.

1

回归

1.592E9

6

2.653E8

43.974

.000a

残差

1.388E8

23

6033493.779

总计

1.731E9

29

a.预测变量:

（常量）,x33,x11,x22,x1,x3,x2。

b.因变量:

产量

系数a

模型

非标准化系数

标准系数

t

Sig.

B

标准误差

试用版

1

（常量）

-12786.733

3773.932

-3.388

.003

x1

190.582

14.675

2.331

12.987

.000

x2

83.868

20.339

.760

4.123

.000

x3

73.321

10.704

1.260

6.850

.000

x11

-.327

.032

-1.834

-10.375

.000

x22

-.170

.061

-.507

-2.803

.010

x33

-.068

.017

-.726

-4.023

.001

a.因变量:

产量

得到土豆产量与营养素之间的函数关系，如下：

4.2.2土豆产量与营养素之间的关系。

同理可得到生菜产量与营养素之间的关系函数，如下：

通过MATLAB软件可以求得在约束条件下的最优解.以土豆为例:

Max

S.tN≤471

P≤342

K≤651

N,P,K>0

通过编写运行所matlab程序可以得到最有解为：

N=291.4100P=246.6706K=539.1250y=44768

即为：

当肥料的配比为氮肥291.41kg/ha,磷肥为246.6706kg/ha,钾肥为539.125kg/ha为最佳，此时的土豆产量最高，为44768kg/ha。

采取同样的方式进行研究N,P,K等营养素和生菜产量之间的关系：

Max

S.tN≤392

P≤685

K≤651

N,P,K>0

通过编写运行所MATLAB程序可以得到最有解为：

N=212.9078P=685K=412.4231y=24542

即为：

当肥料的配比为氮肥212.9078kg/ha,磷肥为685kg/ha,钾肥为412.4231kg/ha为最佳，此时的生菜产量最高，为24542kg/ha。

由上可知土豆和生菜对于氮钾肥料的需求类型类似，而对于磷肥的需求类型不一致，与实际相符。

4.2.3改进建议

一、不足原因分析

为了真正做到结合实际，针对应用价值，我们认为仅凭理论上的编程计算是不够的，前面已经了解到由于有三种营养素在同时影响土豆产量，根据常识我们可以判断三种肥料应该有相互之间的影响，即交互影响。

为此考虑用三元二次多项式来拟合产量与施肥量的关系。

构造拟合函数如下：

可以考虑多元回归模型来求解各个系数，但是限于题设给的数据条件我们发现，仅凭回归分析的方法，方程的交互项系数是无法求得的。

以土豆为例，我们将测量所用的各个化肥量的数据点（N,P,K）画在三维图上，如下图，可以清楚的看到三组数据均跟坐标轴平行。

图xx数据点图

可以设想，将坐标轴平移到某一情况时，数据将跟坐标轴重合，此时每个数据点将有两维的坐标变成了0，所有交叉项均为0。

因此是无法得到交叉项系数的。

为了更好的描述肥料对作物的影响我们建议该研究所增设实验组。

二、增设实验组

肥料效应田间试验方案的设计，取决于研究目的。

2005年农业部下发的“测土配方施肥技术规范（试行）”推荐采用“3414”方案设计。

“3414”设计方案是3因素、4水平、14个处理优化的不完全实施的正交试验，该方案吸收了回归最优设计处理少、效率高的优点，是目前国内外应用比较广泛的肥料效应田间试验方案，已在全国试用多年。

“3414”完全实施方案可应用14个处理，可进行氮、磷、钾三元二次效应方程的拟合。

此外还可分别进行氮、磷、钾中任意二元或一元效应方程的拟合。

我们采用上述试验方案增设了14组试验如下表所示：

表1-2土豆增设实验数据表

编号

代码

N（kg/ha）

P（kg/ha）

K（kg/ha）

1

N0P0K0

0

0

0

2

N0P2K2

0

131

248

3

N1P2K2

86

131

248

4

N2P0K2

173

0

248

5

N2P1K2

173

65

248

6

N2P2K2

173

131

248

7

N2P3K2

173

196

248

8

N2P2K0

173

131

0

9

N2P2K1

173

131

124

10

N2P2K3

173

131

372

11

N3P2K2

259

131

248

12

N1P1K2

86

65

248

13

N1P2K1

86

131

124

14

N2P1K1

173

65

124

注：

代码中下标为养分施用量水平，0水平即不施用，1水平养分施用量为2水平的一半，3水平为2水平的1.5倍

1、2、3水平分别表示低、中、高的养分值。

我们定3水平为充足稍过剩的养分水平，即氮肥259kg/ha，磷肥196kg/ha，钾肥372kg/ha。

同样原理制定生菜的增设试验组表如下

表1-3生菜增设实验数据表

编号

代码

N（kg/ha）

P（kg/ha）

K（kg/ha）

1

N0P0K0

0

0

0

2

N0P2K2

0

261

248

3

N1P2K2

75

261

248

4

N2P0K2

149

0

248

5

N2P1K2

149

130

248

6

N2P2K2

149

261

248

7

N2P3K2

149

391

248

8

N2P2K0

149

261

0

9

N2P2K1

149

261

124

10

N2P2K3

149

261

372

11

N3P2K2

224

261

248

12

N1P1K2

75

130

248

13

N1P2K1

75

261

124

14

N2P1K1

149

130

124