4.(2018·湖南湘中名校联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=________.
解析:
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,
由+=-,得y1+y2+y3=0.
因为kAB==,所以kAC=,kBC=,
所以++=++=0.
答案:
0
5.已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成的两段弧长的比为1∶2,则圆C的标准方程为________.
解析:
因为圆C关于y轴对称,所以圆C的圆心C在y轴上,可设C(0,b).设圆C的半径为r,则圆C的方程为x2+(y-b)2=r2.
依题意,得⇒
于是,圆C的标准方程为x2+=.
答案:
x2+=
6.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为________.
解析:
设a,b,c为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距长.由题知,当三角形的高为b时面积最大,所以×2cb=1,bc=1,2a=2≥2=2(当且仅当b=c=1时取等号).
答案:
2
7.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为________.
解析:
设椭圆方程为+=1(a>b>0),由得y2==F1F,即=(2c)2,则e=-1.
答案:
-1
8.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,若OP⊥OQ(O为坐标原点),则m的值为________.
解析:
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得5y2-20y+12+m=0,则
又y1y2=-x1x2及x1+2y1-3=0且x2+2y2-3=0,得5y1y2=6(y1+y2)-9,即5×=6×4-9,
解得m=3.
答案:
3
9.抛物线y=x2与直线x-y+2=0构成的封闭平面区域(含边界)为D,若曲线x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,则a的最小值为________.
解析:
曲线x2-2ax+y2-4y+a2+=0,即为(x-a)2+(y-2)2=,其圆心坐标为E(a,2),半径r=.
作出抛物线y=x2与直线x-y+2=0如图所示,由图可知,当a≥0时,存在a使圆与D有公共点;
当a<0时,要使圆与D有公共点,只需圆心到直线x-y+2=0的距离d==≤,得-≤a<0,则a的最小值为-.
答案:
-
10.过双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为________.
解析:
设双曲线的右顶点为B,则B(a,0).不妨取渐近线y=x,则A点的坐标为(a,b),从而可知OA=c,由已知可得OF=AF=c=4,所以△OAF为边长是c的等边三角形.又AB⊥OF,所以OB=a=2,AB=b=2.故所求的双曲线方程为-=1.
答案:
-=1
11.已知椭圆E:
+=1(a>b>0),其焦点为F1,F2,离心率为,直线l:
x+2y-2=0与x轴,y轴分别交于点A,B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;
(2)若线段AB上存在点P满足PF1+PF2=2a,求a的取值范围.
解:
(1)由椭圆的离心率为,得a=c,
由A(2,0),得a=2,所以c=,b=,
所以椭圆方程为+=1.
(2)由e=,设椭圆方程为+=1,
联立
得6y2-8y+4-a2=0.
若线段AB上存在点P满足PF1+PF2=2a,则线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解.
设f(y)=6y2-8y+4-a2,
所以即
所以≤a2≤4,
故a的取值范围是≤a≤2.
12.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0),O是坐标原点,P是线段AB的中点,若C是点A关于原点的对称点,Q是线段BC的中点,且OP=OQ,设圆D的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
(1)证明:
线段AB是圆D的直径;
(2)若存在p使2p(x1+x2)=y+y+8p2+2y1y2,当圆D的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值.
解:
(1)证明:
由于点P的坐标为(,),点A(x1,y1)关于原点的对称点为C(-x1,-y1),那么点Q的坐标为(,).
由OP=OQ,得OP2=OQ2,
即+=+,
得(x1+x2)2+(y1+y2)2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,从而x1x2+y1y2=0,由此得OA⊥OB.由方程x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0知圆D过原点,故线段AB是圆D的直径.
(2)由2p(x1+x2)=y+y+8p2+2y1y2,
得x1+x2=[(y1+y2)2+8p2].
又圆心到直线x-2y=0的距离d=
=
=≥=,
从而得p=2.
1.已知圆x2+y2=1和直线y=2x+b交于A,B两点,且OA,OB与x轴正方向所成的角分别为α,β,则sin(α+β)=________.
解析:
由得5x2+4bx+b2-1=0,设A,B两点坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),
则又
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(2cosα+b)cosβ+cosα(2cosβ+b)=4cosαcosβ+b(cosα+cosβ)=4·+b·=-.
答案:
-
2.已知椭圆x2+=1(00时,椭圆离心率的取值范围为________.
解析:
设F、B、C的坐标分别为(-c,0)、(0,b)、(1,0),则FC、BC的中垂线分别为x=,y-=,联立方程,解得
于是m+n=+>0,即b-bc+b2-c>0,(1+b)(b-c)>0,得b>c,从而b2>c2,即a2>2c2,所以e2<,又e>0,所以0答案:
(0,)
3.(2018·杭州质检)设抛物线C:
y2=2px(p>0),A为抛物线上一点(A不同于原点O),过焦点F作直线平行于OA,交抛物线C于P,Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B,则FP·FQ-OA·OB=________.
解析:
设OA所在的直线的斜率为k,则由得到A,易知B,P,Q的坐标由方程组得到,消去x得-y-=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得,y1y2=-p2,根据弦长公式,FP·FQ=·|y1|··|y2|=|y1y2|=p2,而OA·OB=·=p2,所以FP·FQ-OA·OB=0.
答案:
0
4.如图,以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD.若双曲线C1以A、B为焦点,且过C、D两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为________.
解析:
如图以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立坐标系,连结AC.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),∠BAC=θ,作CE⊥AB于点E,圆的半径为R,则BC=2Rsinθ,EB=BCcos(90°-θ)=2Rsin2θ.
CD=2R-4Rsin2θ,梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin2θ=-4R+5R.
当sinθ=,即θ=30°时,l有最大值5R,此时,BC=R,AC=R,a=(AC-BC)=(-1)R,c=R,则e==+1.
答案:
+1
5.
(2018·福建省质量检查)如图,设P是圆O:
x2+y2=2上的点,过P作直线l垂直x轴于点Q,M为l上的一点,且=.当点P在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)某同学研究发现:
若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上,使其一条直角边过点F(1,0),则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点.你认为该同学的结论是否正确?
若正确,请证明,若不正确,说明理由;
(3)设直线m是圆O所在平面内的一条直线,过点F(1,0)作直线m的垂线,垂足为T,连结OT,请根据“线段OT的长度”讨论“直线m与曲线Γ的公共点个数”.(直接写出结论,不必证明)
解:
(1)设M(x,y),P(xP,yP),
因为PQ垂直x轴于点Q,M为直线l上一点,且=,所以xP=x,yP=y,
因为点P在圆O:
x2+y2=2上,所以x+y=2,
即x2+(y)2=2,整理得+y2=1.
故曲线Γ的方程为+y2=1.
(2)正确.证明:
设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N(a,b)处,则a2+b2=2,设三角板的另一条直角边所在直线为l′.
(ⅰ)当a=1时,直线NF⊥x轴,l′:
y=±1,
显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点.
(ⅱ)当a≠1时,kNF=.
若b=0时,则直线l′:
x=±,显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点;
若b≠0,则直线l′的斜率k=.
所以l′:
y-b=(x-a),即y=x+,
由得x2+x+=0,即[b2+2(1-a)2]x2+4(1-a)(2-a)x+2[(2-a)2-b2]=0.(*)
又b2=2-a2,所以方程(*)可化为(a-2)2x2+4(1-a)·(2-a)x+4(a-1)2=0,
所以Δ=[4(1-a)(2-a)]2-16(a-2)2(a-1)2=0,
所以直线l′与曲线Γ有且只有一个公共点.
综上所述,该同学的结论正确.
(3)当OT>时,直线m与曲线Γ没有公共点.
当OT=时,直线m与曲线Γ有且只有一个公共点.
当06.
(2018·衡阳模拟)已知F1、F2分别为椭圆C1:
+=1(a>b>0)的上、下焦点,其中F1是抛物线C2:
x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且MF1=.
(1)试求椭圆C1的方程;
(2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:
y=k(x+t)(t≠0)交椭圆于A、B两点,若椭圆上一点P满足:
+=λ(λ≠0),求实数λ的取值范围.
解:
(1)由C2:
x2=4y知F1(0,1),c=1.
设M(x0,y0)(x0<0),M在抛物线C2上,故x=4y0.①
又MF1=,则y0+1=.②
由①②得x0=-,y0=.
而点M在椭圆上,所以2a=MF1+MF2=4,
故a=2,b2=a2-c2=3.
故椭圆C1的方程为+=1.
(2)因为直线l:
y=k(x+t)与圆x2+(y+1)2=1相切,
所以=1⇒k=(t≠0).
把y=k(x+t)代入+=1并整理得:
(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2-12=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有
x1+x2=-,y1+y2=kx1+kt+kx2+kt=.
因为λ=(x1+x2,y1+y2),
所以P.
又因为点P在椭圆上,所以+=1⇒λ2==(t≠0).
因为t2>0,所以++1>1,所以0<λ2<4,
所以λ的取值范围为(-2,0)∪(0,2).