概率论与数理统计习题集及答案.docx

概率论与数理统计习题集及答案.docx

《概率论与数理统计习题集及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计习题集及答案.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论的基本概念

§1.1随机试验及随机事件

1.

（1）一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：

S=；

（2）一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：

S=；

2.

（1）丢一颗骰子.A：

出现奇数点，则A=；B：

数点大于2，则B=.

（2）一枚硬币连丢2次，A：

第一次出现正面，则A=；

B：

两次出现同一面，则=；C：

至少有一次出现正面，则C=.

§1.2随机事件的运算

1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

（1）A、B、C都不发生表示为：

.

（2）A与B都发生,而C不发生表示为：

.

（3）A与B都不发生,而C发生表示为：

.（4）A、B、C中最多二个发生表示为：

.

（5）A、B、C中至少二个发生表示

7,则其中一颗为1的概率是。

2.已知则。

§1.6全概率公式

1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

§1.7贝叶斯公式

1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求

（1）该厂产品能出厂的概率，

（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。

2．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，

B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:

2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

§1.8随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

AB

LR

CD

3.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率:

（1）恰好命中一次,

（2）至少命中一次。

第1章作业答案

§1.11：

（1）；

（2）

2：

（1）；

（2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正}。

§1.21：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）或；

2：

（1）；

（2）；（3）；

（4）或；（5）。

§1.31：

（1）=0.3,

（2）=0.2,（3）=0.7.2：

）=0.4.

§1.41：

（1）,

（2）（,（3）1-（.

2：

.

§1.51：

.2/6；2：

1/4。

§1.61：

设A表示第一人“中”，则P（A）=2/10

设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）

=

两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。

2：

随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：

p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45

§1.71：

（1）94%

（2）70/94；2：

0.993；

§1.8.1：

用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=AB∪CD,

从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）

=P（A）P（B）+P（C）P（D）–P（A）P（B）P（C）P（D）

2：

（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38；

（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

1一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球

中的最大号码.,试写出X的分布律.

2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数,试写出X的分布律。

§2.2分布和泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；

（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；

（3）每分钟最多有1次呼叫的概率；

2设随机变量X有分布律：

X23,Y～π（X）,试求：

p0.40.6

（1）P（X=2,Y≤2）；

（2）P（Y≤2）；（3）已知Y≤2,求X=2的概率。

§2.3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻

（1）恰有2台计算机被使用的概率是多少？

（2）至少有3台计算机被使用的概率是多少？

（3）至多有3台计算机被使用的概率是多少？

（4）至少有1台计算机被使用的概率是多少？

2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？

§2.4随机变量的分布函数

1设随机变量X的分布函数是：

F（x）=

（1）求P（X≤0）；P；P（X≥1），

（2）写出X的分布律。

2设随机变量X的分布函数是：

F（x）=,求

（1）常数A,

（2）P.

§2.5连续型随机变量

1设连续型随机变量的密度函数为：

（1）求常数的值；

（2）求X的分布函数F（x），画出F（x）的图形，

（3）用二种方法计算P（-0.5

2设连续型随机变量的分布函数为：

F（x）=

（1）求X的密度函数，画出的图形，

（2）并用二种方法计算P（X>0.5）.

§2.6均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布,求方程4+4Kx+K+2=0

有实根的概率。

2假设打一次电话所用时间（单位：

分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：

（1）超过10分钟的概率；

（2）10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布

1随机变量X～N（3,4）,

（1）求P（22）,P（X>3）；

（2）确定c，使得P（X>c）=P（X

2某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P（120

§2.8随机变量函数的分布

1设随机变量的分布律为；X012

p0.30.40.3

Y=2X–1,求随机变量的分布律。

2设随机变量的密度函数为：

，

；求随机变量Y的密度函数。

3.设随机变量服从（0，1）上的均匀分布，，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§2.11：

X345

p0.10.30.6

2：

X12345

p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1

§2.21：

（1）P（X=1）=P（X≥1）–P（X≥2）=0.981684–0.908422=0.073262,

（2）P（X≥1）=0.981684,

（3）P（X≤1）=1-P（X≥2）=1–0.908422=0.091578。

2：

（1）由乘法公式：

P（X=2,Y≤2）=P（X=2）P（Y≤2|X=2）=0.4×（）=2

（2）由全概率公式：

P（Y≤2）=P（X=2）P（Y≤2|X=2）+P（X=3）P（Y≤2|X=3）

=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458

（3）由贝叶斯公式：

P（X=2|Y≤2）=

§2.31：

设X表示在同一时刻被使用的台数，则X～B（5,0.6）,

（1）P（X=2）=

（2）P（X≥3）=

（3）P（X≤3）=1-（4）P（X≥1）=1-

2：

至少必须进行11次独立射击.

§2.41：

（1）P（X≤0）=0.5；P=0.5；P（X≥1）=0.5，

（2）X的分布律为：

X-11

P0.50.5

2：

（1）A=1,

（2）P=1/6

§2.51：

（1），

（2）；

（3）P（-0.5

或=F（0,5）–F（-0.5）=。

2：

（1）

（2）

§2.61：

3/52：

§2.71：

（1）0.5328,0.9996,0.6977,0.5；

（2）c=3，2：

σ≤31.25。

§2.81：

Y-113

p0.30.40.3

2：

，3：

；

第3章多维随机变量

§3.1二维离散型随机变量

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量的联合分布律为：

XY012

试根椐下列条件分别求a和b的值；00.10.2a

（1）；10.1b0.2

（2）；（3）设是的分布函数，。

§3.2二维连续型随机变量

1.的联合密度函数为：

求

（1）常数k；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）；（3）P（X+Y<1）；（4）P（X<1/2）。

2．的联合密度函数为：

求

（1）常数k；

（2）P（X+Y<1）；（3）P（X<1/2）。

§3.3边缘密度函数

1.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。

2.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。

§3.4随机变量的独立性

1.（X,Y）的联合分布律如下，XY123

试根椐下列条件分别求a和b的值；11/61/91/18

（1）；2ab1/9

（2）；（3）已知与相互独立。

2.（X,Y）的联合密度函数如下，求常数c，并讨论与是否相互独立？

第3章作业答案

§3.11：

XY122：

（1）a=0.1b=0.3

10.40.30.7

（2）a=0.2b=0.2

20.30.0.3（3）a=0.3b=0.1

0.70.31

§3.21：

（1）k=1；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）=1/8；（3）P（X+Y<1）=1/3；（4）P（X<1/2）=3/8。

2：

（1）k=8；

（2）P（X+Y<1）=1/6；（3）P（X<1/2）=1/16。

§3.31：

；

；

2：

；；

§3.41：

（1）a=1/6b=7/18；

（2）a=4/9b=1/9；（3）a=1/3,b=2/9。

2：

c=6,X与Y相互独立。

第4章随机变量的数字特征

§4.1数学期望