初中数学思想方法汇总.docx
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初中数学思想方法汇总
初中数学思想方法的概念、种类
及渗透策略分析
分类讨论思想
一、分类讨论思想的意义
当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，“分类讨论”,简言就是先分类，后讨论。
阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。
分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。
分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。
二、分类讨论的一般步骤是：
明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。
三、分类讨论思想的分类原则 ：
分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下4大原则:
（1）同一性原则
（2）互斥性原则（3）相称性原则（4）多层次性原则
四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点
上册：
1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。
下册：
1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、P112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。
五、典型例题
例1.（2011浙江中考）解关于x的不等式组：
a（
）>
>9a+8
例2已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为__或____。
练习：
已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
例2下列说法正确的是（ ）
A、 两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。
例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。
[练习] 已知∠AOB=60°,过O作一条射线OC，射线OE平分∠AOC，射线OD平分∠BOC，求∠DOE的大小
例4化简
练习：
设a是有理数，求a+
的值
例5：
甲、乙两人骑自行车，同时从相距75km的两地相向而行，甲的速度为15km/n，乙的速度为10km/n，经过多少小时甲、乙两人相距25km？
例6：
在同一图形内，画出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠COB的平分线，并求出∠DOE的度数
例7：
如图，长方体的长宽高分别为3、4、5，一只蚂蚁长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？
如果要爬行到顶点C呢？
说出你的理由。
六、练习题（菁优网期末考试题精选）
1.．阅读下列内容后，解答下列各题：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
例如：
考查代数式（x-1）（x-2）的值与0的大小
当x＜1时，x-1＜0，x-2＜0，∴（x-1）（x-2）＞0
当1＜x＜2时，x-1＞0，x-2＜0，∴（x-1）（x-2）＜0
当x＞2时，x-1＞0，x-2＞0，∴（x-1）（x-2）＞0
综上：
当1＜x＜2时，（x-1）（x-2）＜0
当x＜1或x＞2时，（x-1）（x-2）＞0
（1）填写下表：
（用“+”或“-”填入空格处）
（2）由上表可知，当x满足时，（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）＜0；
（3）运用你发现的规律，直接写出当x满足时，（x-7）（x+8）（x-9）＜0．
x＜-2
-2＜x＜-1
-1＜x＜3
3＜x＜4
x＞4
x+2
-
+
+
+
+
x+1
-
-
+
+
+
x-3
-
-
-
+
+
x-4
-
-
-
-
+
（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）
+
-
2．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=6cm，试回答下列问题：
（1）图甲中的BC长是多少？
（2）图乙中的a是多少？
（3）图甲中的图形面积的多少？
（4）图乙中的b是多少？
3．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：
第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场优惠的条件是：
每台优惠20%．
（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（3）什么情况下两家商场的收费相同？
4.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：
每月用气量
单价
不超出75m3的部分
2.5元/m3
超出75m3不超出125m3的部分
2.75元/m3
超出125m3的部分
3元/m3
（1）甲用户1月份的用气量为145m3，应缴费多少元？
（2）乙用户2、3月份共用气175m3（2月份用气量超过3月份），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？
5．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0．
（1）求a，b的值；
（2）在y轴上存在一点M，使△COM的面积=
△ABC的面积，求点M的坐标．
数学建模思想
一、数学建模思想的意义
数学建模思想，就是通过对实际问题的分析，抓住其本质，联想相应的知识，建立数学模型，利用数学知识解决问题的一种数学思想。
二、已学模型
1、一元一次方程；2、二元一次方程的整数解、正整数解；3、二元一次方程组；4、不等式（组）；（正整数解）5、假设法；（鸡兔同笼）6、用样本数据估计总体相应的数据。
7、列举法；8、算术法；
3、方法
在分析各种实际问题，抓其本质的过程中，了解各类问题的生活背景，感受数学模型在社会日常生活中的广泛应用，积累数学背景知识，体会数学阅读与文学阅读的区别（数学阅读是量的分析，文学阅读是字词的理解），提高阅读有数学背景的材料的能力，培养用合适的数学模型解决问题的能力。
四、典型题目（精选于菁优网七年级期末考试试卷）
感受数学应用的广阔背景吧！
经历选模、建模、解决问题的过程。
1．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高cm，放入一个大球水面升高cm；
（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
2．某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．
（1）问：
年降水量为多少万m3？
每人年平均用水量多少m3？
（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？
（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%．每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？
3．如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了27cm2的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为3cm2，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是．
4．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠FAD比∠FAE大48°，设∠FAE和∠FAD的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
5.某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？
每天有多少部新申请装机的电话？
6．某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米．现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米；做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米．本着最大限度使用现有布料的原则，请你设计这两种型号时装的生产方案（即两种型号时装分别计划生产的套数），有几种？
请写出来．
3
4
-2
7．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．
（1）求x，y的值；
（2）在备用图中完成此方阵图．
3
4
x
-2
y
a
2y-x
c
b
8．为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：
在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．
现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：
占地面积（m2/垄）
产量（千克/垄）
利润（元/千克）
西红柿
30
160
1.1
草莓
15
50
1.6
（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？
分别是哪几种？
（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？
最大利润是多少？
9.在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要踢满30场球赛．比赛规则规定：
胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，…积分排第15和第16名的球队降级（下赛季参加乙级联赛）．
某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表．各队末赛的3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行．
球队
积分
排名
甲队
42
1
乙队
40
2
…
…
…
A队
16
13
B队
16
13
C队
16
13
D队
16
13
（1）第27轮比赛结束时，乙队负了7场，求乙队此时胜、平各多少场？
（2）第27轮比赛结束时，甲队的负场数比乙队多，则甲队的胜、平、负场数各是多少？
（3）若最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，则A队是否降级？
为什么？
10．一支部队行军两天，共进行78km，这支部队第一天的平均速度每小时比第二天快1.5km，如果第一天行军4小时，第二天行军5小时，那么这两天每天的平均速度各是多少？
11．某饮料厂有甲，乙两条饮料灌装生产线，根据市场需求，计划平均每天灌装饮料700箱．如果两条生产线同时工作，则完成一天的生产任务需要工作7小时；如果两条生产线同时工作2.5小时后，再由乙生产线单独工作，则完成一天的生产任务还需10小时．
（1）求甲、乙两条灌装生产线每小时各灌装多少箱饮料？
（2）已知甲灌装生产线工作1小时的成本费用为550元，乙灌装生产线工作1小时的成本费用为495元，如果每天用于灌装生产线的成本费用不得超过7370元，那么甲灌装生产线每天至少工作多少小时？
12．如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积（单位：
cm2）为（ ）
A．16B．44C．96D．140
13．根据如图所给信息，回答下列问题：
（1）分别求出桌子和椅子的单价是多少？
（2）学校根据实际情况，要求购买桌椅总费用不超过1000元，并且购买桌子的数量是椅子数量的
，求该校本次购买桌子和椅子共有哪几种方案？
（3）厂家为了搞促销活动，推出凡一次性购买桌子和椅子的数量共28张以上（含28张），可享受八折优惠，请问该校在满足
（2）的条件下，最多能购买多少张桌子？
多少张椅子？
总费用是多少元？
14．有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是．
平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、数形结合思想的意义
数学研究的对象，是现实世界中的数量关系（简称“数”）和空间形式（简称“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透、相互转化的，正如著名数学家华罗庚所说：
“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合思想方法就是把抽象严谨的数学语言、数量关系与直观表意的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”，给抽象的问题以形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示；反过来，“以数助形”，则对直观问题以数理推证和精确刻划，从而起到把握数学本质的目的。
从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点：
（1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；
（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：
利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。
在初中数学教学中，数形结合的思想方法应用广泛，常见的有判断有理数大小的关系、代数式变换、解方程及解不等式、列方程解应用题，函数及其图像、平面几何问题、数据统计及简单的三角函数等方面。
二、有关论述
三、基础知识点
1.平面直角坐标系的定义；
2.坐标平面内点的坐标的定义；
3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征；
4.一三（二四）象限角平分线上的坐标特点；
5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征；
6.一维、二维坐标；
7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系，
8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系；
9、面积割补法；
10、绝对值的性质；
11、图形面积公式；
12、平移的性质；
四、基本思想方法
1、思想：
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。
2、方法：
画示意图、平移。
五、典型例题
例1、两只小虫A、B躺在数轴上睡大觉，已知它们之间的距离为10个单位长度，其中小虫A躺在数+4对应的点上，小虫B所在的位置绝对值大于6，则小虫B所在的位置表示的数是。
例2、如图在平面直角坐标系中，A（2，3），B（5，3），C（2,5）是三角形的三个顶点，求BC的长。
例3：
小明每天早上要在7：
50之前赶到距家1000米的学校上学。
小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。
于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学时要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图．这里隐含着数形结合的思想方法，不论是行程问题、追击问题，还是工程问题、浓度问题等，只有依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。
例4：
有一十字路口，甲从路口出发向南直行，乙从路口以西1500米处向东直行，已知甲、乙同时出发，10分钟后两人第一次距十字路口的距离相等，40分钟后两人再次距十字路口距离相等，求甲、乙两人的速度。
（注：
数形结合）
六、典型题目（精选自菁优网七下期末考试题）
1．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和
，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是．在x轴上，到原点距离为
的坐标．
2.
（1）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为（4，1），（1，-2）；
（2）在
（1）的条件下，过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在BM的延长线上截取MC=BM．
①写出点C的坐标；
②平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D的坐标．
（注：
本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式）
3．已知直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求：
（1）A、B两点间的距离；
（2）写出点C的坐标；
（3）四边形OABC的面积．
4．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积
5．计算图中四边形ABOD的面积．
6．已知点A（-4，-1），B（2，-1）
（1）在y轴上找一点C，使之满足S△ABC=12．求点C的坐标（写必要的步骤）；
（2）在直角坐标系中找一点C，能满足S△ABC=12的点C有多少个？
这些点有什么特征？
7．如图，每个小正方形的边长为单位长度1．
（1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标，说出各点到两坐标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。
（2）点C与E的坐标什么关系？
（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？
（4）你能求出图中哪些线段的长度？
（总结公式）哪些图形的面积？
8．如图，在△ABC中，已知点A（0，3），B（-2，-3），C（3，-5）．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）将△ABC向左平移4个单位，作出平移后的△A′B′C′；
（3）点B′到x、y轴的距离分别是多少？
9．如，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b．
（1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点；
（2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积．
10．如图所示，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是A（
，1），且边AB、CD与x轴平行，边AD，BC与y轴平行，AB=4，AD=2．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）怎样平移，才能使A点与原点重合？
11．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是．
11．如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE．如果CB=1，那么OE的长为．
12.如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
问：
点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？
若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？
请写出你的结论并说明理由．
13．如图，是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式．
14．已知关于x的不等式组
3x+m＜0
x＞−5
的所有整数解的和为-9，求m的取值范围．
15．小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，同时出发沿相同路线前往
．如图，l1，l2分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程S与所用的时间t的关系．
（1）他们中谁先到目的地？
早到多少时间？
（2）小明和小斌的速度分别是多少？
（3）当他们中第一人到达目的地时，另一人还差几千米到达目的地？
16．“龟兔赛跑”：
龟跑得慢，但坚持不懈；而兔跑得快，看不起龟，中途睡觉，醒来龟已到终点．下列哪个图象能大致表示“龟兔赛跑”中路程s与时间t的关系（）
A．
B．
C．
D．
17．如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：
（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是千米/时；
（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是；
（3）汽车出发后，8分钟到10分钟之间的运动情况如何？
．
18．某人骑自行车沿直线旅行，先前进了akm，休息了一段时间后又按原路返回bkm（b＜a），再前进ckm，则此人离出发点的距离s与时间t的关系示意图是（）
A．
B．
C．
D．
19．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O（0，0），B（2，6），C（8，9），D（10，0）；
（1）三角形BCD的面积=
（2）将点C平移，平移后的坐标为C′（2，8+m）；
①若S△BDC′=32，求m的值；
②当C′在第四象限时，作∠C′OD的平分线OM，OM交于C′C于M，作∠C′CD的平分线CN，CN交OD于N，OM与CN相交于点P（如图2），求∠P
∠OC′C+∠ODC
的值．
折叠与平移
1、基础知识
1、本质
折叠与平移都是图形与变换的内容。
其中有些折叠是将要学习的轴对称的一部分，平移是全等变换的一部分。
它们在培养学生的动手能力、空间想象能力方面有较大的作用。
2、折叠的性质；
3、平移的定义；
4、平移的性质；
5、坐标平面内平移与坐标的关系。
1、如图a，ABCD是长方形纸带，∠DEF=23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．
2．如图，将边长为5个单位的等边△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长为（）
A．22
B．23
C．24
D．25
3．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，将纸片折叠，点A、D
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