勾股定理题目类型总结.docx
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勾股定理题目类型总结
勾股定理题目类型总结
经典例题透析
类型一：
勾股定理的直接用法
1.如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在
中，
，
，
.求：
BC的长.
举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P.求证：
.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
类型三：
勾股定理的实际应用
4.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
5、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
【变式2】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=
AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
经典例题精类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【变式1】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
类型二：
勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？
平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
类型三：
数学思想方法
方程的思想方法
3.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求
、
、
的值。
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
类型一：
勾股定理的直接用法
答案∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12∴AC2=AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB=4∴AB的长是4.
类型二：
勾股定理的构造应用
思路点拨：
由条件
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于D，则有
，
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：
作
于D，则因
，
∴
（
的两个锐角互余）∴
（在
中，如果一个锐角等于
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在
中，
.根据勾股定理，在
中，
.∴
解析：
连结BM，根据勾股定理，在
中，
.
而在
中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵
（已知），
∴
.在
中，根据勾股定理有
，∴
.
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=
=
。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=
=
。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=
类型三：
勾股定理的实际应用
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：
OC＝1米（大门宽度一半），OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝
＝
＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：
设正方形的边长为1，
则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，
AB+BC+CD＝3
图（3）中，
在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，
则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝
及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得
（提问：
勾股定理）∴AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
，直角边为
和1的直角三角形斜边长就是
，类似地可作
。
作法：
如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角
。
斜边为
；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
，这样斜边
、
、
、
的长度就是
、
、
、
。
解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边，
，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
。
思路点拨：
要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。
∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。
∴a=3，b=4，c=5。
∵32+42=52,∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
【答案】：
连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:
a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【答案】答：
DE⊥EF。
证明：
设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
思路点拨：
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积解析：
设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝
×3x×4x＝6x2＝96
思路点拨：
首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：
此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：
n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
解析：
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：
b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。
例如：
对于选择D，
∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。
【答案】：
A
解：
连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
AB·BC+
AC·CD=36
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：
作AB⊥MN，垂足为B。
在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝
AP＝80。
（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100（m），
由勾股定理得：
BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,
∴CD＝120（m）。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
【答案】
（1）单位正三角形的高为
，面积是
。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积
。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，
，
，故
思路点拨：
由
，再找出
、
的关系即可求出
和
的值。
解：
在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则
，由勾股定理，得
。
因为
，所以
，
，
，
。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
解：
因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以
。
所以
。
设
，则
。
在Rt△ECF中，
，即
，解得
。
即EF的长为5cm。
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