梅涅劳斯定理与塞瓦定理.docx

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梅涅劳斯定理与塞瓦定理

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

板块一梅涅劳斯定理及其逆定理

知识导航

梅涅劳斯定理：

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，

那么AFBDCE1

FBDCEA

．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．

AG

A

A

G

F

FF

H1

H

2

EE

E

H3

BCDBCDBCD

证法一：

如左图，过C作CG∥DF

∵

DBFB

DCFG

，

ECFG

AEAF

AFBDCEAFFBFG

∴1

FBDCEAFBFGAF

．

证法二：

如中图，过A作AG∥BD交DF的延长线于G

∴

AFAG

FBBD

，

BDBD

DCDC

，

CEDC

EAAG

AFBDCEAGBDDC

三式相乘即得：

1

．FBDCEABDDCAG

证法三：

如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于

H、H、H．

123

则有

AH∥BH∥CH，

123

所以

AFBDCE

AHBH

CH

12

3

FBDCEABHCHAH

231

1

．

梅涅劳斯定理的逆定理：

若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，

AFBDCE

如果1

FBDCEA

，则F、D、E三点共线．

夯实基础

【例1】如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求

证：

AE:

ED2AF:

FB．

A

F

E

BDC

【解析】∵直线FEC是△ABD的梅氏线，

AEDCBF

∴1

．而

EDBCFA

DC

BC

1

2

，∴

AE1BF

ED2FA

1

，即

AE2AF

EDBF

．

习题1.在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点

F．求证：

FAEA

FCEB

．

F

A

E

BDC

【解析】直线截△ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知CDBEAF1

DBEAFC

，又因为

BEAF

BDBC，所以1

，即

EAFC

FAEA

FCEB

．

习题2.如图，在△ABC中，ACB90，ACBC．AM为BC边上的中线，

CDAM于点D，CD的延长线交AB于点E．求

AE

EB

．

C

M

D

B

A

E

【解析】由题设，在Rt△AMC中，CDAM，AC2CM，

2

ADADAMAC

由射影定理24．

DMDMAMCM

AEBCMD

对△ABM和截线EDC，由梅涅劳斯定理，1

，即

EBCMDA

AE

EB

21

14

1

．

AE

所以2

EB

．

探索提升

【例2】如图，在△ABC中，D为AC中点，BEEFFC，求证：

BM:

MN:

ND5:

3:

2．

A

D

N

M

BEFC

【解析】∵直线AE是△BCD的梅氏线，

BMDACE

∴1

MDACEB

．

∴

BM

MD

12

21

1

，∴

BM

MD

1

1

∵直线AF是△BCD的梅氏线，

BNDACF

∴1

NDACFB

，

∴

BN

ND

11

22

1

，

BN

ND

4

1

．

∴BM:

MN:

ND5:

3:

2．

习题3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:

EF:

FD4:

3:

1．求AG:

GH:

AB．

A

G

E

H

F

BDC

【解析】∵HFC是△ABD的梅氏线，

AHBCDF

∴1

．HBDCFA

∵D为BC的中点，AE:

EF:

FD4:

3:

1，

∴

BC

DC

2

1

，

DF

FA

1

7

．

∴

AH

HB

21

17

1

，∴

AH

HB

7

2

．

∵GEC是△ABD的梅氏线，

AGBCDE

∴1

GBDCEA

，

∴

AG

GB

21

11

1

，∴

AG

GB

1

2

．

∴AG:

GH:

HB3:

4:

2．

∴AG:

GH:

AB3:

4:

9．

【例3】过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB的延长线于点D．

BECF

求证：

1

．

EAFA

AA

FF

EE

GG

DBCDBMC

【解析】作直线AG交BC于M，

∵MG:

GA1:

2，BMMC．

∴

AEBDMG

EBDMGA

AEBD

EBDM

1

2

1

．

∴

EBBD

AE2DM

．

同理，

CFDC

FA2DM

，

而BDDCBDBD2BM2（BDBM）2DM

∴

BECFBDDC2DM

EAFA2DM2DM2DM

1

．

【例4】如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，AEEB，

于点F，S△ABC40．求SAEFD．

AD

DC

2

3

，BD与CE交

A

D

E

F

C

B

EFCDAB

【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：

1

FCDABE

，即

EF

FC

32

21

1

，

所以1

EF

FC3

．所以

11

S△S△S△，

BFEBECABC

48

进而

2111

SS△S△S△4011．

AEFDABDBEFABC

5840

习题4.如图，在△ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x

的值．

A

E

5

x

F

10

8

D

C

B

CDABEF

【解析】对△ECA和截线BFD，由梅氏定理得：

1

DABEFC

x22．

，即

18x231

5x152

1

，解得

【备选】如图，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，

其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC的面积．

C

E

O

D

354030

A

B

F

AFBCDO

【解析】对△ABD和截线COF，由梅氏定理得：

1

FBCDOA

，即

4BC1

3CD2

1

，所以

BC

CD

3

2

BC

，所以3

BD

．所以S△ABC3S△ABD3105315．

非常挑战

【例5】如图，在△ABC中，A的外角平分线与边BC的延长线交于点P，B的平分线与

边CA交于点Q，C的平分线与边AB交于点R，求证：

P、Q、R三点共线．

A

R

Q

BCP

【解析】AP是BAC的外角平分线，则

BPAB

PCCA

①

BQ是ABC的平分线，则

CQBC

QAAB

②

CR是ACB的平分线，则

ARCA

RBBC

③

①②③得

BPCQARABBCCA

PCQARBCAABBC

1

因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，

则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：

P、Q、R三点共线．

习题5.证明：

不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．

A

B

C

DEF

A

P

B

C

DEF

【解析】如图，CD、BE、AF分别为三角形ABC的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于

D、E、F．

过C作BE的平行线，则BCPCBEEBDCPB，

所以△BPC是等腰三角形．则PBCB．

则有：

CEPBCB

EABABA

．

同理

ADAC

DBCB

；

BFBA

FCAC

．

CEADBFCBACBA

所以1

EADBFCBACBAC

所以D、E、F共线．

．

板块二塞瓦定理及其逆定理

知识导航

塞瓦定理：

如果△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、

BDCEAF

F，如图，那么1

DCEAFB

．通常称点P为△ABC的塞瓦点．

A

FE

P

BDC

证明：

∵直线FPC、EPB分别是△ABD、△ACD的梅氏线，

BCDPAF

∴1

CDPAFB

DBCEAP

，1

BCEAPD

．

BDCEAF

两式相乘即可得：

1

DCEAFB

．

塞瓦定理的逆定理：

如果点D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并

BDCEAF

且1，那么AD、BE、CF相交于一点（或平行）．

DCEAFB

E

FA

A

F'E

FP

BDCBDC

证明：

⑴若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F'．

由塞瓦定理得：

BDCEAF'1

，DCEAFB

BDCEAF

又已知1

，∴

DCEAFB

AFAF

FBFB

，

∴ABAB

FBFB

，∴FBFB．

∴F'与F重合∴CF'与CF重合

∴AD、BE、CF相交于一点．

⑵若AD与BE所在直线不相交，则AD∥BE，如图．

∴

BDEA

DCAC

BDCEAF

，又已知1

DCEAFB

，

∴EACEAF1

，即

ACEAFB

CEFB

ACAF

．

∴BE//FC，∴AD∥BE∥FC．

说明：

三线平行的情况在实际题目中很少见．

探索提升

【例6】

（1）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：

AX，BY，CZ三线共点．

A

ZY

B

XC

（2）若AX，BY，CZ为△ABC的三条内角平分线．求证：

AX，BY，CZ三线共点．

A

Z

Y

B

XC

BXCYAZ

【解析】

（1）由条件知，BXXC，YCYA，ZAZB．∴1

XCYAZB

根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX，BY，CZ共点．

，

这个点称为这个三角形的重心．

（2）由三角形内角平分线定理得：

BXABCYBCAZAC

，，．

XCACYABAZBBC

BXCYAZABBCAC

三式分别相乘，得：

1

．XCYAZBACABBC

根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX，BY，CZ共点，

这个点称为这个三角形的内心．

习题6.若AX，BY，CZ分别为锐角△ABC的三条高线，求证：

AX，BY，CZ三线共点．

A

Z

Y

B

XC

【解析】由△ABX∽△CBZ得：

BXAB

BZBC

；由△BYA∽△CZA得：

AZAC

AYAB

；

由△AXC∽△BYC可得：

YCBC

CXAC

BXAZYCABACBC

．所以1．

BZAYCXBCABAC

根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX，BY，CZ共点．

对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高

线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．

【例7】如图，M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通

过BC的中点D，求证：

EF∥BC．

A

F

E

M

BC

D

AFBDCE

【解析】对△ABC和点M应用塞瓦定理可得：

1

FBDCEA

．又因为BDDC，所以

AFCE

FBEA

AFAE

1．进而

FBEC

，所以EF∥BC．

习题7.如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：

直线MN

必平分梯形的两底．

M

P

DC

N

AQB

【解析】∵AB∥CD

∴MDCM

DABC

MDBC

∴1

DACM

∵MDAQBC1

（由塞瓦定理得）DAQBCM

AQ

∴1

QB

，∴AQQB

∵

DPPC

AQQB

，∴DPPC．

板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合

非常挑战

【备选】如图，E、F分别为△ABC的AC、AB边上的点，且AE3EC，BF3FA，

BE、CF交于点P，AP的延长线交BC于点D．求AP:

PD的值．

A

F

EP

BDC

【解析】∵P为△ABC的塞瓦点．

∴

AFBDCE1BD1

FBDCEA3DC3

1

∴

BD

DC

9

1

，∴

BD

BC

9

10

．

∵EPB为△ACD的梅氏线，

∴

APDBCEAP

PDBCEAPD

91

103

1

AP10

∴

PD3

【备选】如图，四边形ABCD的对边AB和DC，DA和CB分别相交于点L，K，对角线AC与BD

交于点M．直线KL与BD、AC分别交于点F、G．

求证：

KFKG

LFLG

．

D

A

M

C

B

K

FLG

DAKFLC

【解析】对△DKL与点B应用塞瓦定理得：

1

．

AKFLCD

DAKGLC

对△DKL和截线ACG应用梅涅劳斯定理可得：

1

AKGLCD

．

进而可得

KFKG

LFLG

．