最新版《圆的基本性质》各节知识点及典型例题.docx

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最新版《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

圆的基本性质

第一节圆第二节图形的旋转第三节垂径定理（选学）第四节圆心角第五节圆周角第六节圆内接四边形

第七节正多边形第八节弧长及扇形的面积

十二大知识点：

1、圆的概念及点与圆的位置关系

7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

8、圆周角定理

9、圆周角定理的推论

10、圆内接四边形的概念与性质定理

11、正多边形的概念与作法

12、弧长的计算与扇形面积的应用

2、三角形的外接圆

3、旋转的概论及性质

4、垂径定理

5、垂径定理的逆定理及其应用

6、圆心角的概念及其性质

【课本相关知识点】

1、圆的定义：

在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O，另一端点P所经过的

叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做圆的，以点O为圆心的圆记作，读作圆O。

2、弦和直径：

连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。

3、弧：

圆上任意叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做。

小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：

半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆

5、点与圆的三种位置关系：

若点P到圆心O的距离为d，⊙O的半径为R，则：

点P在⊙O外

；

点P在⊙O上

；

点P在⊙O内

。

6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上

7、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

8、过的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。

三角形的外心是三角形三条边的

【典型例题】

【题型一】证明多点共圆

例1、已知矩形ABCD，如图所示，试说明：

矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上

【题型二】相关概念说法的正误判断

例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：

①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

例2、下列说法中，错误的是（）

A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧小于半圆

例3、下列命题中，正确的是（）

A．三角形的三个顶点在同一个圆上B．过圆心的线段叫做圆的直径

C．大于劣弧的弧叫优弧D．圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径

例4、下列四个命题：

①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。

其中真命题的个数（）

A.4个B.3个C.2个D.0个

【题型三】点和圆的位置关系的判断

例1、⊙O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外

例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是

【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用

如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：

方法就是找垂直平分线的交点

例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为

【题型五】圆中角的求解

如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数

温馨提醒：

（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；

（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。

巩固练习

1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。

3m

2、如果⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为

3、如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC，DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a，b，c的大小关系是

4、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在⊙O的

5、如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心

6、若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是

7、在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则△ABC的外接圆面积为

8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为

9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有条

【课本相关知识点】

1、旋转与旋转中心的概念

一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

2、图形旋转的性质

（1）图形旋转所得到的图形和原图形全等

（2）对应点到旋转中心的距离相等。

任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度

3、平移、旋转与轴对称的特征

（1）图形平移得到的图形与原图形全等，但平移前后对应点之间的连线互相平行（或在同一条直线上）且相等

（2）图形经过轴对称得到的图形的对应点之间的连线与对称轴互相垂直（或在一条直线上）

（3）图形旋转得到的图形与原图形全等，但旋转前后对应点之间连线的夹角相等。

【典型例题】

题型一、旋转图形的相关概念

例1、如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，D为BC边上一点，将△ABD旋转至△ACE的位置

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转角度有多少度？

（3）分别指出B、D的对应点

（4）分别指出∠1与∠2的对应角及线段BD、AD的对应边

例2、分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示。

将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是________度。

例3、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）

题型二、旋转图形的性质及应用

例1、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么CE=______

例2、如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=

例3、如图，P为等三角形ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：

6：

7，则以AP，PB，PC的长为边的三角形的三个内角的大小之比是（）

A.2：

3：

4B.3：

4：

5C.4：

5：

6D.无法确定

题型三、利用旋转作图

例1、如图，已知△ABC绕点O旋转，点D是△ABC旋转后点A的对应点，试作出旋转后的△DEF

例2、如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上。

（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；

（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图。

题型四、利用平移、旋转轴对称设计图案

例1、如下图有6种瓷砖，请用其中的4块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案，然后利用你设计的图案，通过平移，轴对称或旋转，设计出更加美丽的大型的图案

题型五、旋转创新题

例1、如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________

例2、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心从①的位置顺时针旋转，分别得②、③、…，则：

（1）旋转得到图③的直角顶点的坐标为________

（2）旋转得到图⑩的直角顶点的坐标为________

例3、如图所示有两个边长为6cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是（）

A.4cm2B.8cm2C.9cm2D.无法确定

例4、如图，在等边三角形ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是_______

例5、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点

E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长.

【课本相关知识点】

1、轴对称图形：

如果一个图形沿着某一条直线直线，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

2、圆是轴对称图形，都是它的对称轴

3、垂径定理：

垂直于弦的直径，并且平分

4、分一条弧成的点，叫做这条弧的中点。

5、的距离叫做弦心距。

6、垂径定理的逆定理1：

平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分

垂径定理的逆定理2：

平分弧的直径

【典型例题】

【题型一】应用垂径定理计算与证明

例1、如图所示，直径CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。

例2、如图所示，已知线段AB交⊙O于C、D两点，OA、OB分别交⊙O于E、F两点，且OA=OB，求证：

AC=BD

温馨提醒：

在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。

【题型二】垂径定理的实际应用

例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问：

修理人员应准备内径多大的管道？

温馨提醒：

要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。

例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是

【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用

例1、如图，已知M是

的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4

cm。

（1）求圆心O到弦MN的距离

（2）求∠ACM的度数

【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等

巩固练习

1、下列说法正确的是（）

A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的

C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴与对称中心重合

2、下列命题：

①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。

其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，

则满足条件的点P有（）个

A.2B.3C.4D.5

4、半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为cm

5、圆的半径等于2

cm，圆内一条弦长2

cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于

6、如图，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的长为

7、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦。

若AB=10cm，CD=6cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为

8、如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，-4）、N（0，-10），函数y=

（x<0）的图象过点P，则k=

9、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

10、如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，则MN=

第10题

11、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰AB的长

12、如图，已知⊙O的半径为10cm，弦AB⊥CD，垂足为E，AE=4cm，BE=8cm，求弦CD的长

13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB的长）为

米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米.

⑴求该圆弧形所在圆的半径；

⑵若该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有多大？

14、⊙O的半径为2，弦BD=2

，A为

的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。

求四边形ABCD的面积。

【课本相关知识点】

1、中心对称图形：

把一个图形绕着某一点，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的

2、过中心对称图形的的任意一条直线可以平分其面积。

3、圆的旋转不变性：

将圆周绕圆心O旋转，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。

4、圆心角：

叫做圆心角。

5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的（这就是圆心角定理）

6、n°的圆心角所对的弧就是，圆心角和的度数相等。

注意：

在题目中，若让你求

，那么所求的是弧长

7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么

都相等。

（姑且称之为圆心角定理的逆定理）

注解：

在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

【典型例题】

【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否

例1、下列说法：

①等弦所对的弧相等；②等弧所对的弦相等；③圆心角相等，所对的弦相等；④弦相等，所对的圆心角相等；⑤在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。

正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等

例1、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PO平分∠APD。

求证：

AB=CD

例2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。

求证：

∠CAD=∠EBF

例3、如图所示，AB、CD是⊙O的直径，CE∥AB交⊙O于点E，那么

与

相等吗？

说明理由。

【题型三】计算弧的度数

例1、如图所示，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若

的度数为40°，求

的度数

【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题

例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？

（提示：

将半圆补全，将军饮马问题）

巩固练习

1、如果两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对

2、下列命题中，正确的是（）

A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等B.相等的圆心角所对的弦相等

C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等

3、在半径为1的圆中，长为

的弦所对的圆心角的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4、在⊙O中，AD是直径，AB、AC是它的两条弦，且AD平分∠BAC，那么：

①AB=AC；②

=

；③

=

；

④AD⊥BC。

以上结论中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5、如图所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC等于（）

A.140°B.135°C.130°D.125°

6、如图，在⊙O中，

=2

，则弦AB和弦CD的关系是（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法确定

7、如图，在条件：

①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且

∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有4

个。

8、如图所示，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M、N为垂足，那么OM、ON的关系是（）

A.OM>ONB.OM=ONC.OM

9、如图所示，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连续PA、PB。

求证：

PA=PB

10、如图所示，M、N为AB、CD的中点，且AB=CD。

求证：

∠AMN＝∠CNM

11、如图，MO⊥NO，过MN的中点A作AB∥ON，交

于点B，试求

的度数

【课本相关知识点】

1、顶点在上，且两边的角叫圆周角。

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的

3、圆周角定理推论1：

半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是

4圆周角定理推论2：

在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等

【典型例题】

【题型一】圆周角定理的应用

例1、△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=100°，求∠BAC的度数。

【题型二】圆周角定理推论的应用

例1、如图所示，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长。

例2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点D。

（1）求证：

∠ACD=∠BCE；

（2）延长CD交⊙O于点F，连接AE、BF，求证：

AE=BF

【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题

例1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为

例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤．（要求写出两种测量方案）

解法一：

如图

（1），把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B，另一边交于点C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C），度量BC长即为直径；

解法二：

如图

（2），把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C，然后把角尺顶点与C点重合，有一边与CB重合，让另一边与井盖边缘交于D点，延长DC交井盖边于E，度量DE长度即为直径；

巩固练习

1、图中圆周角有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠DPC=.

3、如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是（　　）

A．30°≤x≤60°B．30°≤x≤90°C．30°≤x≤120°D．60°≤x≤120°

4、如图，PB交⊙O于点A、B，PD交⊙O于点C、D，已知

的度数为42°，

度数为38°，则∠P+∠Q=

5、如图，AB是⊙O的直径，C,D,E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=.

6、如图，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

7、已知，如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。

给出下列四个结论：

①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③

是

的2倍；④AE=BC。

其中正确结论的序号是

8、如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为

cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角为

9、如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：

CE是⊙O的直径．

10、如图，在⊙O中AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.

（1）P是

上一点（不与C,D重合）．求证：

∠CPD=∠COB；

（2）点P’在劣弧CD上（不与C,D重合）时，∠CP/D与∠COD有什么数量关系？

请证明你的结论．

11、

（1）如图

（1）已知，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．求证：

△ODE是等边三角形；

（2）如图

（2）若∠A=60°，AB≠AC，则

（1）的结论是否成立？

如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．

12、如图所示，直径AB、CD互相垂直，P是OC的中点，过点P的弦MN∥AB，

试判断∠MBC与∠MBA的大小关系。

13、如图，AB为⊙O的直径，弦DA、BC的延长线相交于点P，且BC=PC，求证：

（1）AB=AP

（2）

【课本相关知识点】

1、如果一个四边形的的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

2、圆内接四边形有以下的性质定理：

圆内接四边形的对角互补

【典型例题】

题型一、圆内接四边形的概念及性质

例1、下列说法正确的是（）

①圆内接四边形的内角和是360°；②圆内接平行四边形是矩形；③四边形的外接圆的圆心是四边形各边垂直平分线的交点；④四边形的外接圆的圆心是四边形各内角平分线的交点

A.①③B.①②③C.①②④D.①②③④

例2、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，则下列式子成立的是（）

A.∠A+∠DCE=180°B.∠B+∠DCE=180°

C.∠A=∠DCED.∠B=∠DCE

3、圆内接四边形ABCD中，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

5，则∠D等于（）

A.60°B.120°C.140°D.150°

4、如图，已知E是圆内接ABCD的边BA延长线上一点，BD=CD，且∠EAD=55°，则∠BDC=

题型二、圆内接四边形的性质的计算与证明

例1、如图，BC是直径，则∠DBC+∠BAE等于（）

A.60°B.90°C.120°D.180°

例2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠DCE=75°，则∠BOD=

例3、如图，AB是半圆O的直径，点C，D是弧AB上两点，∠ADC=120°，则∠BAC=

★★★★例4、如图，△ABC内接于圆O，点D是弧AB上的一点，点E是弧AC上的一点，若∠BAC