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数独九宫格各种链的关系

第一种情况:

A==B--C==Dﻫ由A的真假情况可以做出以下BCD关系的枚举.

再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质ﻫ1.强关系是说A与B两个事件,假如A不成立,则B一定成立。

2。

弱关系是说A与B两个事件,假如A成立,则B一定不成立。

 

XY-Wing了,下面是一个XY—Wing的例子:

 

•通常解释XY—Wing原理的时候会用如果r4c2=1则r5c1=4;如果r4c2=9则r4c8=4,所以不论r4c2是1还是9,r5c1与r4c8中至少有一个是4,

从而得到r5c1与r4c8的等位群格位交集部分(图中蓝色格)不含4.

•这样是不是有点猜测的味道呢?

很多人都说高级技巧是把猜的东西合理化,其实不然。

•用强弱强链的观点可以这样看r5c1(4)==r5c1

(1)—-r4c2

(1)==r4c2(9)—-r4c8(9)==r4c8(4),

也是得到r5c1与r4c8中至少有一个是4。

 

•与XY-Wing较相近的要数XY-Chain.

•XY-Wing由三格组成,分别为xy格,xz格,yz格。

XY-Chain不止三格,需要把一些格合并当作XY-Wing组成格之一来看。

 

•单数链以强、弱方式构成环,称为X—Cycle,无法构成环,则称为X-Chain。

•X—Cycle的弱环节除节点外,单元内其它格位的相同候选数均可删除。

•X—Chain 在开口处之两节点共同作用格的相同候选数均可删除。

本质上X-Cycle 只是X-Chain的特例,因此统称为单链。

•单链若由两条强链与一条弱链构成,就是习称的双强链,有摩天楼、双线风筝、鱼三种连结方式。

•单链若由两条强链与两条弱链构成环,就是习称的X-Wing。

 

XY-Wing的结构可以分为两种:

1。

xy格与xz格或者 xy格与yz格 同宫。

2。

xy格、xz格、yz格在三个不同宫.

 

 

            

XY-Chian首尾若能连接起来就成为了XY-Cycle(Multi X-Wing)

r4c1(7)==r5c4(7)-—r5c2(7)=={r1c2,r2c2}(7)  断开任意一条弱链(绿色表示)即成为XY—Chain的结构.

得到{r1c2,r2c2}与r4c1至少有一个为7. 例如断开上端r8c57的弱链后,可以得到r8c5(7)与r8c7(7)

所以可以删除{r1c2,r2c2}与r4c1等位群格位的交 至少有一个成立,即可删除这两格等位群格位交集的7,

集r1c3的候选数7。

    其他三种断开弱链能够做何删减,大家可以自己尝试推导。

 

Guardians(守护者)的技巧,也有地方称之为BrokenWings或者Turbot—Fish。

其描述的是某一个候选数X的情况,当有偶数条强链,且两个端点处于同一unit时,这时可以删除两个端点上的候选数X,

如果该unit出这两端点格外只有一格含有候选数X,则该格一定就是X.

下图:

从蓝色格出发到达红色格,根据它们之间的逻辑关系,可以得到红色格有相同的真假值.

•红色格若为假,没问题两个都可删除,红色格若为真,则违反数独原则也应当删除。

•结论:

红色格应予删除

 

 •用链的观点来看:

r3c8(9)==r3c8(2)--r6c8(2)==r6c6

(2)—-r9c6

(2)==r9c6(9),因此可以删除r9c8的候选数9。

•亦可这样理解,如果r3c8不为9,r3c8为2,则r6c8不为2,r6c6为2,r9c6不为2,即r9c6为9;

反过来,如果r9c6不为9,则r9c6为2,r6c6不为2,r6c8为2,r3c8不为2,即r3c8为9;

可见r3c8与r9c6至少有一个为9,因此可以删除r9c8的候选数9。

 

•双强链的按其强链所在区域及组成可分为三种.

1.摩天楼(Skyscraper)

2。

鱼(Fish)

3.双线风筝(Two Strings Kite)

摩天楼

 

以下是双线风筝(TwoStringsKite)、鱼(Fish)的结构及其删减情形。

1.上左图,两条强链一条在「行」另一条在「列」,红色顶端之共同作用格(红色「X」)就是不能有构成强链数字之处,这个结构称为双线风筝。

2. 上右图,两条强链一条在「宫」另一条在「列」,红色顶端之共同作用格(红色「X」)就是不能有构成强链数字之处,这个结构称为鱼。

 

(C2、C5各有一个{XY}数对,因此R5的两格也为{XY}数对)ﻫ当r2c2是X时,可以得到r5c2为Y,继而r5c5为X,r3c5为Y;ﻫ反之,当r2c2是Y时,可以得到r5c2为X,继而r5c5为Y,r3c5为X。

也就是说r2c2与r3c5也为{XY}数对,因此可以删除其等位群格位的交集中候选数XY。

 

•双强链的基座(Base)必须在同一单元,且链顶(Top)必须有相同作用格才有删减效果。

•有时两条强链虽有相同的基座,但链顶没有共同作用格,如此将达不到删减的效果.

•因此就有所谓的进阶型的双强链。

•由于A==B==C==D 三条强链会造成 A与D有相反的真假值,因此可以当一条强链使用。

•观察一、三条形成的双强链不会太复杂,因此以下我们就以这样的构形提出实例加以说明。

•在数独的解题技法称这种解法为 X-Chain。

如右图

 

附一道题的

七种解法。

 

解法1

 

解法#2 

 

解法 #3

 

解法#4

解法#5 

 

解法#6

 

解法#7

 

单数链解法的三要素就是:

1.有强关系的两端点.

2.两端点有共同作用格.

3。

共同作用格有删减效果。

 

•右图是这是摩天楼的扩充型的思考方法,黄色为底(起点),红色为顶(终点)。

•当黄色为真,则往绿色方向推进,当黄色为假则往红色方向推进.

•无论黄色为真或假,经推导的结果,红色的两个端点一定有一点为真,因此它们是强关系。

•强关系的共同作用格可以将候选数 2删除,如图上网点标示之格位.

 

左图的另外一种推法:

•这是摩天楼的扩充型,黄色为底(起点),红色为顶(终点)。

•当黄色为真,则往绿色方向推进,当黄色为假则往红色方向推进。

•无论黄色为真或假,经推导的结果,红色的两个端点一定有一点为真,因此它们是强关系.

•强关系的共同作用格可以将候选数2删除,如图上网点标示之格位.

 

 

 

 

点算图示格的候选数,可以发现形成XY-Cycle,可以删的数比 jcvb 提到XY-Chain略多一些。

右图:

主要利用了r2c5的8的删减,可以得到第五列的摒除解r7c5=8。

 

欠一数对AlmostLocked Pair

数对、三链数、四链数被统称为LockedCandidates,如果还差一点的也就是AlmostLocked Candidates.

我们取其中的数对部分,也就是AlmostLocked Pair来讲解。

首先讲一下结构与结论:

 

(“/"掉格表示不含候选数XY)看R1,数字“XY”中的一个在r1c4,另一个在r1c123,也就是说r1c123含有“XY”中的一个数,第一宫的数字“XY”中的另一个在r2c1,所以可以得到第一宫的其他格不含有候选数XY,因为{r1c123,r2c1}为 {XY}数对.反之亦然.

 

R8的“78”在r8c679三格,因为r9c8的候选数为78,所以r8c79只能有“78”中的一个,所以R8的“78”另一个在r8c6,所以r8c6的候选数为78。

数字1对第八宫摒除,得到r8c5=1.

 

微变一下结构:

(“/”部分表示不含候选数XYZ)r1c45的部分其中一个会是Z,一个是{XY}之一,因此r1c123含有{XY}中的另一个,{r1c123,r1c45}为{XY}数对({r1c123, r1c4,r1c5}为{XYZ}三链数),

所以{r1c123,r2c1}为{XY}数对,所以可以删除第一宫其他格的候选数XY.

 

r4c1的候选数为68,第四宫{68}中的另一个在r5c12之中;

r5c12含有{68}中的一个,与r5c7的68形成{68}数对,可以删除r5c9的候选数6。

 

数字78对C7摒除可以得到r89c7的{78}数对;

中图:

数字8对第六宫摒除,得到第六宫的8在C8;

右图:

数字78对R8摒除,得到r8c67为{78}数对。

 

左图:

r4c1的候选数为68,第四宫{68}中的另一个在r5c12之中;

r5c12含有{68}中的一个,与r5c7的68形成{68}数对,可以删除r5c9的候选数6.

右图:

看r6c3的候选数为17,第四宫{17}中的另一个在r5c23中,R5的其他格只有r5c9含候选17,

所以可以确定r5c9的候选数为17,即删除6。

 

(图中标示候选数表示该格仅含这些候选数)

•看到这个结构,大家脑子里会有冒出什么结论呢?

想不到也没关系,可以跟着我们的思路来。

•先看r1c5的候选数为wx,所以r1c23中要不不含wx,要不只能有wx之一;再看r2c1候选数为yz,同样的r1c23中要不不含yz,要不只含其中一个;但r1c23没有其他候选数,按照上述分析,其组成即为有『wx』中的一个和『yz』中的一个。

也就是说我们可以将{r1c23,r1c5}看作wx数对,{r1c23,r2c1}看作

yz数对,继而这两个“数对”所影响范围的对应数字即可删减。

 

•这题有比较明显的单链,但用“欠一数对"试试要怎么观察呢?

•因为橙色的23,蓝色至多含有23中的一个,又因为绿色的16,蓝色至多含有16中的一个,蓝色仅含候选数1236,故蓝色组成为16中的一个和23中的一个,{r1c23,r1c5}组成23数对,{r1c23,r2c2}组成16数对。

故可以删除第一行其他格的候选数23,第一宫其他格的候选数16.

 

Y-Wing(可能与XY-Wing混淆),有的地方称为W—Wing(可能与WXYZ-Wing混淆),本帖采用Y-Wing的名称。

 

"数对”为蓝色格所示{23},加之第四行数字3,构成Y—Wing,可以删除r5c7与r6c6的候选数2。

 

M-Wing的结构:

 

•大家可以对比一下上两图,区别在于r5c2的候选数情况,但是他们的推导过程是相同的。

•橙格仅含候选数ab,即只有2种情况:

1.为b;

2.为a,则绿格不为a-〉蓝格为a(即蓝格不为b)-〉紫格为b.

•以链的观点:

r2c7(b)==r2c7(a)--r2c2(a)==r5c2(a)-—r5c2(b)==r5c5(b),即r2c7==r5c5为b的强链.

•那么为什么他们会有相同的结论呢?

•因为无论是用什么观点来分析这个结果,用到的都是r5c2是a则不是b,是b则不是a的弱关系观点,而是否存在其他候选数并不影响弱关系的成立.所以,M—wing的链关系可以总结为右上图。

其中X为任何数。

•涂色四格构成M-Wing的结构,可以删除r6c2的候选数9;

•可以按照以下思路推导:

r6c5有两种情况:

1.为9;

2。

 为3—〉r6c7不为3—>r3c7为3-〉r3c7不为4—>r3c2为9。

•则r6c5与r3c2至少有一格为9,可以删除它们共同作用格r6c2的9。

 

R6C4<〉8(=49)—〉R3C4=8(<>5)—>R2C4=5->R2C3=2—〉R5C3=6->R5C7=49-〉R56C4,R56C7=唯一矩形。

即R6C4=8.

看一个Swordfish的例子:

 

X-Cycle练习题

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