）．
思维升华
（1）利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
设离散型随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：
（1）2X＋1的概率分布；
（2）|X－1|的概率分布．
题型二 离散型随机变量概率分布的求法
命题点1 与排列组合有关的概率分布的求法
例2 （2015·重庆改编）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的概率分布．
命题点2 与互斥事件有关的概率分布的求法
例3 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．
命题点3 与独立事件（或独立重复试验）有关的概率分布的求法
例4 （2014·安徽改编）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛结果相互独立．
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布．
思维升华 求离散型随机变量X的概率分布的步骤：
①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的概率分布．
求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
（1）4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．
①从中任取一支，求其标价X的概率分布；
②从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的概率分布．
（2）（2015·安徽改编）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
②已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：
元），求X的概率分布．
题型三 超几何分布
例5 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
.
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．
思维升华 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
（2015·天津改编）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布．
17．随机变量取值不全致误
典例 （14分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．
温馨提醒
（1）解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．
（2）此类问题还极易发生如下错误：
虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．
（3）避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.
[方法与技巧]
1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．
[失误与防范]
掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：
（1）概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
（2）要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误．
A组 专项基础训练
（时间：
40分钟）
1．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于
的是________．
2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P（ξ＝k）＝ak（k＝1,2，…，10），则a值为________．
3．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝
（n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（
）的值为____．
4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是______．
5．设离散型随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝|X－2|，则P（Y＝2）＝________.
6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：
对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得－1分）；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是________．
7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）＝________.
8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的概率分布．
B组 专项能力提升
（时间：
30分钟）
9．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________．
10.已知随机变量ξ只能取三个值：
x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为________．
12．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
（1）求取出的3个球中至少有1个红球的概率；
（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布．
13.已知甲箱中只放有x个红球与y个白球（x，y≥0，且x＋y＝6），乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球（球除颜色外，无其他区别）．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．
（1）记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；
（2）当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．
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