小学奥数全部知识点练习题.docx
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小学奥数全部知识点练习题
一、计算~
（一）分数裂项-知识点：
1、裂差公式：
2、裂和公式：
2、例题：
例1：
例2：
例3：
例4：
例5：
例6：
例7：
例:
8：
“！
”表示一种运算符号，它的含义是2！
=2×1；
3！
=3×2×1；
，计算
例9：
练习：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、比较分数大小：
（1）分数
中，哪一个最大？
（2）从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？
；
（3）若A=
，比较A与B的大小。
（4）比较
一、计算~
（二）常用计算公式知识点：
1、等差数列：
项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+（项数+1）×公差
求和=（首项+末项）×项数÷2
当等差数列为奇数项时，可以用中间项定理：
和=中间项×末项
（1）
（2）
2、平方和公式：
3、立方和公式：
4、平方公式
（1）平方差公式
（2）完全平方和（差）公式
2、习题：
1、
2、1234567×1234567-1234566×1234568=
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
一、计算~（三）小数和分数的互化
1、纯循环化成分数：
循环节有几位小数，则分母有几个9，分子就是循环节。
2、混循环小数化分数：
分母9的个数=循环节小数位数，分母0的个数=非循环节小数位数，分子=分数部分-非循环部分小数。
3、神秘组织：
142857是分母是7的分数的循环节数字，分子是1的，第一位是最小的，按此规律排列。
例1：
0.01＋0.12＋0.23＋0.34＋0.78＋0.89
例2：
例3：
将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
位小数是多少？
例4：
冬冬将
乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比结果减少了
，正确结果应该是多少？
一、计算~（四）进制问题
1、常见进制：
二进制、十进制、十二进制、十六进制、二十四进制、六十进制.
2、二进制：
只使用数字0、1，在计数与计算时必须是“满二进一”，例如，（9）10＝（1001）2
3.十进制转n进制：
短除、取余、倒写.例如：
（1234）10=（1200201）3
4.n进制转十进制：
写指、相乘、求和。
例如:
（1011）2=1×23+0×22+1×21+1×20=（11）10
5.关于进位制
⑴本质：
n进制就是逢n进一；
⑵n进制下的数字最大为（n-1）,超过9用大写字母代替。
例1：
⑴将（2009）10写成二进制数
⑵把十进制数2008转化为十六进制数；
例2：
把下列各数转化成十进制数：
⑴（463）8；⑵（2BA）12；⑶（5FC）16.
例3：
①（101）2⨯（1011）2-（11011）2=（）2
②（11000111）2-（10101）2÷（11）2=（）2
③（3021）4+（605）7=（）10
④（63121）8-（1247）8-（16034）8-（26531）8-（1744）8=）8
（）8
例4：
用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果（ade）,（adc）,（aab）是由小到大排列的连续正整数，那么（cde）5所表示的整数写成十进制的表示是多少？
二、计数原理~
（一）容斥原理：
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
1、（两张饼）原理一：
大饼=A+B-AB
2、（三张饼）原理二：
大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
口诀：
奇层加，偶层减。
3、原则：
①消重；②不消不重；
4、考点：
①直接考公式；
②直接考图形；
③锅内饼外=全部-大饼上的数量；
④三叶草=AB+AC+BC-ABC
5、解题方法：
①文氏图法；
②方程法；
③反推法；
例1：
一个班有48人，班主任在班会上问：
“谁做完语文作业？
请举手！
”有37人举手。
又问：
“谁做完数学作业？
请举手！
”有42人举手。
最后问：
“谁语文、数学作业都没有做完？
”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习1：
网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：
两个项目都参加的有多少人？
练习2：
网校老师60人组织春游。
报名去香山的有37人，报名去鸟巢的有42人，两个地点都没有报名的有8人，那么只报名其中一个地点的有多少人？
例2：
在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。
那么只喜欢唱歌的有多少人？
练习1：
学校组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？
练习2：
五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。
其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数？
例3：
网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？
（锅内饼外）
练习1：
在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？
2、计数原理~
（二）加乘原理：
1、加法原理：
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
每一种方法都能够直接达成目标。
2、乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、区分两原理：
要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。
例1：
用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？
例2：
由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有多少个？
例3：
一个七位数，其数码只能为1或3，且无两个3是邻的。
问这样的七位数共有多少个？
例4：
在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？
3、加乘原理——标数法、递推法
①标数法与递推法都是加法原理
②按最后一步进行分类，做加法
③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数
例1：
如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？
例2：
在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角线的方向向右上走任意多步，但不能不走。
那么走到右上角一共有多少种方法？
例3：
一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
例4：
一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最多把平面分成几部分？
二、计数原理~（三）概率
1、随机事件：
在一次试验中，可能出现也可能不出现，但是具有规律性的事件。
2、概率：
随机事件可能发生的可能性的度量，一般用P来表示，特例：
必然事件：
P=1；不可能事件：
P=0；
3、独立事件：
事件1是否发生对事件2发生的概率无影响；
4、互斥事件：
不可能同时发生的两件事件；
5、对立事件：
两个互斥事件必有一个发生；
6、概率的计算：
n表示试验中发生所有情况的总数，m表示事件A发生的次数。
7、概率具有可乘性。
计算概率的基础：
计数、枚举、加乘原理、排列组合。
例1：
一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色，每种花色各拿出2张，现在从这8张牌中任意取出2张。
请问：
这2张扑克牌花色相同的概率是多少？
例2：
编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是多少？
例3：
A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，这六人被抽中的概率分别为多少？
例4：
一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是多少？
二、计数原理~（四）排列组合
1、排列：
从n个不同元素中选出m个，按照一定的顺序排列，记为：
Anm=（n-1）（n-2）（n-3）....（n-m+1）
可以理解为从n开始乘，一共乘m个。
特殊要求，优先满足：
（1）捆绑法：
必须在一起；
（2）优先满足法：
特殊位置或特殊元素；
（3）插空法：
不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再在空里插必须要分开的元素。
（4）排除法：
正难则反；
2、组合：
从n个不同元素中选出m个，不需要按顺序排列，
记为：
Cnm=（n-1）（n-2）（n-3）....（n-m+1）/n!
可以写成：
Cnm=Anm/Amm；
重要性质：
Cnm=Cnm-n；Cnn=1；
方法：
（1）排除法：
有至少、至多等情况下用；
（2）隔板法：
相同物品放在不同位置或不同的人，要求至少一个，可以用隔板法。
例1：
计算
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
例2：
6个人走进有10辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？
例3：
书架上有3本不同的故事书，2本不同的作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排。
⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？
⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？
例4：
一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。
⑵串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。
例5：
八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？
⑴八个人站成一排；
⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头；
⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头；
⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。
例6：
大海老师把10张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳，并且决定给佳佳8张，给阳阳2张。
一共有多少种不同的分法？
例7：
一个小组共10名学生，其中5女生，5男生。
现从中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法？
例8：
一个电视台播放一部12集的电视剧，要分5天播完，每天至少播一集，有多少种不同的方法？
三、数论
（一）奇偶性
奇数
奇数=偶数；偶数
偶数=偶数；奇数
偶数=奇数；
奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数；
奇数个奇数相加减，结果是奇数；偶数个奇数相加减，结果是偶数；偶数无论多少相加减，结果都是偶数。
奇数不可能被偶数整除；
任意个数相乘，只要有一个因数是偶数，则积一定是偶数。
（二）质数合数：
1、质数明星：
2和5；
2、100以内质数：
25个；
3、除了2和5以外，其余的质数个位只能是1,3,7,9；
4、最小的四位质数：
1009；
5、判断较大数P是否为质数的方法：
（1）找一个比P大接近于P平方数K2；
（2）列出所有不大于K的质数去除P；
（三）因数定理：
1、因数个数定理：
（1）分解质因数，写成标准式；
（2）将每个不同的质因数的指数+1，然后连乘，得出个数；
2、因数和定理：
（1）分解质因数，写成标准式；
（2）将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂，求和，然后再将这些得到的和相乘；
3、因数积定理：
把因数从小到大配对相乘，奇数个因数时，最中间的因数直接相乘。
（四）整除
（1）末位系：
2、5、8,5、25、125的特征
1、末位是偶数，能被2整除；末位是0、5，能被5整除；
2、末2位能被4或者25整除，这个数就能被整除；
3、末3位能被8或者125整除，这个数就能被整除；
（2）求和系：
3、9、99的特征
1、数字和能被3或者9整除，这个数就能被3或者9整除；
2、把多位数，从个位开始，2位一段，各段数的和能被99整除，这个数就能被99整除。
（3）求差系：
7、11、13特征
1、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7或11或13整除,这个多位数就一定能相应被7或11或13整除．
2、一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11整除.
（4）拆分系：
将数分解质因数，看除数是否在因数的组合中。
（五）最大公因数，最小公倍数
假设数A和数B的最大公因数，写作（A，B）；最小公倍数写作[A，B]。
则A×B=最大公因数×最小公倍数
（六）余数
（1）带余除法被除数÷除数=商......余数，表示成：
余数要小于除数，如果大于除数，则再除以除数取余。
计算公式：
（1）被除数=商×除数+余数
（2）被除数-余数=商×除数
（3）（被除数-余数）÷商=除数
（2）余数三宝（余数定理）：
三大性质
余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的积等于积的余。
（3）余数两招：
加同和，减同差
同一个数分别除以两个数a和p，所得的余数分别为b和q，如果a+b=p+q,则加同和，这个数为ap+（a+b）；如果a-b=p-q,则为减同差，这个数为ap-（a-b）。
（4）弃九法
所以这个数能否被9整除只取决于数字和是否能被9整除，能被9整除的部分不用看，弃掉，所以称为弃9法。
（七）完全平方数
性质1:
完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.
性质2:
完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
性质3:
⑴偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数；
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然.特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方；
1、用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少?
2、从0~9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是谁？
（弃九法）
3、一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数
4、⑴220除以7的余数是多少？
⑵1414除以11的余数是多少？
5、算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的余数是多少？
6、⑴有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数.
⑵用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍.如果这个数大于1，那么这个数是多少？
7、一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是.
8、三个数p，p+1，p+3都是质数，它们的倒数和的倒数是多少？
9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数，要求每个数字恰好使用一次，请问，这些质数和的最小值是多少？
10、已知两个自然数的的差为4，它们的最大公因数和最小公倍数的积为252，求这两个自然数。
11、已知三个合数A、B、C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A+B+C的最小值是多少？
12、已知a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面算式：
（a+b）（c+d）e=2890，那么，这5个数中最大的数至多是谁？
13、2001个连续自然数的和为a×b×c×d，期中a、b、c、d均为质数，则a+b+c+d的最小值为多少？
14、有一列数，第1个数是1，从第2个起，每个数比它前面相邻的加3，最后一个数是100，将这列数相乘，则在计算结果的末尾中有多少个连续的“0”？
游戏对策问题：
1、桌子上放着55根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1～3根,规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜？
2、有100枚硬币,甲乙两人轮流取,每次取1~8枚,规定取到最后一枚的人获胜.请问:
甲先取,谁有必胜策略?
3、有10箱钢珠,每个钢珠重10克,每箱600个.如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克,那么,要找出这箱次品最少要称几次？
四、平面几何
（一）三角形
三角形的边：
①三角形任意两边之和大于第三边.
②三角形任意两边之差小于第三边.
按边分类：
等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
边和角的关系在同一个三角形中，等边对等角
例1：
如图：
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝
例2：
如图，八边形的8个内角都是135°，已知AB＝EF，BC＝20，DE＝10，FG＝30，则AH＝。
2、等积变形
（二）共角模型（鸟头模型）
（三）燕尾模型
（四）相似模型
（五）蝴蝶模型
1、任意四边形蝴蝶模型2、梯形蝴蝶模型
任意四边形：
①
或者
②
梯形：
①
②
；
③梯形
的对应份数为
（六）勾股定理
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
如右图：
a、b分别代表直角三角形ABC的两条直角边的长度，C为斜边的长度，则：
例1：
如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？
②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
例2：
如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是AC、BC和AD的中点。
求：
三角形DEF的面积。
例3：
如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
例4:
如图，在三角形ABC中,BC=8厘米，高是6厘米,EF分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
例5:
如图所示，在平行四ABCD中，E为AB的中点,AF=2CF，三角形AFE（图中阴影部分）的面积为10平方厘米。
平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
例6：
如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△ABC等积的三角形一共有哪几个三角形？
例7:
如图,ABCD为平行四边形,EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。
求三角形CDF的面积。
例8：
在梯形ABCD中，OE平行于AD。
如果三角形AOB的面积是7平方厘米，则三角形DEC的面积是平方厘米
例9：
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
例10：
如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求阴影部分的面积?
例11：
如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=CD=4，BE=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
例12：
如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？
例13：
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=BC；延长CA至F，使AF=2AC，求三角形DEF的面积。
练习1：
已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积。
练习2：
如图，在∠MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于多少？
练习3：
等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、HD、DC、AG、GE、EB的长?
练习4：
E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3。
求阴影部分的面积。
练习5：
如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使BC=2CE，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
练习6：
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为多少？
练习7：
如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求△AEG的面积。
练习8：
如图所示，长方形
内的阴影部分的面积之和为70，
，
，四边形
的面积为多少？
勾股定理
例题1：
求下面各三角形中未知边的长度。
例题2：
根据图中所给的条件，求梯形ABCD的面积。
例题3：
如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：
厘米）
例题4：
一个直角三角形的斜边长8厘米，两个直角边的长度差为2厘米，求这个三角形的面积？
练习1：
如图，在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ADB＋∠DBC＝90°。
请问：
四边形ABCD的面积是多少？
练习2：
从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？
巧求面积
1、边长分别为6、8、10厘米的正方形放在一起，求四边形ABCD的面积。
2、一块长方形的地，长是80米，宽是45米，如果宽增加5米，要使原来的面积保持不变，长要变成多少米？
3、一个长方形宽减少2米，或长减少3米，面积均减少24米，求原长方形面积？
4、如图，一块长方形纸片，长7厘米，宽5厘米，把它的右上角往下折叠，再把左
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