高二数学 43数系的扩充第一课时.docx

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高二数学43数系的扩充第一课时

2019-2020年高二数学4.3数系的扩充（第一课时）

从容说课

复数系的建立经历了一个漫长的过程.事实上,在德国数学家高斯首次引进“复数”这一名词,并把这类新数与坐标平面（他称之为复平面,后人也称之为高斯平面）内的点一一对应起来之前,欧洲的数学家们已对“虚数”及其几何意义进行了将近三百年的研究.“虚数”产生于解方程需要的实际背景应向学生交待,这是矛盾产生的结果,是数学内部发展的自身需要,也是其他科学发展的需要,揭示了数形结合思想在推动这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用;同时要告诉学生,将一个数集进行扩张,还要解决原有的运算律是否保持这样一个基本问题.

通过前几节的学习,学生已经知道在复数集内如何进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,并知道开方运算在复数集内总可以实施.作为复数知识的重要应用,应引导学生运用所学知识（共轭复数、加减法运算）证明“虚根成对定理”和一元二次方程的根与原数关系的推广——真正的“韦达定理”,并向学生指明复数广阔的应用领域和发展前景,着重培养学生热爱科学、追求科学、献身科学的精神.

第六课时

课　题

§4.3　数系的扩充

教学目标

一、教学知识点

1.复数集与实数集的关系,CRQZNN*.

2.实系数一元二次方程的根的问题及根与系数的关系.

二、能力训练要求

1.了解数系的建立发展的过程,学会尊重科学.

2.会运用求根公式及根与系数的关系解决有关问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生的探索与创新精神,学会尊重他人的辛勤劳动.

2.培养学生的科学文化素养,提高自身的素质（包括数学素质）,懂得数学与文化的关系.

教学重点

在复数集中解一元二次方程.

教学难点

复系数一元二次方程根的探索.

教学方法　

探索建构法:

在学生已经掌握复数的运算法则和实数一元二次方程的求解的基础上,逐步让学生主动建构出各数集之间的关系,探索出实系数一元二次方程在复数集中的求解公式、韦达定理,以及复系数一元二次方程的求解法.

教学过程

Ⅰ.复习导入

［师］我们已经学习了哪几类数?

［生］正整数、零、负整数、分数、无理数、虚数等等.

［师］那么这些数集之间有什么关系呢?

这些数又是在什么背景下产生的呢?

这一节课我们来研究:

数系的扩充（板书课题）.

Ⅱ.讲授新课

［师］数的概念是从实践中产生和发展起来的,早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中由于计数的需要,就产生了1、2、3、4、5、6等数的概念以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.

在自然数集中,加法、乘法运算总可以实施,它满足哪些运算律呢?

［生］加法与乘法满足交换律、结合律以及分配律.

［师］你们知道分数是怎样引入的吗?

［生］为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数.

［师］无论是分数的确切定义和科学表示,还是分数的算法,最早建立起来的都是中国,这是中国对世界数学的杰出贡献之一.如在成书于公元1世纪的《九章算术》中，已经有约分、通分及分数的四则运算等知识.由此可见,我们的民族在过去曾有过辉煌,我们深信将来会更辉煌.

引进了分数之后,分份和度量等问题以及两个自然数相除（除数不为0）的问题也就解决了,并且产生了小数.

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到了有理数集Q,显然,NQ.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集.

［生］（站起来抢过话题）负数的引进是中国古代数学家对数学的又一巨大贡献.

［师］回答得很好!

负数的概念引进后,整数集和有理数集就完整地形成了.但又遇到了新的挑战,在测量中,有些问题利用有理数的知识不能解决了,于是又要进行一次“数”的革命.

［生］这次革命中无理数诞生了.有些量与量的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.

［师］什么叫无理数?

［生］无理数就是无限不循环的小数.

［师］到这时,数集扩充到哪儿了?

［生］有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可以看作循环小数（包括整数、有限小数）,无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集.

［师］实数解决了开方开不尽的矛盾,在实数集中,不仅满足加法与乘法的运算律,而且加法、减法、乘法、除法（除数不为0）、乘方运算总可以实施.但是数集扩充到实数集R以后,像方程x2=-1,x2+x+1=0还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.这样,人们在解方程的过程中,为了满足负数开方的需要,又扩充到了复数,解决了原来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾.请问是怎样引入的呢?

［生］当时数学家们规定i2=-1,（-i）2=i2=-1,得到i与-i是-1的平方根,即方程x2=-1的平方根为i和-i.在这个规定下,实系数一元二次方程或高次方程都可以求解了.这样数i叫做虚数单位.

［师］你们能求出x2=a的平方根吗?

（a为实数）

［生甲］可以.x=±.

［生乙］不对.当a≥0时,x=±;但当a<0时,例如a=-2,就无意义了,应该是x=±.于是有当a≥0时,x=±;当a<0时,x=±.

［师］在复数集中,你们能求出x2+x+1=0的根吗?

［生］利用配方法求解.因为方程可化为,而的平方根为,所以,即.

［生］直接利用求根公式求解.先计算判别式Δ=1-4=-3,而-3的平方根为,所以.

［师］两位同学的解法都很好!

你们能把它推广到一般的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求解情况吗?

［生］可以,利用上述两种方法都是可以的.当Δ=b2-4ac≥0时,方程有两个实根;当b2-4ac<0时,b2-4ac的平方根为±,所以方程的两个根为.

如果用配方法求解是a（x2+x）=-c,即a（x+）2=-c+,

∴.

当b2-4ac≥0时,;

当b2-4ac<0时,,它的平方根为.

∴.

∴.

∴原方程在复数集C中,当b2-4ac<0时,有两个虚根,即.

［师］实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,且互为共轭.如果是高次的一元方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0,其中a0≠0,a0,a1,a2,…,an∈R,它的虚根会不会也是成对出现的呢?

［生］是的.根据我们的试验猜想应该成立.例如,x4-3x2-4=0有两个实根,也有两个虚根.

［师］这仅仅是一般情况,你能证明吗?

［生］利用共轭复数的性质来证明.设z是方程的一个虚根,则有

a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0.

对该等式两边同时取共轭有

a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0.

∴+++…++=0,

即+++…+an-1+an=0.（注:

因为a0,a1,a2,…,an∈R,故它们的共轭是实数）

∴是方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的又一个虚根.

∴方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的虚根是成对出现的.

［师］证明过程很简捷,这就是一个代数基本定理.

Ⅲ.例题精讲

［例1］在复数集C中解下列方程:

（1）x2-x+1=0;

（2）x4+5x2+4=0.

［生］第

（1）题,利用求根公式:

Δ=1-4=-3.

∴.

∴方程x2-x+1=0的两个根分别为,.

［生］第

（2）题,利用因式分解得（x2+1）（x2+4）=0,∴x2=-1,x2=-4.由x2=-1得x1.2=±i;由x2=-4得x3.4=±2i,

∴方程x2+5x+4=0的根为x1=i,x2=-i,x3=2i,x4=-2i.

［师］第

（2）题,先转化为二次方程,然后再求解.学会转化很重要.

［例2］在复数集C中解方程x2-2ix+2=0.

［生］这个方程不是实系数一元二次方法,但我们可以用配方法求解.x2-2ix+i2+3=0,即（x-i）2=-3.也就是（x-i）2=3i2,

∴x-i=±i,即x1=i+i,x2=i-i.

故方程的解为x1=（1+）i,x2=（1-）i.

［生］也可以直接利用求根公式求解.

∵Δ=（-2i）2-8=-12,而-12的平方根为±2i,

∴=（1±）i.

［师］本例题是复系数一元二次方程,两位同学都能利用转化思想求解,是很好的.

Ⅳ.课堂练习

1.在复数集中解下列方程:

（1）x2+2x+3=0;

（2）2x2-4x+5=0.

2.在复数集中解下列方程:

（1）x2+ix-1=0;

（2）x2-ix+1=0.

［师］请四位同学板演.

［生甲］1.

（1）∵Δ=4-12=-8,

∴-8的平方根为±2i.∴方程的解为x1.2=-1±i,即原方程的解为x1=-1+i,x2=-1-i.

［生乙］1.

（2）∵Δ=16-80=-64,

∴原方程的两根为2±4i.

［生丙］2.

（1）∵Δ=i2+4=3,

∴原方程的两根为.

［生丁］2.

（2）∵Δ=i2-4=-3,

∴原方程的两根为.

Ⅴ.课堂小结

［师］本节课我们主要是研究数系的扩充,从数的形成和发展来看,数的概念是随着社会的进步、生产和科技的发展,以及数学自身发展而形成和发展的,是人类智慧的结晶,也是人类战胜自我、战胜自然的产物.你们能给出复数的分类表吗?

［生］

Ⅴ.课后作业

课本Ｐ156习题4.3　1、2、3

板书设计

§4.3数系的扩充

一、数的形成与发展

N、Z、Q、R、C.

二、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

Δ≥0两个实根;

Δ<0,.

三、例题

1.

（1）x2-x+1=0;

（2）x4+5x2+4=0.

2.x2-2ix+2=0.

四、练习

1.

（1）x2+2x+3=0;

（2）2x2-4x+5=0.

2.

（1）x2+ix-1=0;

（2）x2-ix+1=0.

五、小结:

数系表.

2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系（备课资料）大纲人教版必修

一、参考例题

［例1］（xx年全国）两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（）

A.A1A2＋B1B2＝0B.A1A2－B1B2＝0

C.＝－1D.＝1

解：

当B1，B2都不为零时，k1＝－，k2＝－

k1·k2＝＝－1

∴A1A2＋B1B2＝0.

当B1＝0时，两直线垂直的充要条件是A2＝0，当B2＝0时，两直线垂直的充要条件是A1＝0，所以满足A1A2+B1B2＝0，故选A.

评述：

一定要注意A1，B1及A2，B2不能同时为零，也要注意斜率等于零与斜率不存在的两条直线互相垂直.

［例2］（1997年全国）如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a为（）

A.－3B.－6C.－D.

解：

若两直线平行，则

，解得a＝－6.故选B.

评述：

此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系.

二、参考练习题

1.若原点在直线l上的射影是点P（－2，1），则直线l的方程是（）

A.x＋2y＝0B.x＋2y－４＝0

C.2x－y＋5＝0D.2x＋y＋3＝0

解：

由已知，得kOP＝－，再由l⊥OP，所以kOP·kl＝－1.

∴k1＝2.

又直线l过点P（－2，1），所以l方程为：

y－1＝2（x＋2）

即2x－y＋5＝0.

故选C

2.若A（－４，2），B（6，－４），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论,正确的个数是（）

①AB∥CD②AB⊥CD③｜AC｜＝｜BD｜④AC⊥BD

A.1B.2C.3D.４

解：

∵kAB＝，

kCD＝.

∴AB方程为y－2＝－（x＋４）

即3x＋5y＋2＝0∴C（12，6）不在AB上.

∴AB∥CD

又∵kAD＝.

∴kAB·kAD＝－1

∴AB⊥AD.

∵｜AC｜＝

｜BD｜＝

∴｜AC｜＝｜BD｜

∵kAC＝

，

∴kAC·kBD＝－1

即AC⊥BD.

∴四个结论都正确，故选D.

评析：

此题属于数学中多选题型，需要逐一分析，主要考查学生对基本知识点、基本公式、基本方法的掌握情况.

3.求经过点（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线L的方程.

解法一：

设直线L的斜率为k

∵直线L与直线2x+y-10=0垂直，

∴k·（-2）=-1.∴k=.

又∵L经过点A（2，1），∴所求直线L的方程为y-1=（x-2）,即x-2y=0.

解法二：

设与直2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.

∵直线L的经过点A（2,1）,

∴2-2×1+m=0.∴m=0.

∴所求直线L的方程为x-2y=0.

●备课资料

参考例题

［例1］等腰直角三角形，斜边中点是M（４，2），一条直角边所在的直线方程是y＝2x，求另外两边所在的直线方程.

解：

设斜边所在直线AB斜率为k，斜边与直角边所夹角为45°.

所以tan４5°＝

解得k＝－3或k=，当k=-3时，斜边方程为y－2＝－3（x－４）即3x＋y－1４＝0

由

∴斜边上一个顶点为A（），另一个顶点B（），另一条直角边所在方程：

x＋2y－2＝0，当k＝时，同理可得另两边所在的直线方程：

x－3y＋2＝0，x＋2y－1４＝0.

［例2］光线从A（－3，４）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（－1，6）点，求BC所在直线的方程.

解：

如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为（a，0）.由入射角等于反射角，得∠1＝∠2，∠3＝∠４，

∴kAB＝－kBC

又kAB＝

∴kBC＝，∴BC的方程y－0＝（x－a）

即４x－（3＋a）y－４a＝0

令x＝0，解得C点坐标为（0，），则kDC＝

∵∠3＝∠４.

∴

解得a＝－，代入BC方程得

5x－2y＋7＝0.

另解：

由入射角等于反射角可知BC一定过点A关于x的对称点A＇（-3，-4）及D点关于y轴的对称D＇（1，6）.

由两点式得A＇D＇方程即BC方程5x－2y＋7＝0.

［例3］等腰三角形两腰所在的直线方程为7x－y－9＝0与x＋y－7＝0，它的底边所在直线通过点A（3，－８），求底边所在的直线方程.

解法一：

设l1：

7x－y－9＝0

l2：

x＋y－7＝0

直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，则底边所在的直线l到l1的角与l2到l1的角为等腰三角形两底角，故相等.于是有

即：

（其中k为所求直线斜率）

解得：

k＝－3或k＝.

∴所求直线方程为3x＋y－1＝0，或x－3y－27＝0.

解法二：

设顶角平分线的斜率为k，由已知kl1＝7，kl2＝－1，于是有

解得k＝或k＝－3

由平面几何知识知道，顶角的平分线与底边垂直，所以底边的斜率为－3和.

故所求直线方程为

3x＋y－1＝0，或x－3y－27＝0.

解法三：

设底边所在直线的方程为

y＋８＝k（x－3）.

即kx－y－3k－８＝0

由方程组

解得等腰三角形顶点B的坐标为（2，5）.

由方程组（k≠7）

解得底边一端点C的坐标为

（）.

由方程组

解得底边另一端点D的坐标为

（）.

由｜BC｜＝｜BD｜，得

解得k＝－3或k＝

故所求直线方程为：

3x＋y－1＝0或x－3y－27＝0.

●备课资料

一、两直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系与二元一次方程组的关系.

（1）若二元一次方程组有惟一解，即有惟一解，则l1，l2相交.

（2）若二元一次方程组无解，则l1∥l2.

（3）若二元一次方程组有无数个解，则直线l1与l2重合.

二、两直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0（其中A2，B2，C2全不为0）的位置关系与方程系数的关系：

（1）l1∥l2，

（2）l1，l2相交，

（3）l1，l2重合.

三、参考例题

［例1］两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－４＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是（）

A.（－6，2）B.（－，0）

C.（－，－）D.（，＋∞）

解法一：

解方程组

得交点为（－）

∵此点在第四象限

∴

∴－，故选C.

解法二：

如图，直线x＋2y－４＝0与x轴的交点是A（4，0），方程y＝kx＋2k＋1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x＋2y－４＝0平行的直线.

由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率kPB＜k＜kPA

而kPA＝－，kPB＝－，

所以－＜k＜－故选C.

评述：

有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会.

[例2]若a+b+c=0,求证直线ax+by+c=0必经过一个定点.

证明：

由a+b+c=0,且a、b不同时为0，设b≠0，则a=-（b+c）,

代入直线方程ax+by+c=0,

得（x-y）+（x-1）=0.

此方程可视为直线x-y=0与x-1=0交点的直线系方程.

解方程组

得x=1，y=1，即两直线交点为（1，1）.故直线ax+by+c=0过定点（1，1）.

●备课资料

一、参考例题

［例1］（1994年全国）点（0，5）到直线y＝2x的距离是（）

A.B.C.D.

解：

直线方程化为2x－y＝0，由点到直线距离公式可得

d＝.选B.

［例2］（1992年全国文）原点关于直线８x＋6y＝25的对称点坐标是（）

A.（2，）B.（）C.（3，４）D.（４，3）

解法一：

取各点横纵坐标一半代入已知直线方程检验，D符合.

解法二：

设对称点坐标P（x0，y0），则PO中点坐标符合已知直线方程，且kPO·（－）＝－1，

即

，解得P（４，3）.选D

二、参考练习题

1．已知一直线l被两平行线3x＋４y－7＝0和3x＋４y＋８＝0所截线段长为3，且l过点（2，3），求l的方程.

解：

若l斜率不存在，则与题意不符；设直线的斜率为k，直线l的方程为：

kx－y＋3－2k＝0

由已知两条平行线间的距离为＝3，而l与此两条平行线所截线段长为3，设l与两平行线的夹角为α，则ｔaｎα＝1，两平行线斜率为－.

概括两条直线的夹角公式：

＝1

解得k1＝，k2＝－7.

所以直线l的方程是

x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0.

2．在直线x－3y－2＝0上求两点，使它与点（－2，2）构成等边三角形的三个顶点.

解法一：

点（－2，2）到直线x－3y－2的距离为d＝，即等边三角形的高为.

由此得等边三角形的边长为.

若设此三角形在直线x－3y－2＝0上的顶点坐标为（x0，y0），则x0＝3y0＋2，所以其坐标为（3y0＋2，y0）

于是有［3y0＋2－（－2）］2＋（y0－2）2＝（）2.

整理得（y0＋1）2＝.

∴y0＝－1±，x0＝－1±

故两点为（-1+，-1+）和（－1－，－1－）.

解法二：

设过点（－2，2）的一条边所在直线的斜率为k.

因为等边三角形的内角为60°，所以三条边中每两条边的夹角都为60°，于是

tan60°＝

即.

解得k＝或k＝.

当k＝时，这条边所在直线方程为：

y－2＝（x＋2），

解方程组

解得x＝－1－，y＝－1－.

同理，当k＝时，可求得另一顶点为

（－1＋，－1＋）.

故两点为（－1＋，－1＋）和（－1－，－1－）

备课资料

一、直线系的概念

一般地．具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方

程，直线系方程中除含变量x、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参

变量．简称参数．

由于参数取向不同，就得不同的直线系．

二、几种常见的直线系

（1）过定点的直线系

①直线y=kx+b（其中k为参数，b为常数）

它表示过定点（O，b）的直线系,但不包括y轴（即x=0）．

②经过定点M（x0，y0）的直线系

y-y0=k（x-x0）（k为参数）

它表示经过定点（x0、y0）的直线系，但不包括平行y轴的那一条（即x=x0）．

（2）已知斜率的直线系

①y=kx+b（k为常数,b为参数）

它表示斜率为k的平行直线系．

②若已知直线L：

Ax+By+C=0．与L平行的直线系为Ax+By+m=0,（m为参数且m≠c）.

③若已知直线L：

Ax+By+C=O,与L垂直的直线系为Bx-Ay+n=O（n为参数）．

（3）经过两条直线交点的直线系

①经过两直线Ll：

A1x+Bly+C1=O（Al2+Bl2≠O）与L2：

A2x+B2y+C2=O（A22+B22≠O）交点的直线系为m（Alx+B1y+C1）+n（A2x+B2y+C2）=0（其中m、n为参数，m2+n2≠O）．

当m=1,n=O时，方程即为L1的方程；

当m=O,n=1时,方程即为L2的方程．

②上面的直线系可改写成（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=O（其中λ为参数），但是，方程中不包括直线L2，这个参数方程形式在解题中较为常用．

三、常见的点关于直线的对称点有

①A（a,b）关于x轴的对称点为A＇（a，-b）；

②B（a,b）关于y轴的对称点为B＇（-a．b）；

③C（a，b）关于直线y=x的对称点为C＇（b,a）；

④D（a,b）关于直线y=-x的对称点为D＇（-b,-a）;

⑤P（a,b）关于直线x=m的对称点为P＇（2m-a,b）；

⑥Q（a,b）关于直线．y=n的对称点为Q＇（a,2n-b）;

⑦点E（a,b）关于直线L：

Ax+By+C=O的对称点E＇的求法：

令E＇（x0、y0）,则有

解此方程组．可得对称点E＇的坐标．

四、常见的直线关于直线的对称直线有

设直线L：

Ax+By+C=O

①L关于x轴的对称的直线是Ax+B（-y）+C=O；

②L关于y轴的对称的直线是A（-x）+By+C=0;

③L关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=O;

④L关于直线y=-x对称的直线A（-y）+B（-x）+C=O．

五、针对高考试题特点．对于本节内容应注意的问题

1．认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题．

2．认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法．即：

1°点关于点的对称问题；2°直线关于点的对称问题；3°点关于直线的对称问题；4°直线关于直线的对称问题．

3．在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想．

4．平面解析几何的核心是坐标法。

它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显．

5．两条直线的位置关系是解析几何的基础。

同时本部分内容所涉及的“数形结合”对

称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法．因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活．

6．在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。

多以选择题、填空题

形式出