高中数学 对数对数函数幂函数单元教学设计.docx

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高中数学对数对数函数幂函数单元教学设计

2021年高中数学对数、对数函数、幂函数单元教学设计

一、教材分析

1、本单元教学内容的范围

第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.

第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂.接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.

第二大节3.2对数与对数函数分3小节（3.2.1-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.

第三大节3.3幂函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.

第四大节3.4函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.

为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.

为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.

2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用

本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．

基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．

学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：

①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神．

本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用．

3、本单元教学内容总体教学目标

学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题．

一知识目标

1.了解指数函数模型的实际背景

2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．

3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．

4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．

5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．

6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

7．了解指数y=ax（a>0，且a≠1）与对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．

8．通过特殊的幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=了解幂函数

9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．

10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．

（二）能力目标

1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．

2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．

3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．

（三）价值目标

1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．

2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．

3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．

4、本单元教学内容重点和难点分析

重点：

指数函数和对数函数的性质.

难点：

无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.

5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较

（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比

项目

课标（14课时）

大纲（24课时）

必修1-3

第一册（上）第二章二（三）

内容

《新课标》的目标表述

大纲的目标表述

指数函数

①通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景.

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）.

理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质

对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0,a≠1）

理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质

幂函数

通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况.

无

（2）变化之处

1．加强的内容

（1）加强了函数模型的背景和应用的要求．

了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．

要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．

在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．

（2）加强了信息技术整合的要求．

明确指出了要运用信息技术进行教学，如：

能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解．

2．削弱的内容

（1）削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．

（2）削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数（）与对数函数（）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．

（1）增加了幂函数（y=x，y=x2，y=x3，y=，y=）的内容；

（2）换底公式又恢复为教学内容.

6.教学建议

1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP的增长问题、14C的衰减，考古、地震、pH的测定等，体现数学的应用价值．

2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理指数幂逼近无理指数幂）、数形结合的思想（用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质）、归纳思想、类比思想（如从指数的运算律类比对数的运算律）等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．

3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．

4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数（）与对数函数（）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。

二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述

根据本单元教学内容的特点，可以采用讲授式与自主探究相结合的教学方式，要重视章头故事在教学中的应用,要充分利用几何画板,科学计算自由软件（P120）等软件以及图形计算器等工具通过教师引导下的学生的自主探究，发现指数函数、对数函数、幂函数的若干性质，完成教学目标所确定的教学任务.

三、本单元所需教学资源概述

图形计算器，几何画板,科学计算自由软件或其他软件平台，已经进入新课标的省份的高考试题.

四、本单元学时建议

§3.2.1对数及其运算（共3课时）

§3.2.2对数函数（１课时）

§3.2.3对数函数与指数函数的关系（１课时）

§3.3幂函数（1课时）

五、本章各节课教学设计

§3.2.1对数及其运算（共3课时）

一、教材分析

1、本单元的教学内容的范围

对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减，但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到．

本单元对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数．对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义（a>0,a≠1）之后，给出两个特殊的对数：

一个是当底数时，称为常用对数，简记作；另一个是底数（一个无理数）时，称为自然对数，简记作．这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可．

依据课程标准及北京市教学指导意见，要求理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料了解对数的发展史及在简化运算中的作用．

理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力．

2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用

从上图中的关系可以看出，对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：

当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由引出，在这个式子中，已知一个数和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数和它的幂，求指数的运算就是对数运算（而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算）；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识

对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求；其次对于对数的性质

及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．

对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．

3．本单元的教学内容总体教学目标

理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力．

4．本单元的教学内容重点和难点分析

（１）重点是对数定义的理解；对数的运算性质和运算法则；理解对数换底公式，掌握对数换底公式的应用．

（２）难点是对数换底公式的理解和灵活应用．

（３）在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义．鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解．引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性．

5．其它相关问题

对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求；其次对于对数的性质

及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．

[仿照初中如何引入根式定义的方式来导入]

资料：

布尔基与耐普尔

数学史册上的对数发明者是两个人：

英国的约翰·耐普尔（JohnNaeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（JobstBürgi，1552－1632）．

布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：

“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价．

二、与本单元的教学内容相适应的教学方式和教学方法概述

1、充分利用信息技术和网络资源来学习知识；

2、学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的；

3、由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

４、对学生的学法指导：

联想类比．数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握．

５、鼓励学生自主学习和协作学习．学生是在特定的学习环境进行学习．“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决．鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息．对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备．

６、对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．

７、对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．

８、可以采用讲授与学生探究相接合，帮助学生理解对数与指数的关系，提升学生的学习兴趣。

三、本单元所需教学资源的概述

对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：

当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由引出，在这个式子中，已知一个数和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数和它的幂，求指数的运算就是对数运算（而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算）；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．

对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

四、本单元学时建议

本单元学时建议安排三学时，即对数的概念、对数的运算性质、对数的换底公式及其推论．

例如：

第一学时：

对数的概念

一、学习目标：

1、理解对数的定义:

这一符号的含义，字母的取值范围；

2、理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想；

3、根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式（教材P96），培养学生归纳猜想的能力；

4、理解常用对数的概念；

5、能够通过对数的概念求出比较简单的对数式的值；

6、信息技术整合：

使用科学计算器，求对数．

二、重点内容安排：

1、重点是对数定义的理解；

2、在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。

鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。

引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性．

三、教学内容安排：

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

提出问题

为什么学习对数?

由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第次后，细胞的个数；

如果知道细胞分裂若干次后的个数为，如何求出分裂次数；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；

网上查询对数产生的背景

增加学生学习兴趣

复习引入

初中如何认识和学习根式

由学生来复习讲解根式

发挥学生的主动性

概念形成

（1）如果a（a＞0且a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

（2）对数的性质有：

1）1的对数等于零；2）底的对数等于1；3）零和负数没有对数．

（3）通常将以10为底的对数叫做常用对数；以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN．

式子

名称

N

指数式

底数

指数

幂值

对数式

底数

对数

真数

可以由学生自己阅读课文的方式给出定义

让学生理解对数的引出的必要性和合理性

概念深化

（1）在对数定义中，为什么也要限定a＞0且a≠1?

答：

因为对数概念源出于指数，对数式logaN＝b是由