标题背景知识 分配律ab+c.docx

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标题背景知识分配律ab+c

1-1乘法公式─題型解析v04_0928

各位同學大家好，

歡迎再度來到線上數位課程，

在學過乘法公式的基本課程之後，

我們知道乘法公式可以化簡許多數的計算。

現在，

請各位同學翻開練習本，

讓我們一起來做一些練習…

1.第一小題中

（唸題目）

本題中前後兩組數相乘後相加

將乘法部份直接乘開，再做計算並不容易，

觀察發現

前後兩組數各有86，

就是分配律ab+ac中的a

將相同的部份86提出後，

原式＝86x（981+19）（原式等於86乘以括號（981+19））

=86x1000（接著，小括號內先做計算得1000）

=86000（乘上86，得86000）

（本題中使用分配律將共同部份提出，讓計算變容易了…！

）

存檔…

第二小題，

本題中有四組乘法相加減

如果直接乘開再做加減計算,一樣不容易,

觀察發現，

（1296-196）x0.58（前面兩組有共同的0.58，依分配律的原則，將0.58提出，原式等於（1296-196）x0.58）

（1296-196）x0.42（後面兩組有共同的0.42，照樣將0.42先行提出去，得（1296-196）x0.42）

接著，括號內先算，得1100

=1100x0.58+1100x0.42（結果，式子就變成1100x0.58+1100x0.42）

=1000x（0.58+0.42）（再一次依分配律的原則，提出共同的1100，括號內為0.58+0.42）

=1100x1=1000#（小括號內相加等於1，1100x1=1）

（太棒了，使用分配律，求值變容易…）

存檔…

小試身手　

1.觀察第一小題，直接乘開再相減並不容易，

2.如將前後相同的94依分配律原則先行提出，

3.原式等於（125-25）x94，

4.括號內先行計算，再乘以94，得最後的結果。

第二小題

1.觀察本題中型式，與上面例題中相似，

2.故參考上面的分組，前兩組提出共同的部份0.36，後兩組也提出共同的商份0.64（寫出右式（）x0.36+（）x0.64）

4.括號內則為764–264=500

5.再一次使用分配律，將500提出後，計算得到結果。

小試身手部份，請同學們自行計算，並參考本頁提供的答案。

2.本題為─利用分配律求值的問題

（唸題目）

這是兩個小數的乘法

要求，可以直接乘開是一個方法，但並不容易,

觀察此兩數均與10接近

（10+0.5）（10+0.2）（如將此兩數分別表示為10+0.5,10+0.2）

=100+2+5+0.1（再利用直接分配

10x10得100,10x0.2得2,0.5x10得5,0.5x0.2得0.1）

=107.1（最後，將分配後的四個數相加，得107.1）

接著來看

小試身手

1.本題為帶分數相乘，直接乘開真是不容易

2.如將帶分數的整數與分數部份分開，得（+）（+）

3.再依直接分配原則，得到四個數後相加，即得計算結果。

本頁中

我們學得一個經驗：

兩個小數（或帶分數）相乘時，如覺得不太容易計算，

可以試著利用分配律，先將整數部份與小數部份（或分數部份）分開，再依直接分配的原則計算，就可能可以得到比較容易計算的結果。

3.本題為利用和的平方求值問題

第一小題要求這個式的值是多少？

我們觀察到兩個平方數（635^2,365^2）

加上中間是+2乘上一些數，

我們聯想到和的平方公式a^2+2ab+b^2（指到公式）

如果將635設為a，365設為b，則中間部分剛好為2ab

符合和的平方公式，故

原式＝（635+365）^2（原式等於（a+b）^2）

=（1000）^2（括號內數字相加得1000）

=1000000（1000的平方為1000000）

接著，在第二小題中要求式子中x的值

觀察等號右邊有兩個平方數60^2和0.4^2

而如將等號左邊的60.4^2表示成（60+0.4）^2

依照和的平方公式展開

（60.4）^2=60^2+2x60x0.4+0.4^2（就會得到60^2&0.4^2這兩個平方數）

=60^2+2x60x（x）+0.4^2（對照題目中未知數x的位置）

x=60x0.4=24.（得到x=60x0.4=24）

小試身手第一小題

1.此式中觀察到兩個平方數63^2,17^2

和中間部分為正值且與63,17有關

2.如果將63設為a，17設為b

3.中間部分34x63=2x17x63剛好＝2ab

原式符合和的平方公式

4.等於（a+b）^2=（63+17）^2

在第二小題中

1.等號的左邊400^2,右邊則有394^2,

2.如果要將400^2利用和的平方公式展開，

並於等式右邊要產生394^2

要將400^2表示為（394+6）^2

3.利用和的平方公式展開,得

394^2+2x394x6+6^2

4.對應未知數x的位置,即可求出x的值.

本頁中我們學到求值時，首先觀察式子中的平方數是否有兩個；接著觀察中間部份剛好或可表示為2ab者，就可以使用和的平方公式求值。

4.本題為利用差的平方求值問題

第一小題求式子的值是多少？

在未學習過乘法公式前，

我們可能會很困難地直接將這三部份分別乘開後加減。

但我們觀察到兩個平方數12.5^2和7.5^2,

且中間部份是-2，且與12.5,7.5這兩個數有關（–2x12.7x7.5）

聯想到差的平方公式a^2–2ab+b^2

如果將12.5設為a，7.5設為b

中間的數剛好為2ab

符合差的平方公式

原式等於（a（12.5）-b（7.5））^2=5^2=25

第二小題，中

同樣觀察到兩個平方數，

中間的數是負數且可表示為與64,14有關的式子

，也就是-2x14x64

聯想到差的平方公式

如果將64設為a，14設為b，則中間數剛好為-2ab

則原式等於a^2-2ab+b^2

等於=（a–b）^2=（64–14）^2=50^2=2500

小試身手

（991/2）^2直接乘開不易

但因為991/2接近100，

我們可將（991/2）^2表示為（100–1/2）^2

符合差的平方公式（a-b）^2

原式等於100^2–2x100x1/2+（1/2）^2

分別求出三數，相加減即得。

在第二小題中

我們只觀察到一個平方數（98^2），

但是最後面的64也可表示為8^2

所以此式有兩個平方數98^2和8^2

如果將98設為a,8設為b,中間部份可表示為-2x8x98剛好是-2ab

符合差的平方公式,a^2–2ab+b^2

原式等於（98–8）^2直接算出即得計算結果

本頁學習求值時：

觀察兩個平方數a^2,b^2、中間數剛好等於，或可表示為-2ab時，即可利用差的平方公式來求值。

5.差的平方應用

我們要求小於9.8^2的最大整數。

首先我們要先算出9.8的平方

因為9.8^2直接乘開不容易,

但是9.8接近10,

可將 9.8^2表示成（10-0.2）^2（再利用　差的平方公式　展開）

=10^2–2x10x0.2+0.2^2（三數分別算出，得）

=100–4+0.04（相加減，得）

=96.04

題中要求小於96.04的最大整數，

就是去掉小數的部份，得96。

在小試身手中，與例題一樣的題型，

99（1/4）接近100,

利用差的平方公式

（991/4）^2=（100–3/4）^2

展開，得100^2–2x100x3/4+（3/4）^2，

分別算出三數，相加減後，

再將分數的部份去掉

即可求得小於這個數（99（1/4））^2的最大整數。

6.為差的平方的應用

（唸題目）

99x99+199=99^2+199

其中，99的平方不是很好計算,

將99表示成（100-1）.

原式等於

（100-1）^2+199.（直接用差的平方公式展開得）

=100^2–2x100x1+1^2+199　

=10000–200+1+199　（相加減後，消掉200，得）

=10000

（同學們還可以想到其他的方法算出本題嗎？

）

例如：

將99x99+199=99x99+（100+99）

同學可以去算算看…

小試身手

提示：

將47表示為（50-3）.

原式等於（50-3）^2+291

再利用差的平方公式

將（50-3）^2展開後，相加減即得。

7.本題為利用平方差公式求值

在第一小題中，

直接計算995^2與994^2後相減求值，計算不容易。

觀察到本題是兩個平方數相減，（就是平方差）

我們可利用平方差公式，

995^2–994^2

=（995+994）（995-994）（平方差公式）

=1989x1

=1989#

在第二小題中

首先觀察到的是沒有平方數，

但相乘的兩個帶分數均接近100

如果將前後兩個帶分數分別表示為

（100+1/4）（100–1/4）（即符合平方差公式（a+b）（a-b））

=100^2–（1/4）^2（結果就等於100^2–（1/4）^2）

=10000–（1/16）（兩數分別算出，得）

=9999+1–（1/16）=9999（15/16）（最後，將10000表為9999+1,1–（1/16）=15/16,再加前面的9999，得到結果）

小試身手

第一小題，同上面例題，

題目形式為兩個平方數相減（即平方差）,

利用平方差公式

原式等於（888+887）（888-887）

前後分別算出後相乘，即可算出答案.

第二小題中，兩個小數直接乘開不容易

觀察前後兩數，都接近50

所以，嘗試著將之表示為（50-0.5）（50+0.5）

即符合平方差公式（a-b）（a+b）

再利用平方差公式得a^2-b^2，即可輕鬆求得計算結果。

8.平方差應用─求圖形面積

（唸題目）

觀察的結果，

著色部分的面積＝大正方形面積–小正方形面積

而正方形的面積為：

邊長的平方

所以著色區域的面積等於

=75.5^2–24.5^2（利用平方差公式a^2-b^2等於）

=（75.5+24.5）（75.5–24.5）（前後分別算出100,51，相乘，得）

=100x51

=5100（同學們要注意結果要註明單位（cm2）哦）

接下來看小試身手

（唸題目）

著色區域的面積＝大圓面積–小圓面積

而圓面積=半徑^2xpi

所以著色區域的面積=762π-242π（大圓面積－小圓面積）

把π提出來,就變成（762-242）π,

同學們再利用平方差公式，將括號內算出來，再乘以pi

就可求出著色區域的面積了。

（請同學參考計算結果）

9.本例題為平方差的應用

觀察本題，中間部份很難計算，

但是2005,2006,2007這三個數中，2006為中間數

分子可以表示為（2006+1）（2006-1）,

再利用平方差公式得到=2006^2–1^2

以上是經由觀察後可以進行的第一個步驟

所以，原式就等於1/2006+（2006^2-1^2）/2006-1911

接著，將中間的部份分開

＝1/2006+2006^2/2006-（1/2006）–1911

=2006^2/2006-1911（1/2006消掉，同時，分子分母約分，得2006）

=2006–1911（結果就是2006-1911，得）

=95#

（本題中，我們先觀察到可以使用乘法公式的部份先算，

再進行下一步的觀察，通常是不錯的解題策略哦！

）

各位同學可以試著做做看小試身手

本題題型與例題一樣，

我們可以先觀察到（497,498,499）這三個數中，498是中間數。

分子就可以表示為（498+1）（498-1）,

利用平方差公式得到=498^2–1^2

接下去的步驟與上面例題相同，請同學們做做看，並參考答案。

10.本題為平方差的應用（唸題目）

我們觀察到等號左邊很多9（例如：

9+1,9^2+1…），

而前面兩數相乘為8

如果我們把8表示為（9-1）

與後面（9+1）就符合平方差公式，

（9-1）（9+1）（9^2+1）（前面兩個符合平方差，計算結果為9^2-1）

=（9^2-1）（9^2+1）（其結果再一次與後面9^2+1符合平方差公式，得）

=（9^2）^2–1^2（運用指數律，指數部份為2x2=4）

=9^4–1

對照本題中，考慮以3為底的指數形式，故將9^4寫成（3^2）^4

=（3^2）^4–1（接著，再運用指數律，指數部份為2x4=8，得）

=3^8–1

最後，對照題目中所要求的A的位置，得A=8#

小試身手中

觀察此題的形式與上面例題之形式相同,同時我們觀察到很多5

如將4表示成（5-1）,6表示成（5+1）,

接著，可以使用多次平方差公式

例如前面的（5-1）（5+1）=（5^2-1）,（5^2-1）（5^2+1）=5^4-1等

最後等號左邊可以化簡為5B-1的格式，對照題中B的位置，即得B

（請同學們將算式一步步寫好，並參考老師提供的答案）

11.乘法公式綜合求值應用

觀察題目中給我們的已知條件a+b,ab，

本小題中所要求的數為a^2+b^2，

考慮這三者之間的關係，可用和的平方來表示：

（a+b）^2=a^2+2ab+b^2（將2ab移項，將已知的條件放在等號同一邊）

得a^2+b^2=（a+b）^2–2ab（將a+b,ab分別代入，等於）

=7^2–2x12（兩數分別為49,25，相減，得）

=25#

第二題中，同樣考慮要求的（a-b）^2與ab,a+b（或a^2+b^2）的關係

可用差的平方公式來表示

（a-b）^2=a^2+b^2–2ab（其中ab已知，a^2+b^2則由題1得到，代入，得）

=25–2x12（兩數相減）

=1#

由上面我們已知a+b,ab,a^2+b^2

利用分配律，將題目表示成

4（a^2+b^2）–3ab（接著，將a^2+b^2,ab分別代入，等於）

=4x25-3x12

=100-36=64#

小試身手

第一小題觀察已知條件a-b,ab,和a^2+b^2的關係

可用差的平方來表示

（a-b）^2=a^2–2ab+b^2

移項，得a^2+b^2=（a-b）^2+2ab

並代入（a-b=3,ab=4）得#

第二小題請同學觀察a+b,a^2+b^2,ab的關係

可用和的平方表示

（a+b）^2=a^2+2ab+b^2

代入已知數值a^2+b^2及ab得

（a+b）^2=25

同學們要注意，25=（±5）^2

所以，括號內的a+b等於± 5

第三小題我們將a^4表示為（a^2）^2,b^4表示為（b^2）^2

和的平方公式（a^2+b^2）^2

=（a^2）^2+2a^2b^2+（b^2）^2　

運用指數律a^2b^2=（ab）^2，移項，得

a^4+b^4=（a^2+b^2）^2-2（ab）^2（代入已知數值a^2+b^2,ab，得）

為了增加同學們的信心，以下是一些基測題目練習，

同學們會發現，只要基本原理充分理解，

加上適當的練習，都可以拿到分數哦！

12.平方差面積應用

（唸題目─要仔細）

本題所求的面積，就是綠色部份的面積，

我們將大的正方形－四個小正方形面

也就是27.6^2–4x3.8^2就是答案了。

題目很簡單，但重點在4這個數字上，4=2^2

所以原式＝27.6^2–（2^2x3.8^2）（運用指數律，將指數2提出去）

=27.6^2–（2x3.8）^2

=27.6^2–7.6^2（現在就符合平方差公式（a^2-b^2），等於）

=（27.6+7.6）（27.6–7.6）（分別算出前35.2後20，再相乘，得）

=35.2x20

=704（cm^2）（記得寫單位）

（此題利用平方差公式，及指數律，希望各位同學能融會貫通哦）

13.平方差應用

觀察此題，直接可以計算的部份是平方差

所以我們先將

1999^2–2000^2依平方差公式，等於

=（1999+2000）（1999-2000）（前後分別計算前3999後-1）

=3999x（-1）（相乘，得）

=-3999

=1333a（等於題目所述）

故a=（-3999）/1333=-3#

（此題將觀察到可以進行乘法公式的部份先行計算，再進行下一步的觀察與計算，通常都可以得到解題的線索。

這是我們在這裡學習到的寶貴經驗，各位同學一定要記起來哦）

14.平方差應用

此題可以先就直接觀察到的部份平方差（320^2-160^2），

進行計算，原式等於

=（320+160）（320–160）x（1/160）（前面480，後面為160，太棒了 ）

=480x160x（1/160）（我們可以約分消去160，得到答案）=480

（此題經驗也是一樣，先觀察到的乘法公式部份可以先行計算...接著，就可以迎刃而解了）

15.平方差應用

（唸題目）

此題為帶分數相乘，

依前面的例題經驗，兩數都接近70，可以將此兩帶分數表示成

（70–6/23）（70+6/23）

如此便符合平方差公式，所以，就等於

=70^2–（6/23）^2（70^2=4900，減去（6/23）^2）

=4900–（6/23）^2好

算到這裡，同學可不要冒然寫a=4900哦！

因為還有a,b的條件限制！

為了讓0

原式=4899+[1–（6/23）^2]

這時，0

（本題學習到的經驗是：

同學要仔細標出題目的各個條件，到題目的最後，一定要檢查各個條件是否符合！

）

16.很顯然

的，是平方差應用

（唸題目）

由於選項（A）~（D）都是平方差，

我們先算出各個的值

再觀察各結果的情況...（但不急著乘開，這可要一些經驗！

）

（A）=（777+27）（777-27）=804x750

（B）=（852+48）（852–48）=900x804

（C）=（1001+599）（1001–599）=1600x402=800x804

（D）=（1006+604）（1006–604）=1610x402=805x804

各選項都有804，乘以最大數900的數為最大，選（B）

（同學們記得不要將數字乘開哦...）

17.平方差的應用

（唸題目）

A=100^2–21^2

觀察此數a是兩個數的平方差

直接算出平方，再相減，

不如應用平方差公式，通常都能簡化計算。

所以我們決定用平方差公式試試...

先算出100^2–21^2=（100+21）（100-21）

=121x79

=11^2x79（其中11和79都是質數，也是a的質因數）

題目問我們a的因數，其中11是a的質因數，故也是因數，選（A）。

（質因數複習...）

（經驗：

乘法公式通常可以化簡數的計算...）

18.（唸標題及解釋題目）

觀察15^2,25^2,35^2...

都是100x（十位數）x（十位數+1）+5^2（=25）

故95^2=100x9x（9+1）+25=9025#

兩位數a|5可以表示成10a+5（尾數是5）

故（10a+5）^2（尾數是5的數的平方，依和的平方公式等於）

=（10a）^2+2x10ax5+5^2（分別算出，為100a^2,100ª,25）

=100a^2+100a+25（前面兩項提出100a，得）

=100a（a+1）+25

（10ª+5）^2等於100x（十位數）x（十位數+1）+25）

但，這個結果不只可用於兩位數，

只要尾數是5的數的平方都適合，

例如：

105^2=100x10x（10+1）+25=11025

995^2=100x99x（99+1）+25=990025

同學們是不是覺得很奇妙呢？

19.平方差─思考題

（唸題目）

設此兩數為a,b

則依題意a–b=0.1

a^2–b^2>100（?

）

表面上看起來a,b的差很小，

平方差應該會更小吧！

怎麼可能大於100呢？

但是我們來思考一下...依據平方差公式

a^2–b^2=（a+b）（a-b）

=（a+b）x0.1>100（a-b=0.1代入）

則經移項法則，得

a+b>100/0.1=1000

結果我們發現，只要a+b>1000

其平方差a^2-b^2就會大於100!

（本題提醒同學們，在解數學題目時，每一個步驟都要有「根據」哦！

）