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4年级书人课程教材

第1讲速算与巧算

（一）

计算能力是学习数学必备的重要能力，计算时，如果我们运用科学的方法，便能做到快速、巧妙、准确，这样既节省了时间，又提高了正确率，还能提高分析问题的能力，促进智力的发展。

本讲主要介绍整数加、减计算中速算与巧算的技巧。

整数计算不仅要正确掌握四则运算的法则与运算的顺序，更重要的是要掌握整数的运算技巧，即应用运算性质或某些公式使计算简便。

这就要求我们在整数计算时，要细心观察并抓住题目的特征，通过分析找到尽可能简便的算法。

例1简便运算。

（1）36+38+64

（2）124+568+876+432

（3）56+45

（4）539+67-139

（5）9999+999+99+9

考级模拟简便运算。

（1）79+27+21

（2）234+276-134+224

（3）998+5+99+9

例2书人学校四年级共有8个班，各班人数分别为53、49、51、52、48、50、53和47，求四年级的总人数。

考级模拟幸福老年公寓有6个老人，他们的年龄分别为83、78、84、86、76和79岁，求这6个老人的平均年龄。

例3简便运算。

（1）538-（138-27）

（2）473-256+156

（3）147-（58+47）

（4）463-73-163

（5）357-98-103

者级模拟

（1）1742-（742-125）

（2）2983-3755+1755

（3）2536-（558+536）

（4）989-271-529

（5）542-39-58

例4简便运算。

（1）263-46+137-154

（2）236-234-98+134

考级模拟简便计算。

（1）277-128-72+123

（2）234-（129-66）-71

例5简便运算。

1+2+…+8+9+10+9+8+…+2+1

考级模拟100-99+98-97+96-95+…+4-3+2-1

凑整法是整数加、减法简便运算中基本的，也是重要的方法。

要使用好凑整法，除了要熟练掌握加法的运算律和运算性质外，计算时还要认真审题、细心观察算式的特征，这样才能根据特征选择运用运算定律、性质，运用拆分、找基准数等方法，使计算简便、准确。

（1+2+3+…+2007+2008+2007+…+3+2+1）÷2008

简便计算。

1．36+53+64

2．151+272+49+28

3．998+201

4．765-568+268

5．9996+997+99+8

6．2273-（273+600）

7．1611-（611-321）

8．2011-538-462

9．2300-60-156-40-44

10．88+93+90+92+86+85+95+92

简便计算。

1．1638-（500+638）

2．2743-（743-345）

3．987-178-222-390

4．100+99-98+97-96+…+3-2+1

5．（1+2+3+…+2009+2010+2011+2010+2009+…+3+2+1）÷2011

第2讲速算与巧算

（二）

本讲主要介绍整数乘法、除法计算中速算与巧算的技巧。

乘、除法的巧算主要是根据乘法的运算定律和乘、除法的运算性质，对算式中的数进行拆分、组合等变形，使算式中的因数（或被除数、除数）转化成整百、整千的数，从而使计算简便。

例1简便运算。

（1）12×25

（2）125×64×5×25

（3）9000÷125

考级模拟简便计算。

（1）44×25

（2）32×125×25

例2简便运算。

（1）102×25

（2）58×99

（3）36×43+43×64

考级模拟简便运算。

（1）15×198

（2）78×679—78×579

（3）69×87—69×21+34×69

例3简便运算。

（1）2100÷25÷4

（2）375÷（3×25）

（3）2200÷88×8

（4）4022×50÷2011

（5）210÷15+240÷15

考级模拟简便运算。

（1）7000÷8÷125

（2）2100÷（25×7）

（3）2700÷36×4

（4）369×201÷123

（5）76÷13+54÷13

例4简便运算。

（1）9999×7777+3333×6666

（2）1999+999×999

考级模拟简便计算。

（1）999×222+333×334

（2）2011×2009-2012×2008

例51234+2341+3412+4123

考级模拟12345+23451+34512+45123+51234

要使计算简便，就需要仔细观察，抓住算式的特征，根据特征恰当地运用运算定律、运算性质。

在计算的过程中可以对已知数进行适当的变形、转化，为运用定律、性质进行简便计算“创造”合适的条件。

12345678987654321×9

简便计算。

1．88×125

2．125×32×5

3．900÷25

4．720÷（90÷125）

5．2000÷2÷4÷5÷25

6．（1000-100-10）÷10

7．16÷7+18÷7+22÷7

8．164×50÷82

9．860×5+86+49×86

10．43×28+23×28+66×39+33×66

简便计算。

1．125×72

2．248÷96×24

3．9999×1111+3333×6667

4．2345+3452+4523+5234

5．12345678987654321×63

第3讲等差数列求和

（一）

德国数学家高斯小时候能很快地准确算出1～100的和为5050，令同学称奇，你想知道他是用什么方法求出来的吗?

这一讲我们就来学习巧求等差数列和的方法。

我们观察下面几组数列：

（1）1、2、3、4、5、6…99、100

（2）1、3、5、7、9…97、99

（3）4、12、20、28…796、804

像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列。

数列中的每一个数称为一项。

第一项称为首项，最后一项称为末项，有多少项称为项数。

通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

末项=首项+公差×（项数-1）

首项=末项一公差×（项数-1）

例11+2+3+4+5+6+…+100

考级模拟2+4+6+8+10+…+100

例2求数列5、8、11、14……中的第33项是多少?

考级模拟求末项为2011，公差为5，项数为201项的等差数列的首项。

例3求首项是4，公差是4的等差数列前25项的和。

考级模拟求公差为3，末项为210，共31项的等差数列之和。

例4有一堆粗细均匀的圆木，堆成右图

的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一

根，共堆了25层。

问：

这堆圆木共有多少根?

考级模拟用3根等长的火柴棒摆成一个等边三角形，用这样的等边三角

形，按照下图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放

10根火柴，那么这个大的等边三角形中，一共要放多少根火柴?

例5盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球拿出，变成

4只球放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成4只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成4只球后放回到盒

子里。

这时盒子里共有多少只球?

考级模拟时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该时刻的时钟钟面数，每

半点也敲一下。

求时钟一昼夜总共敲打多少次?

等差数列求和需要知道首项、末项和项数，为此，解题的关键是根据题意找出

相关的条件。

对于某些题目要注意审题、分析，找出隐含的数列的排列规律，再运

用已知的公式进行解答。

（2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011）÷2008

1．1+2+3+…+99

2．1+3+5+7+…+99

3．2+4+6+…+100

4．101+102+103+…+198+199

5．求首项是5，公差是3的等差数列的第25项是多少?

6．一个等差数列有30项，公差为4，末项为150，求这个数列的首项。

7．求首项是6，公差是5的等差数列的前30项的和。

8．一个数列有21项，公差为6，末项为200，求这个数列的和。

9．有10个朋友聚会，见面时如果每个人都和其他9个人各握一次手，那么

10个人共握手多少次?

10．小强学习英语单词，第一天记了5个单词，以后每一天都比前一天多记4

个，那么在一个星期中他总共记了多少个英语单词?

1．2011-1-2-3-4-…-26-27-28

2．下图是一个堆放铅笔的V形笔架，如果V形笔架上一共有28层笔，那么

这个笔架上共有多少支铅笔?

3．（1+3+5+…+99）-（2+4+6+…+98）

4．某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。

问：

这个剧院一共有多少个座位?

5．（2007+2008+2009+2010+2011+2012+2013+2014+2015）÷2011

第4讲等差数列求和

（二）

通过上一讲的学习，我们已经掌握了等差数列求和、求末项的方法。

这一讲

中，我们将探索如何求等差数列的项数和公差，并综合运用已掌握的公式，解决与

等差数列相关的问题。

项数=（末项-首项）÷公差+1

公差=（末项-首项）÷（项数-1）

例17+11+…+99+103+107

考级模拟l+4+7+10+…+97

例2求所有被3除余数是2的两位数的和。

考级模拟求所有除以5余3的两位数的和。

例3在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

写出插

入的5个数。

考级模拟在13和90之间插入6个数，使这8个数构成一个等差数列。

写

出插入的6个数。

例415个连续偶数的和是2010，其中最大的偶数是多少?

考级模拟12个连续偶数的和是228，其中最大的一个偶数是几?

例51～50中所有不能被5或7整除的数的和是多少?

考级模拟在1～60这60个数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少?

解答与等差数列有关的问题，关键是要认真审题，正确找出满足条件的数列，

分析要深入、细致，不要因为多算一项或者少算一项而导致结果的错误。

计算：

123+234+345+456+567+678+789

1．在数列2、5、8、11、14……中，47应该是其中的第几项?

2．3+8+13+18+…+88

3．10+16+22+…+70

4．41+48+55+…+76

5．所有除以3余l的两位数的和是多少?

6．在8和53之间插入4个数，使这6个数构成一个等差数列。

写出插入的

4个数。

7．在1～60这么多个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?

8．在北京与上海之间开行的火车，除起点和终点外，还要停靠8个火车站，

问一共要准备多少种火车票?

9．15个连续奇数的和为1995，其中最小的奇数是多少?

10．求首项是13，公差是5的等差数列的前60项的和。

1．有从小到大的一列数，共有20项，末项为2011，公差为5，这个数列的和是

多少?

2．求所有被4除余3的两位数的和。

3．学校进行围棋选拔赛，每个参赛选手都要和其他选手赛一场，一共进行了

66场比赛，有多少人参加了选拔赛?

4．求1～99这一组连续自然数的所有数字的和。

5．1234+2345+3456+4567+5678+6789+7900

第五讲定义新运算

知识要点：

对于+、-、×、÷四则运算，我们已经熟知它们的运算规则和计算方法，还学会了四则混合运算，以及速算与巧算。

这一讲我们要学习一种新的运算。

所谓新运算就是对一些新的运算符号来自主定义或规定一种运算规则，然后按照这一规则进行计算。

例一：

“○”表示一种新的运算，它是这样定义的：

aОb=3×a-2×b

（1）求3○2,2○3:

；

（2）对于新运算“○”有交换律吗？

（3）求（9○7）○5,9○（7○5）

（4）对于新运算“○”有结合律吗？

考级模拟1：

如果规定a※b=13×a-b÷8,那么17※24的最后结果是_____。

例二：

对于数x、y定义⊙及Δ运算如下：

x⊙y=3×x┼2×y,xΔy=3×x×y.求（2⊙3）Δ4的值。

考级模拟2：

x,y表示两个数，规定新运算“※”及“○”如下：

x※y=5x┼4y,x○y=6xy.求（3※4）○5的值。

例三：

规定：

4※3=4×5×6,2※3=2×3×4,1※5=1×2×3×4×5。

求3※5的值。

考级模拟3：

观察5※2=5┼55=60,7※4=7┼77┼777┼7777=8638,推知9※5的值是_______.

例四如果1※2=1+2,2※3=2+3+4,…5※6=5+6+7+8+9+10。

那么x※3=54中，求x的值。

考级模拟4：

设x,y为两个不同的数，规定x□y=（x+y）÷4。

求a□16=10中a的值。

例五定义x☆y=a×x+y,并且已知3☆5=5☆3，求a是几？

考级模拟5规定a⊙b=3a-2b,已知x⊙（4⊙1）=7，求x的值。

总结归纳：

定义新运算中，所引用的运算符号是人为的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中有特定的意义，是“临时性”的运算形式，在解答特定的题目之后，就失去了原有的意义，不能把这种规定用于其他情况。

新定义的算式中，如果含有括号，要先算括号里面的，后算括号外面的。

奥赛点击

两个正整数♀、♂满足♀=♂×♂+2×♂┼1。

例如♂=3时,♀=3×3+2×3+1=16。

那么，当♀=36时，♂=________。

自我检测一

1.如果a&b=a+b÷10，那么2＆5=_________。

2.设a、b表示两个不同的数，规定a▲b=4×a-3×b,求（4▲3）▲2。

3.定义运算“⊙”为x⊙y=2xy-（x+y）,求12⊙（3⊙4）。

4.设a、b表示两个不同的数，规定a⊕b=5×a+3×b,如果已知6⊕b=72,求b的值。

5.定义新的运算a*b=a×b+a-b,求（2*3）*4.

6.已知2◎4=10,5◎3=18,3◎5=14,9◎7=34，求8◎2.

7.规定x⊙y=（x+2）×（y-4）,求4⊙（5⊙6）的值。

8.设x、y为两个不同的数，规定x◇y=2xy,已知a◇8=320,求a的值。

9.对于数x、y定义运算⊙及△如下：

x⊙y=4×x+3×y,x△y=5xy.

求（5⊙6）△7.

10.如果a◎b=a×b+a+b,（a◎2）◎1=29,求a的值。

自我检查二

1.设x、y表示两个不同的数，规定新运算“⊙”及“⊕”如下：

x⊙y=5×x+4×y,x⊕y=6×x×y.求（3⊙4）⊕5.

2.如果a○b表示“当a大于b时用2a减去b，当a小于b时用2b减去a”

求（6○9）○（10○5）。

3.规定a▽b=（a+b）÷5,9▽x=40.求x的值。

4.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1）,（a、b均为自然数，b>a）

如果x△10=65，求x的值。

5.设两个正整数x、y满足y=x×x+x+9,例如x=2时，y=2×2+2+9=15，那么当y=39时，求x的值。

单元测试一

（1~10每题6分，11~15每题8分，满分100分）

1.简便计算

（1）337—（169+137）

（2）579—263—237

（3）9+99+999+9999（4）500—653+253

2.简便计算

（1）5×64×25×125

（2）1000÷（125÷8）

（3）900÷25（4）125×36×16

3.110+111+112+···+126（第四届“走进美秒数学花园”四年级试题）

4.1—3+5—7+9—11+···—207+209

5.1~120之间能被9整除的所有自然数的和是多少？

6.在等差数列1、5、9、13、17···401中，401是第几项？

第50项是多少？

7.规定a*b=a×b—（a+b），求（5*3）*2。

8.对于整数a、b，规定a□b=a×b+6，又知8□x=70.求x的值。

9.有一个运算符号“⊙”使下列算式成立：

2⊙4=12,5⊙3=16,3⊙5=16,9⊙7=32，求10⊙9的值。

10.一个七层书架房了777本书，每一层比它的下一层少7本书。

问最上面一层房了几本书？

11.

（1）19+199+1999+19999+199999（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题）

（2）1000001×999999（第六届“走进美秒数学花园”四年级初赛试题）

12.

（1）251×4+（753—251）×2（第六届“走进美秒数学花园”四年级决赛试题）

（2）20092009×2008—20082008×2009（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级试题）

13.2008×2007-2007×2006+2006×2005-2005×2004+···+2×1

14.有一个六边形点阵（如下图），它的中心是一个点，看做第1层，第2层每边2个点，第3层每边3个点······这个六边形点阵共20层。

问这个点阵共有多少个点？

15.规定x*y=a×x+y,且5*7=7*5，求8*（9*10）

第六讲和差问题

知识要点：

和差问题是已知两个数的和与两个数的差，求这两个数各是多少的应用题。

和差问题分为两数相等与两数不相等两种情况：

如果两数相等，它们的和是一个数的2倍，差是0，那么这两个数都等于“和÷2”。

如果两个数不相等（一个数较大，叫做大数；一个数较小，叫做小数），那么我们就得想办法让它们变成“相等的数”，也就是可以把大、小两个数转化成两个大数或者两个小数，通常用假设的思维方法，可以选择大数或者小数作为标准数，先求大数后求小数或者先求小数后求大数。

和差问题的基本数量关系式是：

大数=（和+差）÷2小数=（和-差）÷2

大数=小数+差小数=大数-差

大数=和-小数小数=和-大数

对于较复杂的和差应用题，必须弄清大、小两个数的和与差（通常是暗藏的）。

例一书人学校四年级

（1）班共有学生48人，其中男生比女生多4人，问该班男、女生各有多少人？

考级模拟1养鸡场有公鸡和母鸡共366只，已知母鸡比公鸡多58只。

问母鸡和公鸡各有多少只？

例二把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。

这个长方形的长和宽各是多少厘米？

考级模拟2小强期中考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了多少分？

例三妈妈买来水果糖和牛奶糖共468克，如果吃掉水果糖25克和牛奶糖15克，那么剩下的两种糖的重量相等。

问妈妈买来的水果糖和牛奶糖各多少克？

考级模拟3甲乙两只大游轮共载客623人。

若甲游轮增加34人，乙游轮减少57人，这时两只大游轮乘客一样多，问甲游轮原有乘客多少人？

例四姐、弟两人共有40块糖，姐姐给了弟弟8块后，姐姐的糖块数与弟弟的糖块数一样多，求原先姐、弟两人各有多少块糖？

考级模拟4两堆煤共有1440吨，如果从第一堆运送120吨到第二堆，那么两堆煤的吨数一样多，问两堆煤原来各有多少吨？

例五一个大仓库的两个货位上共有120箱货物，如果从第一个货位上取走10箱货物，在第二个货位上放入20箱货物，那么第一个货位上还比第二个货位上多6箱货物，问两个货位上原来各有多少箱货物？

考级模拟5姐、弟两人共有28块糖果，姐姐给弟弟5块糖后，姐姐的糖块数比弟弟少了2块，问姐、弟两人原先各有多少块糖？

总结归纳

和差问题的结构特点是：

“已知两个数的和与差，求这两个数分别是多少”。

我们首先需要找到“和”与“差”，有些复杂的应用题没有直接给出和与差，但我们可以通过转化求出它们的和与差，尤其值得我们注意的是，我们经常需要运用画出线段示意图的方法来逐步揭开“暗差”的面纱。

在此基础上，解答和差问题的关键是选择适当的数作为标准，并设法把若干部不相等的数变为相等的数。

奥赛点击

小强今年11岁，小军今年17岁，当两人的年龄和是38岁时，小强多少岁？

自我检测一

•两个数的和为36，差为22，则较大的数为________，较小的数为________。

•在一个减法算式里，被减数、减数与差三个数的和是388，减数比差大16，则减数等于________。

•两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克，那么第一筐水果重______千克。

•某工厂去年与今年的平均产值为92万元，今年比去年多10万元。

今年的产值____万元，去年的产值_______万元。

•一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是8，两个数字之差是2，这个两位数是______。

•两个自然数的和与这两个自然数的差的积是85，这两个自然数分别是_____和_______。

•养鸡场有公鸡和母鸡共366只，已知母鸡比公鸡多58只。

这个养鸡场有母鸡_____只，公鸡________只。

•小明每天早晨沿长和宽相差40米的长方形操场跑步，每天跑2圈，共跑1000米，这个操场的长是_____米，宽是_____米。

•甲、乙两桶水共重40千克，从甲桶中倒出6千克水，那么两桶水的重量正好相等。

原来甲桶中水重_____千克。

•甲、乙两桶油共重75千克，从甲桶中倒出5千克给乙桶，甲桶还比乙桶多7千克，原来甲桶装有油________千克。

、

自我检测二

•我国自行设计施工的现代化桥梁——南京长江大桥，共分两层：

上层是公路桥，下层是铁路桥，公路桥和铁路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，求南京长江大桥的公路桥和铁路桥各多少米？

•纺织厂第一车间和第二车间共有工人48人，如果从第一车间调出8人到第二车间，第一车间的人数比第二车间还多2人，两个车间原来各有多少人？

•小强用270元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋子。

外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元。

小强买这双鞋花了多少钱？

•一套连环画分上、中、下三册，上册比中册贵5角，中册比下册贵8角，买4套连环画共花60元，你知道每套连环画上、中、下册各多少元吗？

•由四个完全相同的长方形和一个小