2“（d+b）c=ac+bc（cH0）”类比推出“也=£+'（cH0）”；
CCC
3“q,bWR,若a~b=0f贝\\a=b"类比推出“a,b^C,若a~b=0f则a=b”；
4“q,bER,若q—b>0,则Q>b”类比推出“a,b^C,若a—b>0f则a>h（C为复数
集）”.
其中结论正确的个数为（）
A.1B.2
C・3D.4
【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.
【答案】B
9.（2015-全国卷I）执行如图1的程序框图，如果输入的Z=0.01,则输出的n=（）
图1
A.5B.6
C.7D.8
【解析】运行第一次：
S=l—*=*=0.5,加=0.25,/?
=1,40.01;
运行第二次：
5=0.5-0.25=0.25,加=0.125,n=2940.01;
运行第三次：
5=0.25-0.125=0.125,加=0.0625,〃=3,40.01;
运行第四次：
5=0.125-0.0625=0.0625,加=0.03125,斤=4,40.01;
运行第五次：
5=0.03125,加=0.015625,/?
=5,40.01;
运行第六次：
5=0.015625,加=0.0078125,〃=6,40.01;
运行第七次：
5=0.0078125,77?
=0.00390625,刃=7,SO.01.
输出n=7.故选C.
【答案】C
10.己知Q]=3,02=6,且Q〃+2=Q〃+1—Q”，则033为（）
A.3B・—3
C.6D・一6
【解析】01=3,。
2=6,。
3=。
2—Ql=3,04=。
3—。
2=—3,。
5=。
4—。
3=—6,06=^5
—04=—3,07=06—05=3,。
8=07一。
6=6,…
观察可知｛如｝是周期为6的周期数列，故Q33=Q3=3.
【答案】A
11・（2016-青岛高二检测）下列推理合理的是（）
A./（对是增函数，则/'（x）>0
B.因为Q>b（Q,AER）,贝lja+2i>h+2i（i是虚数单位）
C.a,0是锐角△MC的两个内角，贝ijsiz>cos”
D・力是三角形/EC的内角，若cos/>0,则此三角形为锐角三角形
【解析】A不正确，若./（兀）是增函数，则⑴20;B不正确，复数不能比较大小；C正确，・・・°+0>号，
・\a>2~Py・•*sin«>cos[i\D不正确，只有cosA>0,cosB>0,cosC>0,才能说明此三角形为锐角三角形.
【答案】C
12.有人收集了春节期间平均气温兀与某取暖商品销售额夕的有关数据如下表：
平均气温/°c
-2
-3
-5
-6
销售额/万元
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温兀之间线性回归方程;=加
A
+2的系数—2.4,则预测平均气温为一8°C时该商品销售额为（）
A.
B.35.6万元
D.37.6万元
34.6万元
C.36.6万元
【解析】
-2-3-5-6
4=_4，
—20+23+27+30y=4=2»
所以这组数据的样本中心点是（-4,25）.
A
因为b=—2.4,
A
把样本中心点代入线性回归方程得67=15.4,
A
所以线性回归方程为y=-2Ax+15.4.
当x=—8时，尹=34.6.故选A.
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上・）
13.已知复数z=m2（1+i）—m（m+eR）,若z是实数，则加的值为・
【解析】z=m2-\~m2i—7772—mi=（m2—加）i,
加=0,
・••加=0或1.
【答案】0或1
14.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：
（填“是”或
“否”）.
【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即*另=||,丘=寻，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.
【答案】是
15.（2016-天津一中检测）观察下列等式：
I3+23=32'13+23+33=62'13+23+33+43=
102,…，根据上述规律，第五个等式为・
【解析】已知等式可改写为:
13+23=（1+2）2;13+23+33=（1+2+3）2;13+23+33+
舉=（1+2+3+4）2,
由此可得第五个等式为
13+23+33+43+53+63=（1+2+3+4+5+6）2=212.
【答案】13+23+33+43+53+63=212
©+霧.+汽则在等比数列｛%｝中，会有类似的结论
【解析】由等比数列的性质可知，价&30=加29=・・・=加竝,
1舄加小门…b2o=先价抵…加）.
【答案】
"勺如412・・・仇0=，勺伤仇…如
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤・）
【解】
l+i-4i+4+2+4i7+i
=3+4i=3+4i,
・沪皿=也=迈
••国|3+4i|5W
18.（本小题满分12分）我校学生会有如下部门：
文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部•请画出学生会的组织结构图.
【解】学生会的组织结构图如图.
学生会
I|
文娱部体育部
宣传部
生活部学习部
19.（本小题满分12分）给出如下列联表:
患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
不高血压
30
50
80
总计
50
60
110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？
（参考数据：
户（《2$6.635）=0.010,尸（《2上7.879）=0.005）
【解】由列联表中数据可得
110X（20X50—10X30）274久右
30X80X50X60
又P（^2^6.635）=0.010,
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系.
20.（本小题满分12分）已知非零实数q,b,c构成公差不为0的等差数列，求证：
》占不能构成等差数列.
C
【证明】假设+，+能构成等差数列，则£=++£因此b（a+c）=2ac.
而由于a,b,c构成等差数列，且公差〃工0,可得2b=a+c,
（a+c）2=46zc,即（q—c）2=0,于是得a=b=c,
这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾.
故假设不成立，即丄，7,丄不能构成等差数列.
DC
21.（本小题满分12分）已知/+方2=],#+尹2=],求证：
俶+方尹01（分别用综合法、分析法证明）.
【证明】综合法：
TlaxWa2-\-^'2byWb2-\-y2,
/.2（ax+by）W（a1+Z?
2）+（x2+v2）・
又Va2+Z?
2=l,x2+y2=1,
.•・2（Qx+/?
y）W2,.•.ax+ZiyW1.
分析法：
要证ax+by^｝成立，
只要证1-（qx+抄）20,
只要证2—2ax—2by20,
又-a2+b2=lf?
+/=1,
/.只要证a2+b2-\-x2+y2—2ax—2by^0,
即证（q—兀）2+（b—y）2$0,显然成立.
22.（本小题满分12分）某班5名学生的数学和物理成绩如下表:
A
B
C
D
E
数学成绩（x）
88
76
73
66
63
物理成绩0）
78
65
71
64
61
（1）画出散点图；
（2）求物理成绩尹对数学成绩x的回归直线方程；
（3）—名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.
附：
冋归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
A•—心尹A
人•1A
尸1
A——
9ci■—ybx•
【解】
（1）散点图如图,
90
80.
70•
60.•*•
50iii丄111丄■
5560657075808590x
（2）T=|x（88+76+73+66+63）=73.2,
7=|x（78+65+71+64+61）=67.8.
5
D》=88X78+76X65+73X71+66X64+63X61=25054.
/=1
5
Dy—5xy
A/=1
所以方=
~0・625.
A
A——一
a=yx^67.8-0.625X73.2=22.05.
所以尹对x的回归直线方程是
A
y=0.625x+22.05.
（3）x=96,贝^=0.625X96+22.05^82,即可以预测他的物理成绩是82分.
章末综合测评
（二）推理与证明
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题冃要求的•）
1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于（）
A.
C.33
28B・32
D.27
【解析】观察知数列仏｝满足：
Qi=2,an+\—an=3nf故兀=20+3X4=32.
【答案】B
2.（2016-汕头高二检测）有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数./⑴，若_/（xo）=O,
则X=Xo是函数/（X）的极值点.=疋的极值点.以上推理中（
A.大前提错误
C.推理形式错误
因为.心）=»在x=0处的导数值/（0）=0,所以兀=0是.心）
）
B.小前提错误
D.结论正确
【解析】大前提是错误的，若f（m）=0,x=x0不一定是函数./（兀）的极值点，故选A.
【答案】A
3•下列推理过程是类比推理的是（）
A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为*
B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
【解析】A为归纳推理，C,D均为演绎推理，B为类比推理.
【答案】B
4.下面儿种推理是合情推理的是（）
1由圆的性质类比岀球的有关性质；
2由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180。
归纳出所有三角形的内角和都是180°；
3由7（x）=sinx,满足./（—兀）=~7（兀），xWR,推出=sinx是奇函数；
4三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是（77-2）-180°.
A.①②B.①③④
C.①②④D.②④
【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是
演绎推理.
【答案】C
5.设67=2L5+22-5,b=l,则Q,b的大小关系是（）
A.a>hB・a=h
C.a2（b+l）
【解析】因为=215+22-5>2^/2l5-22-5=8>7,故a>b.
【答案】A
6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：
®ab=ba；②（ab\c=a（bc）；®a（b+c）=ab+ac；④\a-b\=\a\\b\；⑤由ab=ac（a^0）9可得b=c.以上通过类比得到的结论屮，正确的个数是（）
A.2个B.3个
C.4个D.5个
【解析】①③正确；②④⑤错误.
【答案】A
7•证明命题：
“/（兀）=弍+吉在（0,+°°）上是增函数”・现给岀的证法如下：
因为.心）=C
b+吉,所以f&）=**因为兀>0,所以ev>l?
0<^0,即f⑴>0.所以的在（0,+8）上是增函数，使用的证明方法是（）
B.
A.综合法
C.反证法
分析法
D.以上都不是
【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.
【答案】A
8.己知少1,Q=pc+1—讥,b=y[c—yjc—lf则正确的结论是（）
A.a>bB.aC・a=bD・a,b大小不定
【解析】要比较Q与b的大小，由于c>l,所以a>0,b>0,故只需比较+与和的大小即可，
而菇曲_&=时+也
寻忑*1=匹+戸，
显然+>*,从而必有°<方，故选B.
【答案】B
9.设〃为正整数,如）=1+*+*£经计算得./
（2）=|，./（4）>2,_/（8）>|,./（16）>3,
7
/（32）>扌，观察上述结果，可推测出一般结论（）
7、斤+2
B.
/?
+2
~1~
/（/）2丁
D.以上都不对
32+23+24+25+2
【解析】X2）=2，A4）=/（22）>—，A8）=X23）>—,/（16）=/（24）>丁况32）=/[2〉）>丁.
/7+2由此可推知./（2"）2二一故选C.
【答案】C
10.定义屮B,B*C,C*D,DM的运算分别对应下面图1中的
（1）
（2）（3）（4）,则图中a,b
对应的运算是（）
【解析】根据
（1）
（2）⑶⑷可知/对应横线，〃对应矩形，C对应竖线，Q对应椭圆.由此可知选B.
【答案】B
11.观察下列各式：
a+b=\,a2+62=3,+沪=4,a4+b4=7,a5+b'=ll,…，则
d°+界=（）
A・28B・76
C.123D.199
【解析】从给岀的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则』°+/°=123.
【答案】C
12.在等差数列｛外｝中，若外>0,公差Q0,则有皿心则,类比上述性质，在等比数列｛%｝中，若b〃>0,公比q>\,则加，加，方7，加的一个不等关系是（）
A.+加>/>5+加B./>4+加<加+加
C.b4~\~by>bs~\~bsD・b^~\~by【解析】在等差数列仏｝中，由于4+6=3+7时，有血化>035,所以在等比数列｛%｝中，由于4+8=5+7,所以应有/>4+/?
8>加+加或〃4+加
5+加.
因为b4=b｝q\bs=b\qA,bq=b\q,b^=b｝q\
所以（加+加）一（〃5+加）=（价『+勿『）一（Sq4+bi『）
=b\qS（q-"—b\q"q-"=（b\『一b\q'）（q-I）
=财（『一l）（q—1）・
因为q>],bn>0,所以加+加>/?
5+如.
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）
13.已知x,yGR,且x+y>2,则兀，尹中至少有一个大于1,在用反证法证明时假设应
为•
【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为均不大于1”（或xW1且yW1）・
【答案】兀，尹均不大于1（或xWl且yWl）
14.如图2,第“个图形是由正/?
+2边形“扩展”而来（“=1,2,3,…），则第/?
-2（/?
>2）
个图形中共有个顶点.
【解析】设第舁个图形中有Q〃个顶点，
贝Uq]=3+3X3,Q2=4+4X4,…，
an=（n+2）+（n+2）•（//+2）,q“_2=/+n.
【答案】n2+n
15.设q>0,b>0,则下面两式的大小关系为lg（l+Q亦）*lg（l+a）+lg（l+b）].
【解析】因为（1—（1+q）（1+b）=1+2y[ah+ah—1—a—h—ah
=2y[ab—（a+b）=—（y[a—y[b）2^：
（）9
所以（1+y[^L）2W（l+q）（1+b）,
所以lg（l+何）W*[lg（l+a）+lg（l+b）]・
【答案】W
—A―►
16.（2016-杭州高二检测）对于命题“如果O是线段M上一点,则|0切•鬲+|鬲|・OB=0”
—►
将它类比到平而的情形是：
若O是△/BC内一点，有Ssc•鬲附冼=0,将它类比到空间的情形应为：
若O是四面体ABCD内一点，则有
【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比
到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为Vo-bcd'OA+
【答案】V（）.bcd'OA-\-Vo，acd'OB-\tVo-abd'0C~}~Vo-abc'OD=0
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•）
17.（木小题满分10分）已知a,b,c成等差数列，求证：
ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差数列.
【证明】因为q,b,c成等差数列，所以2b=a+c,所（ab+ac）+（tzc+be）=b（a+c）
+2ac=2（b2+ac）・
所以ab~\-ac,b'+ac,ac+bc也成等差数列.
18.（本小题满分12分）在平面几何中，对于RtA/fSC,ZC=90°,i^AB=c,AC=b,BC=a,贝I」
（1）a2+/?
2=c2；
（2）cos2^+cos25=1；
（3）RtA^5C的外接圆半径j叮1
把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.
【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
（1）设三个两两垂直的侧面的面积分别为Si,S2,S3,底面积为S,则Sf+S舟+£=SJ
（2）设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为°,0,y,则cos2c（+cos2^+cos2y=1.
（3）设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球半径R
=2
【证明】依题意Q0,Z>>0,
所以1+寸亦>0,1+q+/>>0.
只需证y[ab（\+a+b）<（\+\[ab）（a+b）9只需iiy[abb,所以寸亦v2y[ab20.（本小题满分12分）（2016-大同高二检测）在数列｛如中，d]=l,如i=笄:
，nWN*,求02,。
3,如，并猜想数列的通项公式，并给出证明.
【解】数列｛a”｝中，ai=l,血=詳;=£如=弟;=*=扌，血=畀二=彳，…，
2敝
所以猜想｛。
”｝的通项公式an=〃+J”WN）・
此猜想正确.
证明如下：
因为°1=
2外
_ban+i~2+anf
公差为*的等差数列,
所^=1+（w_1）2=2+2'
2
即通项公式Q“=”+]（〃WN*）・
21.（本小题满分12分）已知函数.的=兀%eR.
⑴若正数加，〃满足mn>\,证明：
/（加），./（〃）至少有一个不小于零;
4
（2）若q,b为不相等的正实数且满足加）="）,求证：
a+b【证明]
（1）假设加）<0,血）<0,
即沪<0,n3—«2<0,
•/m>0,/7>0,
A/77—1<0,n—1<0,
/.0/.mn<\,这与mn>\矛盾，
・・・假设不成立，即人加），.心
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