专题03 一线三垂直模型构造全等三角形学生版.docx

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专题03一线三垂直模型构造全等三角形学生版

专题03一线三垂直模型构造全等三角形

模型：

三垂直全等模型

如图：

∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.

结论：

Rt△BCD≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

模型实例

例题1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：

AB＋CD＝BC.

例题2如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？

例题3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

巩固提升

1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：

（1）AE＝BF；

（2）AE⊥BF.

2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.

3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BP

（1）求证：

EF＝CF－BE；

（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？

画图并直接写出你的结论.

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

（1）当α＝45°时，求△EAD的面积；

（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；

（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？

若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.

5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P.求证：

BC＝2AP.

课后练习

一、解答题

1．在

中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：

DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：

DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？

请你直接写出这个数量关系，不要证明．

2．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：

（1）求证：

△ADC≌△CEB；

（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）

3．已知，A（-1，0）．

（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

①求C点的坐标；

②在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？

若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（2）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，设M（a，b），求a-b的值．

4．公路上，

，

两站相距

千米，

、

为两所学校，

于点

，

于点

，如图，已知

千米，现在要在公路

上建一报亭

，使得

、

两所学校到

的距离相等，且

，问：

应建在距离

站多远处？

学校

到公路的距离是多少千米？

5．如图所示，在

和

中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．

（1）求证：

BC=BD；

（2）若BD=10厘米，求AC的长．