苏教数学必修三课件第1章11算法的含义.docx

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苏教数学必修三课件第1章11算法的含义

第1章算法初步

1.1算法的含义

学习目标

核心素养

1.通过实例体会算法的思想，了解算法的含义.（难点）

2.能按步骤用自然语言写岀简单问题的算法过程.（重点\难点）

3.了解算法的主要特点（有限性和确定性）.（难点、易混点）

1.通过书写算法提升学生的逻辑推理素养.

2•借助解决实际问题的算法练习，培养学生的数学建模素养.

1^嘗l知

匚新知初探V

1.算法的概念

一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法.

广义地说，为解决某一问题而采取的方法和步骤，我们都可以称之为算法，不要认为只有“计算”才有算法.例如：

广播操图解是广播操的算法，菜谱是做菜的算法，歌谱是一首歌曲的算法，空调说明马是空调使用的算法.

我们过去学习的许多数学公式都是算法，力口、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法.

2.算法的特征

⑴有限性:

一个算法的步骡序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

（2）确定性：

算法中的每一步应该是色邑的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可.

（3）顺序性与正确性:

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的遁土步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完

成问题.

⑷不唯-性：

求解某一问题的算法不一定是的，对于同_个问题可以有化的算法.

（5）普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如

心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

3.算法的设计要求

⑴确定性和有限性是算法的两个重要特征,我们在写算法时,一定要注煮满足这两个特征.

（2）虽然解决一个问题的算法不是唯一的，但不同的算法有繁有简，因此在设计一个算法时，应本着简捷方便的原则进行.

（3）要保证算法正确，且能够被计算机执行.

1.下面的语句正确的是（）

1算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义;

2一个算法可以无止境地运算下去；

3完成一件事情的算法有且只有一种；

4设计算法要本着简单、方便的原则.

A.①②B.③④

C.①④D.②④

c[算法的步骤必须明确，其中不能含有模糊不清、让人误解的叙述，所以①正确；-个算法必须在执行有限步之后结束，且每一步都应在有限时间内完成，所以②错误；由于求解某-类问题的算法不是唯-的，所以③错误；算法设计要尽量简单，步骤应尽量少，所以④正确•]

2・下列语句是算法的有•（填序号）

①解方程2x-6=0的过程是移项和系数化为1；

2从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机;

3解方程2x2+i—1=0；

④利用公式计算半径为3的圆的面积就是计算兀X32.

①②④[根据算法的含义知①②④都是算法，而③只是一个纯数

学问题，没有确定的解决问题的步骤，不属于算法.]

3.下面是求1+11+21+31+41的值的一个算法，请将其补充

完整.

第一步计算1+11,得12；

第二步将第一步中的运算结果12与21相加，得到33；

第三步将第二步中的运算结果33与31相加，得到64；

第四步,即为最后结果.

将第三步中的运算结果64与41相加，得到105［本题是一个连

续相加的问题，可以按逐一相加的方法解决.

4.有人对命题“任何大于4设计了如下操作步骤：

第_步检验6=3+3.

第二步检验8=3+5.

第三步检验10=5+5.

的偶数都能写成两个奇质数之和”

利用计算机一直进行下去！

请问：

利用这种步骤（填“能”或“不能”）证明猜想的

正确性，这（填“是”或“不是”）算法.

不能不是［确定性和有限性是任何算法都必须满足的重要特

点，若不满足则不能称之为算法.1

【例1】下面语句是算法的有个.

1从南京到台湾旅游，先坐火车，再坐飞机抵达;

2解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

3方程1=0有两个实根；

4求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=3,再求3+3=6,6+4

二10，10+5=15，最终结果为15.

3咽为算法是为解决某类问题而设计的-系列可操作可计算的步骤，通过这些步骤能够有效地解决问题，因此①②④都是算法，③不是算法.]

—__"V^n9fy^•r*••a

wvll“■「n

判断-个语句是不是算法，依据是算法的概念，它是解决-类问题的具体步骤，未给出步骤的解决方法，不能够称之为算法，即按照所给出的步骤，能将问题解决，则这些步骤就可以称为-个算法.

1.下列对算法的描述正确的个数是.

1一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的；

2算法中的每1个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的；

3算法中的每一个步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果；

4一个问题只能设计岀一种算法.

3[由算法的有限性知①正确；由算法的确定性知②正确；由算法的可输岀性知③正确；对于同一个问题可以有不同的算法，因此④不正确.故正确的个数为3.]

2.著名数学家华罗庚提岀的“烧水泡茶”的两个算法如下,

算法1：

第一步烧水；

第二步水烧开后，洗刷茶具;

第三步沏茶.

算法2：

第一步烧水；

第二步在烧水过程中，洗刷茶具;

第三步水烧开后沏茶.

其中更高效的算法是，原因是

算法2它更节约时间[算法不同，解决问题的繁简程度不同,我们研究算法，就是要找岀解决问题的最好算法.在算法1中三步所用的时间为烧水、洗茶具和沏茶时间的和，而在算法2中所用的时间为烧水和沏茶时间的和，故算法2更高效.]

【例2］给岀求1+3+5+7+9+11+13的值的一个算法.

思路点拨：

本题是一个连续相加的问题，加数的个数不多，可以按逐一相加的方法解决.注意到加数依次排列可构成一个等差数列，故也可运用公式1+3+5（2〃一1）=『解决，当加数较多时，如计算1+3+5+…+99,逐个相加的方法显然是不可取的，除了使用公式1+3+5+…+（2〃一1）=『解决该问题之外,还有没有别的方法？

为此，我们还可以引入变量和循环的方法解决.

解］算法1:

第一步计算1+3,得到4；

第二步将第一步中的运算结果4与5相加，得到9；

第三步将第二步中的运算结果9与7相加，得到16；

第四步将第三步中的运算结果16与9相加，得到25；第五步将第四步中的运算结果25与11相加，得到36；第六步将第五步中的运算结果36与13相加，得到49.

算法2：

第一步取n-l\第二步计算『；第三步输岀运算结果.

算法3：

第一步使p=l;

第二步使i=3；

第三步使卩+i的和仍放在变量卩中，可表示为p^p+h

第四步使i的值加2,即戶汁2；

第五步若K13,返回第三步，重新执行第三步及之后的第四、

第五步，否则，算法结束，最后得到的卩的值就是1+3+5+7+9+

11+13的值.

1.写岀求1+3+5+7+9+11+13+15+17+19的一个算法.

第一步取/1-10；

第二步计算『；

第三步输岀运算结果.

2.写岀求2+4+6+8+-+200的一个算法.思路点拨：

运用公式

2+4+6+82〃=〃（〃+1）.

懈］

第一步取^=100；第二步计算n（n+l）;

第三步输岀运算结果.

1.算法的设计目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述岀来，从而达到计算机执行的目的.

2.算法的设计要求

（1）写出的算法必须能解决一类问题；

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少；

（3）要保证算法正确，且计算机能够执行.

3.设计算法的步骤

⑴分析问题，寻找可以解决问题的一般的数学方法；

⑵将问题的各种情况加以分类;

（3）将每一类情况划分为若干步骤；

（4）用简练的语言、数学符号和各种参数将各个步骤表达岀来;

（5）按照步骤的顺序将步骤列岀来.

提醒：

（1）算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指岀问题没有解.

（2）—个具体问题的算法不唯一.

⑶不同的算法有简繁、优劣之分，但每-种算法都会使问题有-个最终的结果，对于一个具体的问题，我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算法，即最优算法.

【例3】一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（不用舷码）将假银元找岀来吗？

写出解决这一问题的一种算法.

思路点拨：

可以两枚两枚地称，直到称岀假银元为止，也可以先

分组再称.

化谨叱^fs<躲卑匹荻^1血宦眉叱1日w/空朵「<•朵—«』£昌^ztTk*睐口F叵畀理磺無'吳丄«目趣zkK-w-wM-*睐岳巨葺幣H

法二：

第一步把银元分成3组，每组3枚；

第二步先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组里，如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里；

第三步取岀含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的那一枚就是假银元，如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元.

算法在生活中的应用主要包括一些非数值型的问题.在设计算法时，应当先建立过程模型，也就是找到解决问题的方案，再把它细化为一步接一步的步骤，从而设计岀算法.

3.有蓝、黑两个墨水瓶，现把蓝墨水错装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将两个墨水瓶中的墨水互换，请设计

一个算法.

解］由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过

引入第三个空墨水瓶来解决问题.

算法如下:

第一步取一个空的墨水瓶，设其为白色；

第二步将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入白瓶中；

第三步将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中;

第四步将白瓶中的蓝墨水倒入蓝墨水瓶中；

第五步交换结束.

4.两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河？

请写岀你设计的渡河的算法.

懈］因为每次只能渡一个大人或两个小孩，而船还要来回渡其他人，所以只能让两个小孩先渡河，然后回来一个，一直到四人全过河.

第一步两个小孩同船渡过河去；

第二步一个小孩划船回来；

第三步一个大人独自划船渡过河去；

第四步对岸的小孩划船回来；

第五步两个小孩再同船渡过河去；

第六步一个小孩划船回来；

第七步余下的另一个大人独自划船渡过河去;

第八步对岸的小孩划船回来；

第九步两个小孩再同船渡过河去.

匚课堂小结二

1.本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是掌握简单问题算法的表述.

2.本节课要重点掌握的规律方法

（1）掌握算法的特征；

（2）掌握设计算法的一般步骤；

（3）会设计实际问题的算法.

3.在解决某类数学问题时，逐一列举、验证计算量较大，不易操作，若根据题意把其分成几个组，先研究组与组之间的关系，再研究小组内的关系，可以减少操作步骤，使问题易于解决，这就是分组讨论思想.

C[由算法的特征侑限性、确定性、有序性、有输出等）可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错•]

1.下列关于算法的说法，正确的个数为

（）

①求解某一类问题的算法是唯一的;②算法必须在有限步操作之后停止;③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模湖；④算法执行后一定产生确定的结果.

A.1B.2

2•假设家中生火泡茶有下列几个步骤，最优的一个算法是a.生火；B.将水倒入锅中；C.找茶叶；D.洗茶壶茶杯；e.

用开水冲茶.

bacde［利用时间最短排序.

3.下列语句表达中是算法的是•

1从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；

2利用公式必计算底为1,高为2的三角形的面积；

3g>2x-4；

4求M（l,2）与N（—3,—5）两点连线所在直线的方程，可先求直线MN的斜率，再利用点斜式方程求得.

①②④偉法是解决问题的方法步骤，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都是算法，而③没有确定的解题步骤，不是算法•一

4.已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,设计一个算法,求该三角形的周长.

解］先取a=3,0=4,再由勾股定理，求岀斜边c二寸『+沪,从而得周长/=o+b+寸/+於

算法如下：

第一步取a=3,b=4；

第二步计算。

=寸『+沪；

第三步计算片°+b+c；

第四步输出厶

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