江苏专用版高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理教师用书理苏教版.docx

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第十章计数原理10.3二项式定理教师用书理苏教版

1．二项式定理

二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N*）

二项展开式

的通项公式

Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项

二项式系数

二项展开式中各项的系数C（r∈{0,1,2，…，n}）

2.二项式系数的性质

（1）C＝1，C＝1.

C＝C＋C.

（2）C＝C.

（3）当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以n和n（两者相等）最大．

（4）C＋C＋…＋C＝2n.

【知识拓展】

二项展开式形式上的特点

（1）项数为n＋1.

（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

（4）二项式的系数从C，C，一直到C，C.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）Can－rbr是二项展开式的第r项．（　×　）

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（　×　）

（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（　√　）

（4）在（1－x）9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．（　×　）

（5）若（3x－1）7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.（　×　）

1．（教材改编）（x－y）n的二项展开式中，第m项的系数是________．

答案　（－1）m－1C

解析　（x－y）n展开式中第m项的系数为

C（－1）m－1.

2．（2016·四川改编）设i为虚数单位，则（x＋i）6的展开式中含x4的项为__________．

答案　－15x4

解析　由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.

3．（2016·徐州模拟）已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝________.

答案　63

解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝（1＋2）n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，

所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.

4．（2016·苏州模拟）（1＋x）8（1＋y）4的展开式中x2y2的系数是________．

答案　168

解析　∵（1＋x）8的通项为Cxr，（1＋y）4的通项为Cyt，∴（1＋x）8（1＋y）4的通项为CCxryt，令r＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.

题型一　二项展开式

命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数

例1　

（1）（2016·全国乙卷）（2x＋）5的展开式中，x3的系数是______________．（用数字填写答案）

（2）（2015·课标全国Ⅰ改编）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为________．

答案　

（1）10　

（2）30

解析　

（1）（2x＋）5展开式的通项公式Tr＋1＝C（2x）5－r·（）r＝C25－r，r∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得r＝4，得T5＝C25－4＝10x3，∴x3的系数是10.

（2）方法一　利用二项展开式的通项公式求解．

（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C（x2＋x）3·y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.

方法二　利用组合知识求解．

（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.

命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数

例2　

（1）（2015·课标全国Ⅱ）（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

（2）（2016·山东）若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.

答案　

（1）3　

（2）－2

解析　

（1）设（a＋x）（1＋x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16（a＋1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16（a＋1）＝2（a1＋a3＋a5），

即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8（a＋1），所以8（a＋1）＝32，解得a＝3.

（2）∵Tr＋1＝C（ax2）5－rr＝a5－rC，

∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.

思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数r＋1，代回通项公式即可．

（1）（2016·连云港模拟）（＋x）（1－）4的展开式中x的系数是________．

（2）（x＋a）10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.（用数字填写答案）

答案　

（1）3　

（2）

解析　

（1）（1－）4展开式的通项公式Tr＋1＝C（－）r＝（－1）rC，（＋x）（1－）4的展开式中含x的项为·（－1）4Cx2＋x·（－1）0C＝·x2＋x·1＝3x，故系数是3.

（2）设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，

∴r＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，

∴a3＝，∴a＝.

题型二　二项式系数的和或各项系数的和的问题

例3　在（2x－3y）10的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

解　设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，（*）

各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.

由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

（1）二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.

（2）令x＝y＝1，各项系数和为（2－3）10＝（－1）10＝1.

（3）奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，

偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.

（4）令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1（或x＝－1，y＝1），

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510，

∴奇数项系数和为；

①－②得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510，

∴偶数项系数和为.

（5）x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；

x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.

思维升华　

（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（2）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

（1）（2017·淮安月考）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.

答案　6

解析　由题意得a＝C，b＝C，

∴13C＝7C，

∴＝，

∴＝13，解得m＝6，

经检验符合题意．

（2）若（1－2x）2016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016x2016，则＋＋…＋的结果是多少？

解　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.

当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，

∴0＝1＋＋＋…＋.

即＋＋…＋＝－1.

题型三　二项式定理的应用

例4　

（1）设a∈Z且0≤a＜13，若512016＋a能被13整除，则a＝________.

（2）1.028的近似值是________．（精确到小数点后三位）

答案　

（1）12　

（2）1.172

解析　

（1）512016＋a＝（52－1）2016＋a＝C·522016－C·522015＋…＋C×52·（－1）2015＋C·（－1）2016＋a，

∵C·522016－C·522015＋…＋C×52·（－1）2015能被13整除且512016＋a能被13整除，

∴C·（－1）2016＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.

（2）1.028＝（1＋0.02）8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.

思维升华　

（1）整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．

（2）二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．

（1）1－90C＋902C－903C＋…＋（－1）r90rC＋…＋9010C除以88的余数是________．

答案　1

解析　1－90C＋902C－903C＋…＋（－1）r90rC＋…＋9010C＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10

＝8810＋C889＋…＋C88＋1，

∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

（2）已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值．

解　原式＝4·6n＋5n－a＝4（5＋1）n＋5n－a

＝4（C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C）＋5n－a

＝4（C5n＋C5n－1＋…＋C52）＋25n＋4－a，

显然正整数a的最小值为4.

13．二项展开式的系数与二项式系数

典例　

（1）（2016·江苏镇江中学质检）若（－）n展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中含x项的系数为________．

（2）已知（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.

错解展示

解析　

（1）（＋）n展开式中，令x＝1可得4n＝1024，∴n＝5，∴（－）n展开式的通项Tr＋1＝（－3）r·C·，令＝1，得r＝1.

故展开式中含x项的系数为C＝5.

（2）a1＋a2＋…＋a7＝C＋C＋…＋C＝27－1.

答案　

（1）5　

（2）27－1

现场纠错

解析　

（1）在（＋）n的展开式中，令x＝1，

可得（－）n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1024＝210，∴n＝5.

故（－）5展开式的通项为

Tr＋1＝（－3）r·C·，

令＝1，得r＝1，

故展开式中含x项的系数为－15.

（2）∵（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，

令x＝0，∴a0＝（－m）7.

又∵展开式中x4的系数是－35，∴C·（－m）3＝－35，

∴m＝1.∴a0＝（－m）7＝－1.

在（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，

令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，

即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.

答案　

（1）－15　

（2）1

纠错心得　和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.

1．在