3三角形中的模型一教师版鸟头模型.docx

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3三角形中的模型一教师版鸟头模型三角形中的模型一教师版鸟头模型本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明，并在复杂图形中找到鸟头模型来解决相关面积问题。

例1：

用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形解析：

省略。

练习1

（1）用三种不同的方法，把任意一个三角形分成六个面积相等的三角形解析：

省略。

（2）用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为134（3）如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

解析：

124=3（倍）（4）如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

解析：

124=3（倍）（5）如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，问：

AOB与COD面积是否相等？

解析：

相等。

（6）正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？

解析：

102=5（平方厘米）（7）图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。

解析：

15+5+15+45=80（平方厘米）（8）如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若，求BEF的面积。

解析：

BEF的面积为1。

（9）如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。

问：

阴影部分与空白部分的面积比为多少？

解析：

例2

（1）已知三角形ADE的面积是1，AD:

AB=2:

3，AE:

AC=1:

4，求三角形ABC的面积。

解析：

43（21）1=6

（2）在ABC中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上，两个三角形的总面积为250平方厘米。

求ABC的面积。

解析：

250（22+1）=50（平方厘米）504=250（平方厘米）教学建议：

这是鸟头定理第一种类型：

两个三角形中有一个角相等，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角（相等角）两夹边的乘积之比练习2

（1）三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

解析：

351=15

（2）D是AC的中点，AB边上有3等分点E,已知DCE的面积为20平方厘米，求ABC的面积.解析：

20223（22）=60（平方厘米）（3）如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

解析：

44=163=2（2+1）（1+1）-1=5（倍）（4）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.解析：

35（32-1）=7732=42（5）如图，在三角形ABC中，BC等于10厘米，BC边上的高等于6厘米，D在AC上，并且DC=DA，E是BD上一点，BD=3BE，求三角形BEC的面积。

解析：

1062=3030（23）=5（6）如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且BN是AN的两倍，那么阴影部分的面积等于多少？

解析：

（7）在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。

且AF=CE，DE=BG。

已知四边形ABCD的面积为1，求EFG的面积。

解析：

1（8）图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

解析：

22.5（9）已知四边形ABCD中，CD=3DF，AE=3ED，三角形BFC的面积是6，四边形BEDF的面积为7，求大四边形ABCD的面积。

解析：

25例3已知三角形ABC的面积是9，AD:

AB=1:

2，AE:

EC=1:

1，求三角形AED的面积。

解析：

2.25练习3

（1）如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:

BE=2:

5，BC:

CD=3:

2，三角形BDE的面积是多少？

（第四届“迎春杯”试题改编题）解析：

12.5

（2）如下左图，在ABC中，D、E分别是BC、AB的三等分点，且ABC的面积是54，求CDE的面积。

解析：

12（3）已知正方形ABCD的边长是5厘米，又EF=FG，FD=DG，求三角形ECG的面积。

解析：

50（4）如图在DEF包含着一个面积为1平方厘米的等腰ABC，其中AB=AC，AC：

AF=1：

3，AB：

AD=1：

2，BC:

CE=1：

2，求DEF的面积。

解析：

16（5）如图，四边形EFGH包含着一个面积为5平方厘米的四边形ABCD，其中A、B、C、D分别是EB、FC、DG、AH四条线段的三等分点。

求四边形EFGH的面积。

解析：

65例4如图，ABC与DAE皆为等腰三角形，其中BAD与EAC都是90度，两个三角形的面积和是450平方厘米。

分别求出两个三角形的面积。

解析：

360练习4

（1）如图以ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知ABC的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？

解析：

30

（2）园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。

问：

内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？

请说明理由.解析：

相等。

例5如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？

解析：

1.5练习5

（1）已知DEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求ABC的面积解析：

24

（2）如下图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=BC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的分之几？

解析：

。

（3）如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是解析：

75（4）如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，,三角形DEF的面积为多少平方厘米？

解析：

。

（5）如图，在ABC中，延长AB至D,使BD=AB，延长BC至E,使，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？

解析：

3.5（6）（清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于1，则DCF的面积等于多少？

解析：

0.75（7）（北京四中入学测试题）如图，书籍CD=5，ED=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两个部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是多少？

解析：

40专题小结共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（或D、E分别在BA、CA延长线上），则（夹角两边：

）即，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

（1）三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分，问：

三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几？

（2）如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积（3）如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:

AD=5:

2，AE:

EC=3:

2，求ABC的面积（4）如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？

（5）已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米，图中阴影部分的面积是多少平方分米？

（6）如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。

（7）如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积。

（9）已知正方形ABCD的边长为4，E、P、F分别是AD、CE、BP的中点，三角形DBF的面积是多少？