浅谈如何提高数学解题能力.docx

浅谈如何提高数学解题能力.docx

《浅谈如何提高数学解题能力.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈如何提高数学解题能力.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

浅谈如何提高数学解题能力

浅谈如何提高数学解题能力

陕西教育学院04数本陈勇

解题能力的高低是衡量数学能力强弱的重要标志，提高学生解题能力是数学教育的主要目标。

“解题是数学的心脏”。

解数学问题是学习数学的重要环节和基本途径。

对待一个数学命题，首先需要考虑的是：

探索解决它的途径，给出它的严格证明或解法。

或读懂前人已有的论证或解法中，常会受到某种启迪，也可能从中总结出值得借鉴的经验。

但如果仅仅会读、会证或会解，很难达到深入理解，更谈不上灵活运用。

数学是“思维的体操”，仅仅读懂、会证、会解，能力的培养也只能停留在初级阶段。

可见，读懂、会证、会解之后，还要继续深入思考并作许多方面的探索。

弄清问题的来龙去脉，进而适当变换题目的形式，如寻求多种证法、解法，以广开思路，增强分析和理解能力，为灵活运用奠定基础，再广泛联想，从横向对比中挖掘出联系，甚至由此发现巧妙的解法……

我以为要提高数学解题能力，必须做到以下几个方面：

一、一题多解，广开思路，培养思维的发散性。

发散性思维是从某一点出发，不依常规，寻找变异进行放射性联想，从多方面寻求答案的思维。

发散思维又叫求异思维，求异是创造的核心。

所谓一题多解就是同一个题目，因思考的角度不同，可得到多种不同的思路，广泛寻求不同的解法，有助于拓宽解题思路，发展思维能力。

一题多解有利于培养学生综合运用数学知识的能力，一题多解能使我们广泛地、综合的应用基础知识，提高基本技能，更有效的发挥逻辑思维，提高全面分析问题的能力，找到最便捷的解题途径，又能增强学习数学的兴趣。

对于一个题目，寻求多种证法，即能广开思路，以收培养发散思维，又可帮助我们加深对问题的认识。

因为不同的解法往往是从各自的侧面，相异的渠道反映出条件与结论间的联系。

解法的繁简，实质上又是联系紧松、深浅的标志，而奇解、妙法则是发现某种新的联系的反映。

因而寻求多种解法或证法是培养能力的重要方面。

例１、已知：

如图，在⊙Ｏ直径AB延长线上取一点C作CD切⊙O于E，连接AE并过点E作EF⊥AB于F。

求证：

AE平分∠DEF

分析：

此题有四种证法

证法1：

连接BE，由AB为直径得∠AEB＝90º

AB为⊙Ｏ直径＝>∠AEB＝90º

∠AED+∠AEB+∠BEC＝180º

＝>∠AED+∠BEC＝90º

∠A=∠BEC＝>∠AED=∠AEF

EF⊥AB＝>∠AEF+∠A＝90º

证法2：

连接OE

EF⊥AB＝>∠AEF+∠A＝90º

CD为⊙O切线

＝>∠AED+∠AEO＝90º＝>∠AED=∠AEF

OE为半径

OE=OA＝>∠AEO=∠A

证法3：

延长EF交⊙O于M,连接AM,

EF⊥AB

＝>EF=FM

AB为⊙Ｏ直径＝>AM=AE＝>∠AEM=∠M

＝>∠AEM=∠AED

AF⊥ME∠AED=∠M

证法4：

过点A作⊙Ｏ切线AD交CE延长线于D

AF为⊙Ｏ切线

＝>AD=DE＝>∠AED=∠DAE

DE为⊙Ｏ切线

AD为⊙Ｏ切线＝>∠AEF＝∠AED

＝>AD⊥AB

AB为⊙Ｏ直径＝>AD∥EF＝>∠AEF＝∠AED

EF⊥AB

二、一题多变，应机思索，培养思维的灵活性。

对于一个数学题，解完后还应考虑能否能一题多变，一题多变是题目结构的变式，指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度不同方面揭示题目的实质。

用这种方法考虑问题可随时根据变化了解情况，积极进行探索，迅速提出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

一题多变可以改变条件，保留结论；可以保留条件，改变结论；可以同时改变条件和结论；也可以将某项条件和结论对换。

从一题多变中抓住问题的核心，揭示问题的根本原因，掌握问题的根本原因，是数学思维得到训练和发展。

例：

如图，PA切圆于A，PA=PB，线段BCD是圆的割线，DP交圆于E，BE交圆于F，连接CF。

求证：

CF∥BP。

证明：

由切割线定理有PA2=PE·PD

BP=PA

=〉BP2=PE·PD

=〉

=

=〉△PEB∽△PBD

∠BPD=∠BPD

=〉∠1=∠D

=〉∠1=∠F=〉BP∥CF

∠D=∠F

可将此题作如下几种变化：

1、如果假设点A、P、B在一条直线上，其他条件不变圆求证结论CF∥BP是否成立？

证明过程同上。

2、若把CF∥BP换成条件，把PA=PB换成结论，所得题目是否成立？

证明：

CF∥BP=〉∠1=∠F

=〉∠1=∠D

∠F=∠D=〉△PEB∽△PBD

∠2=∠2

=〉

=

=〉BP2=PE·PD

=〉PA2=PE·PD

AP=PB

若能这样把题目演变，使题目由一道题变为一类题，他们的解法彼此具有紧密的联系，能起到举一反三、逐类旁通的作用，而这正是思维灵活性得到形成的体现。

三、多题一解、透表求里，培养思维的深刻性。

解数学题时，经常会遇到一些题目，表面上看互不相干，但实质上结构相同，因而他们可以用同一种方法解答，将这类题归类分析，可透表及里，从而自觉注意到从本质上看问题，以形成思维的深刻性。

例1、如图1：

从C点测旗杆AB的仰角为30°，前进10米到点D，从点D测旗杆AB的仰角为60°，求旗杆AB的长。

例2、如图2，圆形暗礁群半径为4.8海里，在礁群中心有一灯塔A，某船在点C处测得灯塔在北偏东30处，前进10海里到D处，测得灯塔在北偏东30°处，问船继续向东航行，能否触礁？

例3、如图3：

山上有一铁塔高10米，从点A测得点C仰角为60°，点D仰角为30°，求AB长。

分析：

这三代题可用一种解法来解。

解法1：

如图：

∵∠ADB=∠C+∠CBD

∠C=30°∠BDA=60°

∴∠CBD=60°-30°=30°

∴∠C=∠CBD

∴BD=CD=10

在Rt△ABD中有sin∠BDA=

∴AB=BD·sin∠BDA=10·sin60=5

解法2：

设AB=x

在Rt△ABD中有cot∠BDA=

∴AD=AB·cot∠BDA

AD=x·cot60°=

·x

在Rt△ABC中有

tanC=

即tan30°=

解得：

x=5

探求这些题目同一解法的过程中，实践了从事物间相同与变异矛盾的统一中认识事物的本质，可防止和减少表面性和绝对化毛病，从而形成思维的深刻性。

四、寻找源头，弄清问题的“来龙”。

数学的发展与社会的发展不同，即使缺乏资料，亦可从题目间的逻辑联系去分析，去推断，倘若执果寻因，联系合情又合理，则是成立的，因为实际的发展，有时难免走弯路，而逻辑的必然联系，比曲折的事实对我们更有启迪，所以追溯源头，对深钻数学及数学教学都很有必要，很有价值。

例2：

如图，正方形ABCD边长为8，DE＝2，在AC上找一点P，使PD＋PE最小。

分析：

可看作

的变形，而

是八年级课本上的例题，要在l直线上找一点P使AP+PB最小，作A关于l对称点C,连接BC交l于P点即可,

中B于D关于AC对称,连接BE交AC于P,则P为所求点。

五、变形推广，看出问题的“去脉”。

每年中考会上反复强调：

“相当数量中考题都来源于课本的例题、习题或稍做改造、或拼合、或稍做提高。

使常规题型、常见思路、常用方法在试卷中占主导地位。

即中考题目是对书本题目变形或由书本的题目组合而成，也有将书中题目与实际结合起来而编的。

为了适合中考的要求我们每做完一个题后应考虑它能做哪些变化，或如何引申或可与那些题目结合而成新的题目，以探究问题的去脉，从而达到将每个问题作以可能的延伸。

从而将所学的知识尽可能的推广，使自己将知识学活，也可将题目与实际结合起来以加强解决问题的能力。

对于初学的学生，最忌陷入单纯、枯燥的推理之中，如果能把某些推理与结论同生活实际联系起来，就会使初学者倍感亲切又趣味无穷，从而就会消除推理的枯燥，从而主动，积极地去学好数学；如果一个有趣的题目，初看难如上青天，甚至怀疑不可能解决，一旦得到解决，方法之妙又简单出奇，令人拍案叫绝。

这不仅激发了学生的极大兴趣，又感到数学之美。

许多问题，单就题目的本身，往往很难弄清其中的奥秘，如果适当变形推广，就会豁然贯通。

例3、如图：

AB是⊙Ｏ的直径,CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F。

求证：

EC=DF

证明：

过圆心O作OM⊥EF于点M

OM过圆心O

=>CM=MD

OM⊥CD

BF⊥EF

OM⊥EF=>AE∥OM∥BF

AE⊥EF=>EM=MF

OA=OB

=>EM-CM=MF-MD

=>EC=DF

六、变形转化，寻找问题的“去脉”。

唯物辩证法指出客观事物是发展变化的，各事物间有种种联系、各种矛盾在一定条件下可相互转化，数学解题也不例外。

转化，是数学研究中克服难关的利器。

如：

初等变换在解几何证明题能将比较复杂的题目转化得比较容易。

转化，还是数学重大发现的思维方法。

如：

解析几何就是通过坐标，把几何对象转化成数和方法，从而使众多的几何问题可用代数运算去统一解决，可以说，解析几何这门重要的数学分支，为“转化”树立了一座光彩夺目的丰碑。

在解题中转化更是广为运用的法宝，面临一些难题，或推理中遇到难关而一筹莫展时，一旦找到适当的转化，难关就会变成易行的大道；有时冗长的推导或复杂的演算令人头痛，倘若找到巧妙的转化，简明的论证、简练的演算又会让人拍案叫绝；更多的时候，题目的陌生，让人不知如何下手，一经转换而现其原貌，却原来是我们已经解过的题型。

由此可见，转化在解题过程中常能收到化难为易，以简驭繁、变生为熟的效果，值得我们去摹仿、搜索，从而很好地掌握这一锐利的武器。

总之，在解题过程中，我们既应对未知结论或已知条件进行变形，尤应善于对于各个问题进行变形。

另外熟悉化、简单化和直观化是一切转化方法应遵循的基本原则，而转化的方向应该是由未知向已知、由难向易、化繁为简、从抽象到具体、化一般为特殊，同时又须由特殊到一般。

例４、如图：

下图三个圆是同心圆，OA＝1，求阴影部分的面积

分析：

将三个阴影旋转在同一象限，则它们之和是大面积的1/4，即S阴影＝л/4

七、广泛联想——妙法诞生之源。

联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现，是由一种事物想到另一事物的心理过程。

客观事物总是相互联系的。

具有不同联系的事物反应在人脑中就形成了各种不同的联想。

在教育教学中应用联想，能使学生进一步了解数量关系，促进思维的灵活性，特别是发展学生的创造性思维有很重要的作用。

联想是回忆旧知识发现新知识的重要手段，是联系新旧问题的桥梁。

在解题中是不可缺少的心理活动，如缺乏联想就不容易找到解题所需的定义、定理、公式、法则及思想方法，就难以建立题设条件与解题目标间的联系，解题会遇到困难，可见，联想在解题中是十分重要的。

联想分为：

接近联想、类比联想、关系联想、逆向联想、横向联想。

在具体应用时要结合题目特点与前面学习的有关知识的联系中灵活运用以上各种联想解题。

数学是思维的体操，发现问题、探索思路，都是这项体操锻炼的重要内容，而发现、探索都离不开广泛的联想。

不论什么问题，只要有路可循，无论如何复杂、曲折，总可以达到目的。

最伤脑筋的则是面对问题茫茫然，不知从何下手。

其原因不外是遇到的题目，其面貌与我们所学的知识、会做的题型相差悬殊，或与我们掌握的解题方法联系不上，解题之难，也就在于没有一个普遍又行之有效的办法，去打破这无从下手的窘况。

这时不妨跳出原来局限的范围，联想到与之相近的知识或类似的问题，并着力去发掘它们内在的联系，由此及彼，以收“他山之石，可以攻玉”的效果，甚至联想到与它的反面进行对比，相反相成，受到有益的启示。

如此这般进行了联想，就有可能出现柳暗花明的局面。

因此，当我们面临难题，百思不得其解时，广泛的进行联想，是值得一试的法宝。

例５、如图：

E、F为四边形ABCD边AD与BC中点BA、FE、CD的延长线分别交于H、G，且AB＝CD。

求证：

∠H=∠FGC

分析：

本题初看无法下手，但如果能想到将四边形转化为三角形及　　　　　　　　　　　见了中点想到中位线结合起来，本题就迎刃而解了。

证明：

连接AC，作EP∥DC交AC于P，连接PF。

　　　EP∥DC

＝>AP=PCEP=DC/2

AE=ED＝>

　AE=DEEP∥DC＝>∠PEF=∠FGC

同理：

PF∥AB＝>∠H=∠EFP

PE=

PE=

ED=

＝>PE=PF＝>∠PEF=∠PFE

AB=DC∠PEF=∠FGC＝>∠H=∠FGC

∠H=∠EFP

即使有好的解法，甚至多种解法，也不排斥还存在更好的方法。

因此，广泛的联想，就有助于我们做出新的发现。

以上种种，是笔者借鉴书本和自己教学实践中摸索出来的。

实践也证明，我的大胆尝试结出了丰硕的果实，因此我把他编写出来，和各位同仁一起分享。

当然学海无涯，教海亦无涯。

我衷心的希望在以后的教学中与各位同仁继续努力，全面提高学生的解题能力探索出更加快捷的解题方法。

以上几点是我在教学实践中反复尝试的结果，我深刻地认识到要提高学生解决数学问题的能力，必须抓住学生思维核心培养，锻炼学生思维的发散性、灵活性、深刻性和创造性。

抓住数学知识的内在联系，广泛联想，积极思考。

在不断的实践中逐步提高分析问题，解决问题的能力。

教学实践中我这样做虽然取得了一些成绩，收到了良好的效果，但提高学生数学解题能力是一个长期反复训练的过程，需要我问在今后的教学中坚持不懈的努力与探索。

[参考文献]：

1、李长明，周焕山《初等数学研究》

2、钟善基，孙瑞清《初等几何教材教法》

3、李建国《几何变换》

浅谈如何提高数学解题能力

[摘要]

提高学生数学解题能力是数学教育的主要目标。

在实践中我们抓住培养学生思维这个核心，采取一题多解的形式，广开思路，应机思索，透表及里，培养思维的发散性、灵活性、深刻性。

培养学生的解题能力，抓住数学知识的内在联系，寻找源头，弄清问题的“来龙”，变形推广、转化，理出问题的“去脉”，进一步提高解题能力。

针对复杂问题，广泛联想，寻找多种解题的思路，培养学生积极地创造性思维，提升学生解题水平。

取得了明显的效果，不仅发展了学生的思维，也全面提高了学生的解题能力。

[关键词]

提高数学解题能力