小学四年级奥数学习资料一.docx

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小学四年级奥数学习资料一

《虚拟课堂》每周一练，有两种答题方式：

1.    不看答案，一道题、一道题地做下去，直到这一组题全部做完，最后与老师的答案进行交流反馈，看看本周的练习准确率给自己作出一个实际的评价。

2.    从第一道题开始，每做完一道题马上核对答案，然后再做下一道题，直到最后一道题。

遇到不懂的题请仔细阅读老师的例题分析，经过独立思考直至把疑点解开。

小朋友，你看懂老师提出的要求了吗？

请你选择一种做题方式，开始做题吧！

例1计算：

178+146+122

分析：

“凑整”和“改变运算顺序”，是主要的简算方法。

并且在很多情况下，改变运算顺序就是为了“凑整”。

本题就是应该利用178+122=200，来达到速算的目的。

解：

原式=178+122+146

=200+146

=346

例2计算：

8×34×125

分析：

根据乘法的交换律和结合律，利用8×125=1000进行合理计算

解：

原式=8×125×34

=1000×34

=34000

例3计算：

37×21+79×19+79×18

分析：

本题若直接按运算顺序进行计算的话则运算量很大，容易产生差错，如利用分配律，先把后两项合并起来就可少做一次乘法，然后再将前一项合并起来运用分配律，那么就可凑成100这个整数，是运算变得十分简便，正确率也随之提高。

解：

原式=37×21+79×（19+18）

=37×21＋79×37

=37×（21＋79）

=37×100

=3700

例4计算：

71×125

分析：

直接计算两位数乘以三位数较为复杂。

简算的方法可以合理地拆开某一个数，如：

因为125×8=1000，把125改变为乘以1000再除以8。

解：

原式=71×1000÷8

=71000÷8

=8875

另一种方法是考虑把71改成（72－1），因为72=9×8是8的倍数，用这种渗透思维有利于解此类习题。

解：

原式=（72－1）×125

=72×125－125

=9×8×125－125

=9000－125

=8875

例5计算：

14×44×104

分析：

看到本题，马上想到想到用简便方法计算比较困难，找不到突破口，但如果我们对数的运算比较熟悉、比较重视，勤于实践我们就会掌握7×11×13=1001这个规律，而1001乘以一个三位数只要把这个三位数连写两遍就可以了。

同时张老师提醒小朋友象3×37=111，6×17=102等都属于可以考虑的特殊的数。

解：

原式=（2×7）×（4×11）×（8×13）

=7×11×13×（2×4×8）

=1001×64

=64064

例6计算：

（78×4＋76×2＋89）÷7

分析：

小朋友你发现了吗？

在计算平均数应用题时经常会遇到这类题目，首先应考虑到除数是7，作为解题的突破口。

设法将括号内的数都变化成7的倍数乘以某数再加上一个数的形式。

解：

原式=（77×4＋4＋77×2－2＋77＋12）÷7

=（77×7＋14）÷7

=77＋2=79

例7计算：

99999×77778＋33333×66666

分析：

此题的数据很大，用竖式计算极容易出差错。

但是如果将其中的某一个因数变化一下，再用乘法分配律进行简便运算。

解：

原式=99999×77778＋33333×（3×22222）

=99999×77778＋99999×22222

=99999×（77778＋22222）

=99999×100000

=9999900000

例8计算99999999×99999999＋199999999

分析：

猛一看，差一点儿会被吓倒，怎么会是一组这么大的数进行的计算。

冷静一下，你还是能找出解题的规律来。

比如：

9×9＋19

=9×9＋9＋10

=9×（9＋1）＋10

=9×10＋10

=10×（9＋1）

=10×10

=102

同理：

99×99＋199

=99×99＋99＋100

=99×（99＋1）＋100

=99×100＋100

=100×（99＋1）

=100×100

=104

规律一下就找到了，因数中有一个数位数字是“9”，得数中“0”就有两个，因数中有两个数位数字是9，得数中“0”就有四个……，算式中“9”的个数扩大2倍就是“0”的个数。

解：

原式=99999999×99999999＋199999999

=99999999×99999999＋99999999＋100000000

=99999999×（99999999＋1）＋100000000

=99999999×100000000＋100000000

=100000000×（99999999＋1）

=100000000×100000000

=10000000000000000

=1016

数字计算是小学数学的主要内容，计算正确是学好数学的基本要求，今年我们已经是四年级的学生了，明年将跨入毕业班学习，在这承上启下的重要时刻，认真学习可是最重要的。

除了要有认真负责、一丝不苟地学习态度和良好的学习习惯之外，还应该掌握一些常用的简便方法。

在计算时利用一些技巧，如凑数、改变运算顺序、运用运算定律等，不仅可以提高计算速度，还可以避免或减少计算中可能产生的差错，达到迅速、准确的目的。

练一练：

1.    485＋488＋491＋494＋496

2.    800800800÷75

3.    638－112＋124－136－176－188

4.    25÷7×14÷11×132

5.    324×187＋99×27－324×154

6.    199995＋29996＋3997＋498＋99

7.    7777777×3333333÷1111111

8.    9999992＋1999999

和差倍数问题

一．引入知识

期中考试结束了，李大田的语文和数学总分是190分，其中数学比语文多10分，问：

李大田的语文、数学成绩各考了多少分？

小朋友们，在我们学习中如果遇到已知两数之和及两数之差，要求这两个数，解决此类问题可以先画一个图来说明问题：

数学：

语文：

10分

从图中可以看出，如果数学去掉10分，就和语文成绩相等了，这时的总分为190－10=180分，正好是语文成绩的2倍，所以语文成绩是180÷2=90分，数学成绩只要用语文的成绩加10分即可；如果语文成绩再增加10分，那么总分就是190＋10=200分，正好是数学成绩的2倍，所以数学成绩就是200÷2=100分。

这类数学问题就是典型的和差问题。

知道了两数的和与差，要求这两个数，可以用这样的数量关系式：

（和＋差）÷2=大数

（和－差）÷2=小数

小朋友，掌握数量关系最重要了，分析时还有必要通过线段图辅助帮助，一定会受到良好的学习效果。

二．例题传授

1.   甲、乙两数的平均数是95，其中甲数比乙数多8，求甲、乙两数各是几？

分析：

甲、乙两数的平均数是95，那么甲、乙两数的和是95×2=190，又已知甲数比乙数多8，这样就知道了两数之和是190，两数之差为8。

解：

甲数（95×2＋8）÷2

=198÷2

=99

乙数（95×2－8）÷2

=182÷2

=91

答：

甲数是99，乙数是91。

2.   在一道减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和为996，减数比差大38，求减数是多少？

分析：

在减法中有这样的数量关系：

被减数=差＋减数

题目告诉我们，被减数＋减数＋差=996，根据上面的数量关系式，我们可以得到：

减数＋差＋减数＋差=996，

那么：

减数＋差=996÷2=498，即减数与差的和是498，又已知了减数与差的差是38，根据和差问题的方法可以求出减数。

解：

（996÷2＋38）÷2

=（498＋38）÷2

=536÷2=268

答：

减数是268。

3.   两个自然数的和与这两个数的差的积是85，求这两个自然数各是多少？

分析：

两个数的和与这两个数的差的积是85，因为85=17×5，所以两个数的和应是17，差应是5，这两个数就是（17＋5）÷2=11与（17－5）÷2=6。

解：

85=17×5

（17＋5）÷2=11

（17－5）÷2=6。

请你注意：

85还可以写成85=85×1，即两个数的和是85，差是1，这两个数还可以是多少？

你会解吗？

来，请你动手试一试吧！

4.   一列快车长280米，一列慢车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两车头相遇到两车尾相离经过20秒，若两车在平行的轨道上同向而行，慢车在前，快车在后，从两车相遇（快车车头追上慢车车尾），到两车相离（快车车尾与慢车车头相离）经过2分钟，求快、慢两车的速度各是多少？

分析：

两车相向而行时，从两车头相遇到两车尾相离经过的距离是两列车身的长度之和，这是两车在20秒内共同完成的，所以两车的速度和为：

（280＋200）÷2=24米/秒；

当两车同向而行时，实际上是快车追慢车，从两车相遇到两车相离所经过的距离也是两车车身的长，也是两车在2分钟内所行的路程差。

所以两车的速度差为：

（280＋200）÷（60×2）=4米/秒

运用和差问题的方法即可求出两车的速度。

解：

（280＋200）÷2=24米/秒

（280＋200）÷（60×2）=4米/秒

（24＋4）÷2=14米/秒

（24－4）÷2=10米/秒

答：

快车的速度是14米/秒，慢车的速度是10米/秒。

练一练：

（1）  哥哥和弟弟共存款560元，哥哥比弟弟多存60元，哥哥、弟弟各存多少元？

（2）  小丽语文、数学两门功课平均成绩96分，数学比语文多8分，语文、数学各多少分？

（3）  甲、乙两校平均人数是1560人，已知甲校比乙校多300人，甲、乙两校各多少人？

（4）  甲、乙两班共有学生100人，若从甲班分给乙班4人，则两班人数相等，甲、乙两班原来各有学生多少人？

（5）  甲、乙两个图书馆共存书24000册，如果甲图书馆拨给乙图书馆3000册，则两个图书馆的册数相等，甲、乙图书馆原来各有书多少册？

（6）  甲、乙、丙三个班共有学生163人，甲班比乙班多6人，乙班比丙班多5人，三个班各有多少人？

（7）  某市有三个粮库，支援洪水灾区，共支援粮食280吨，甲粮库比乙粮库多支援40吨，乙粮库比丙粮库多支援60吨，三个粮库各支援粮食多少吨？

（8）  甲、乙两筐苹果共97千克，从甲筐取出14千克放入乙筐，结果甲筐的苹果比乙筐还多3千克，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？

（9）  四

（1）班有学生48人，暑假中有5人学会了游泳，这样会游泳的比不会游泳的同学多16人，原来会游泳的有多少人？

（10） 小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有铅笔多少支？

（11）  有一块长方形蔬菜试验田，它的长比宽多12米，周围的篱笆共长92米，这块地的面积是多少米？

（12）有一1000米长的圆形跑道，甲、乙二人同时、同地出发，若同方向跑1小时后，甲比乙跑一圈，若以相反方向跑4分钟二人相会，求甲、乙二人速度。

图形的计数

数学竞赛中常遇到数图形问题，这类问题一般都要寻求规律，而后按照这个规律去数图形。

数图形时要有次序、有条理、才能不遗漏、不重复。

因此一般步骤应是：

仔细观察、发现规律、应用规律、运用规律。

运用规律往往能使解法简便。

学习题1

下面两根线段中有多少条线段？

AB●●C●DE

解：

（1）由一条基本线段构成的线段有：

AB、BC、CD、DE，共4条；

由两条基本线段构成的线段有：

AC、BD、CE共3条；

由三条基本线段构成的线段有：

AD、BE，共2条；

由四条基本线段构成的线段有：

AE1条。

因此共有线段：

4＋3＋2＋1

=（4＋1）×4÷2=10（条）

解：

（2）可以采用上题的解题方法来进行分析、计算：

由一条线段组成的线段有6条，

由二条线段组成的线段有5条，

由三条线段组成的线段有4条，

由四条线段组成的线段有3条，

由五条线段组成的线段有2条，

由六条线段组成的线段有1条，

共有线段：

6＋5＋4＋3＋2＋1

=（6＋1）×6÷2

=21（条）

答：

题

（1）中有10条线段。

题

（2）中有21条线段。

这种先分类，再排序的方法称为分类排序法。

这样排序，不易遗漏和重复。

由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四个基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：

4＋3＋2＋1。

如果有N个点，线段总数为（N－1）＋（N－2）＋…＋3＋2＋1=N×（N－1）÷2条。

找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。

学习题2

在∠AOB内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？

分析：

这问题类似于上一题。

8条射线加上∠AOB的两条射线，一共有10条基本线，从而进行计数训练。

B

OA

解：

10×9÷2=45（个）

此类计数可用公式：

S=N（N－1）÷2来解题。

如：

N=10，S=10×（10－1）÷2

=10×9÷2

=45

答：

图中一共有45个角。

学习题3

数一数图中一共有几个长方形？

分析：

图中共有横向的线段共有：

4×（4－1）÷2=6（条）

纵向的线段共有：

3×（3－1）÷2=3（条）

解：

6×3=18（个）

答：

图中共有18个长方形。

学习题4

如图：

1.   如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？

2.   现在有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？

分析：

根据图示可以得到规律，底层与总数的关系有：

底层2、总数4；底层3、总数9；底层4、总数16……。

而22=4、32=9、42=16……，就是：

底层的个数正好等于的平方正好等于小三角形的总数。

解：

（1）下层有11个三角形，共有

11×11=121（个）

（2）因为13×13=169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个三角形。

练一练：

1.   线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？

2.   下图中共有多少个三角形？

3.   把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。

（1）如果叠成5层，周长是（）厘米。

（2）如果周长是120厘米，共有（）层。

简便计算

简便计算，就是用比较简便、巧妙的方法来计算，也称为巧算。

简便计算常用的技巧有“拆”与“凑”。

在这一讲，我们先举例说明整数、小数计算中应怎样“拆”和“凑”。

提到“拆”和“凑”，你一定想到“凑整”或拆成的两部分中含整十、整百、整千……的数。

比如，要求59998+499995+2998+506+69的和，可把每个加数分别拆成“60000－2”、“500000－5”、“3000－2”、“500+6”、“70－1”，然后再算出（500000+60000+3000+500+70）－（2+5+2+1）+6的结果。

这当然就简便多了。

熟练地掌握四则运算的定律、性质，以及特殊数的分解（比如100=4×25，1000=8×125，111=37×3，1001=7×11×13等）对审题很有好处。

[例1]计算38×25×6

[分析]38和6都含有因数2，把它们拆开后，再使两个2和25相乘，就能得到100。

[解]38×25×6

=19×2×25×2×3

=19×（2×25×2）×3

=19×100×3

=5700

[例2]计算1999+999×999

[分析]由“+”后面有两个999相乘，应想到把1999拆成“1000+999”；又由这里的1000，容易想到把999作为公因数提取出来（把乘法分配律反过来用）以把1与999凑成1000了。

[解]1999+999×999

=1000+999+999×999

=1000+（1+999）×999

=1000×（1+999）

=1000000

[例3]计算11.8×43－860×0.09

[分例]观察题目中的每个数,我们发现：

860=43×20，把860拆成43与20的积以后，20与0.09结合（乘法结合律）起来，得1.8。

由于“－”前后都出现43，所以，用乘法分配律可以巧算。

[解]11.8×43－860×0.09

=11.8×43－43×20×0.09

=11.8×43－1.8×43

=（11.8－1.8）×43

=430

上面几个例子说明，什么情况下“拆”（或“凑”），怎么来“拆”（或“凑”）。

不能只看某一个数，而应根据算式中的运算符号、数据特点及数与数之间的关系，合理选择。

这就需要仔细观察，总体考虑。

“拆”和“凑”的方法很多，请同学们自己在练的过程中注意总结。

对于计算题，能够简算的要尽可能简算。

但计算题不一定都可以简算。

这就告诉同学们，不能只重视技巧而忽视基本题或过程稍繁的计算题。

要练好计算基本功，首先要熟练掌握基本的运算法则、运算定律、性质；还要通过一定量的训练，切实消灭差错，提高正确率。

由于基本的运算法则和定律课本上已作介绍，一般计算题同学们也练得较多，这里就不再重复了。

练一练：

1、计算下面各题

（1）

（1）   1994+997×997

（2）

（2）   10476+748+524+252

（3）（3）   7.5×27+19×2.5

（4）（4）   1993+199.3+19.93+1.993

（5）（5）   7.7×19870+1001+25

（6）（6）   76×125×68

（7）（7）   957+792－（431+392）+39

（8）（8）   （998+379+158）－（997+378+157）

（9）（9）   9－0.9－0.09－0.009－0.0009

（10）（10）   41.2×8.1+11×1.25+537×0.19

2、已知12+22+32+……+92+102=385。

求1×2+2×3+3×4+……+10×11

算式谜

（一）

算式谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。

这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开（“猜出”）这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确的推理、判断。

[例1]把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字填入下面的小方格中，使三个等式都成立。

□＋□=

□－□=

□×□=□□

[分析]在0—9这十个数字中，0是个特殊的数，它具有这样的性质：

①a+0=a②a－0=a；③a×0=0。

所以，0不能出现在前两个等式中，也不能出现在第三个等式的“=”左边，只能在第三个等式“=”右边的个位上。

从而，可推知第三个等式左边有一个因数是5，这样，第三个等式可能是：

5×2=105×4=205×6=305×8=40这四种情况。

下一步是根据上面四种情况，一一试验。

比如，第一种情况下，5×2=10用了0、1、2、5四个数字，剩下3、4、5、6、7、8、9，这六个数字不能组成前两个等式。

同样道理，可排除掉5×6=30、5×8=40这两种。

[解]3+6=98－1=75×4=20

[例2]9○13○7=10014○2○5=□

把＋、－、×、÷分别填入上面两个等式的4个“○”中，并在“□”内填上适当的整数，使上面两个等式都成立。

[分析]9、13、7都比100小得多，它们的和也比100小。

看来，在第一个等式的两个“○”中要考虑填一个“×”。

但9×13－7不等于100，只有9+13×7=100。

下面剩下“÷”和“－”，因为“□”中的数是整数，所以，“÷”只能填14与2之间的“○”内。

[解]9+13×7=10014÷2－5=2

解算式谜，一般是人某个数的首位或末位数字上寻找突破口。

推理时应注意：

（1）   算式谜中的文字、字母或其它符号，只取0—9中的某个数字；

（2）   要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐藏条件；

（3）   必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法）；逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；

（4）   算式谜解出之后，最好验算一遍。

练一练：

1、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个不同的数字分别填在○中，使下面的三个算式成立。

○+○=○○－○=○○×○=○

2、将0、1、2、3、4、5、6填到下列只有一、两位数的算式中，使等式成立。

○×○=○=○÷○

3、将1—9九个数字填入下面九个“○”中，使等成立。

（第⑵式中已填两个数字）

（1）   ○○○×○○=○○×○○=5568

（2）   ○×○－○=⑨⑥÷○○＋○=○

算式谜

（二）

我们接着上一讲举例说明解复杂的算式谜的方法。

[例1]解算式谜

285

×□□

1□2□

□□□□

□9□□

[分析]设乘数为xy,根据285×y=1□2□，可推知4≤y≤7，也就是说，y可能取4、5、6、7这四个数中的一个。

但是，285×4，285×6，285×7所得的积的十位上都不是2。

因此，只有y=5。

这样就填出了第一个部分积（1425）；

又因为285×x≤999，所以，x≤3，当x=1、x=2时，第二个部分积与第一个部分积相加，和的百位上不是9。

因此，只有x=3。

[解]原式为

285

×35

1425

855

9975

[例2]解算式谜：

*　*　8　*　*　

*　*　*）*　*　*　*　*　*　*　*

*　*　*　　　　　　

*　*　*　*

*　*　*　　　　

*　*　*　*　

*　*　*　*　

　　　　　　　　　　　　　　0

[分析]设除数为abc，商为xy8mn.。

从上面竖式中容易看出：

y=m=0，并且有8×abc＜1000，从面推知：

abc＜125。

这样，7×abc＜900（7×125=875）。

但是，除式中第一次减法所得的差只是一个两位数，这就说明x×abc＞900，但x×abc＜1000。

这就是说7＜x≤8从而，x=8。

以因为8×abc＜1000，而n×

abc≥1000这就推得：

n=9。

所以商为80809。

再从整个除法竖式可以看出：

80809×abc＞10000000推得：

abc＞10000000÷80809也就是abc＞123。

而上面已推知abc＜125，只有一种可能：

abc=124。

[解]简写成横式：

10020316÷124=80809

[例3]“迎春杯”三个字分别代表不同的数字。

请根据：

迎＋春2=迎春（迎＋春）2=迎杯

这两个等式，推出“迎春杯”三字代表的数字之和是。

[分析]由第二个等式可以估计：

两位数（迎杯）可能是4，5，6，7，8，9的平方。

逐个试验后，得：

（8＋1）2=81。

再由第一个等式可推知：

72≤春2≤81。

[解]（留给同学们自己完成，答案是18）

解较复杂的算式谜经常需要试验，但这种试验很有讲究，也就是要尽可能缩小试验的范围。

这就需要运用我们曾经介绍的估算方法。

要注意通过全面细致的观察，发现或推出有关的隐藏条