4．（2018·湖南湘中名校联考）已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________．
解析：
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），F，
由＋＝－，得y1＋y2＋y3＝0.
因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，
所以＋＋＝＋＋＝0.
答案：
0
5．已知圆C关于y轴对称，经过点A（1，0），且被x轴分成的两段弧长的比为1∶2，则圆C的标准方程为________．
解析：
因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上，可设C（0，b）．设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋（y－b）2＝r2.
依题意，得⇒
于是，圆C的标准方程为x2＋＝.
答案：
x2＋＝
6．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为________．
解析：
设a，b，c为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长．由题知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，2a＝2≥2＝2（当且仅当b＝c＝1时取等号）．
答案：
2
7．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
解析：
设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），由得y2＝＝F1F，即＝（2c）2，则e＝－1.
答案：
－1
8．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m的值为________．
解析：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
得5y2－20y＋12＋m＝0，则
又y1y2＝－x1x2及x1＋2y1－3＝0且x2＋2y2－3＝0，得5y1y2＝6（y1＋y2）－9，即5×＝6×4－9，
解得m＝3.
答案：
3
9．抛物线y＝x2与直线x－y＋2＝0构成的封闭平面区域（含边界）为D，若曲线x2－2ax＋y2－4y＋a2＋＝0与D有公共点，则a的最小值为________．
解析：
曲线x2－2ax＋y2－4y＋a2＋＝0，即为（x－a）2＋（y－2）2＝，其圆心坐标为E（a，2），半径r＝.
作出抛物线y＝x2与直线x－y＋2＝0如图所示，由图可知，当a≥0时，存在a使圆与D有公共点；
当a<0时，要使圆与D有公共点，只需圆心到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝≤，得－≤a<0，则a的最小值为－.
答案：
－
10．过双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为________．
解析：
设双曲线的右顶点为B，则B（a，0）．不妨取渐近线y＝x，则A点的坐标为（a，b），从而可知OA＝c，由已知可得OF＝AF＝c＝4，所以△OAF为边长是c的等边三角形．又AB⊥OF，所以OB＝a＝2，AB＝b＝2.故所求的双曲线方程为－＝1.
答案：
－＝1
11．已知椭圆E：
＋＝1（a>b>0），其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：
x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
（1）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
（2）若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，求a的取值范围．
解：
（1）由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A（2，0），得a＝2，所以c＝，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
（2）由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立
得6y2－8y＋4－a2＝0.
若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0，1]上有解．
设f（y）＝6y2－8y＋4－a2，
所以即
所以≤a2≤4，
故a的取值范围是≤a≤2.
12．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0），O是坐标原点，P是线段AB的中点，若C是点A关于原点的对称点，Q是线段BC的中点，且OP＝OQ，设圆D的方程为x2＋y2－（x1＋x2）x－（y1＋y2）y＝0.
（1）证明：
线段AB是圆D的直径；
（2）若存在p使2p（x1＋x2）＝y＋y＋8p2＋2y1y2，当圆D的圆心到直线x－2y＝0的距离的最小值为时，求p的值．
解：
（1）证明：
由于点P的坐标为（，），点A（x1，y1）关于原点的对称点为C（－x1，－y1），那么点Q的坐标为（，）．
由OP＝OQ，得OP2＝OQ2，
即＋＝＋，
得（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，从而x1x2＋y1y2＝0，由此得OA⊥OB.由方程x2＋y2－（x1＋x2）x－（y1＋y2）y＝0知圆D过原点，故线段AB是圆D的直径．
（2）由2p（x1＋x2）＝y＋y＋8p2＋2y1y2，
得x1＋x2＝[（y1＋y2）2＋8p2]．
又圆心到直线x－2y＝0的距离d＝
＝
＝≥＝，
从而得p＝2.
1．已知圆x2＋y2＝1和直线y＝2x＋b交于A，B两点，且OA，OB与x轴正方向所成的角分别为α，β，则sin（α＋β）＝________．
解析：
由得5x2＋4bx＋b2－1＝0，设A，B两点坐标分别为A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
则又
则sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝（2cosα＋b）cosβ＋cosα（2cosβ＋b）＝4cosαcosβ＋b（cosα＋cosβ）＝4·＋b·＝－.
答案：
－
2．已知椭圆x2＋＝1（00时，椭圆离心率的取值范围为________．
解析：
设F、B、C的坐标分别为（－c，0）、（0，b）、（1，0），则FC、BC的中垂线分别为x＝，y－＝，联立方程，解得
于是m＋n＝＋>0，即b－bc＋b2－c>0，（1＋b）（b－c）>0，得b>c，从而b2>c2，即a2>2c2，所以e2<，又e>0，所以0答案：
（0，）
3．（2018·杭州质检）设抛物线C：
y2＝2px（p>0），A为抛物线上一点（A不同于原点O），过焦点F作直线平行于OA，交抛物线C于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则FP·FQ－OA·OB＝________．
解析：
设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得－y－＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，根据弦长公式，FP·FQ＝·|y1|··|y2|＝|y1y2|＝p2，而OA·OB＝·＝p2，所以FP·FQ－OA·OB＝0.
答案：
0
4.如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD.若双曲线C1以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为________．
解析：
如图以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，连结AC.设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），∠BAC＝θ，作CE⊥AB于点E，圆的半径为R，则BC＝2Rsinθ，EB＝BCcos（90°－θ）＝2Rsin2θ.
CD＝2R－4Rsin2θ，梯形的周长l＝AB＋2BC＋CD＝2R＋4Rsinθ＋2R－4Rsin2θ＝－4R＋5R.
当sinθ＝，即θ＝30°时，l有最大值5R，此时，BC＝R，AC＝R，a＝（AC－BC）＝（－1）R，c＝R，则e＝＝＋1.
答案：
＋1
5.
（2018·福建省质量检查）如图，设P是圆O：
x2＋y2＝2上的点，过P作直线l垂直x轴于点Q，M为l上的一点，且＝.当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）某同学研究发现：
若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上，使其一条直角边过点F（1，0），则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确？
若正确，请证明，若不正确，说明理由；
（3）设直线m是圆O所在平面内的一条直线，过点F（1，0）作直线m的垂线，垂足为T，连结OT，请根据“线段OT的长度”讨论“直线m与曲线Γ的公共点个数”．（直接写出结论，不必证明）
解：
（1）设M（x，y），P（xP，yP），
因为PQ垂直x轴于点Q，M为直线l上一点，且＝，所以xP＝x，yP＝y，
因为点P在圆O：
x2＋y2＝2上，所以x＋y＝2，
即x2＋（y）2＝2，整理得＋y2＝1.
故曲线Γ的方程为＋y2＝1.
（2）正确．证明：
设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N（a，b）处，则a2＋b2＝2，设三角板的另一条直角边所在直线为l′.
（ⅰ）当a＝1时，直线NF⊥x轴，l′：
y＝±1，
显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
（ⅱ）当a≠1时，kNF＝.
若b＝0时，则直线l′：
x＝±，显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点；
若b≠0，则直线l′的斜率k＝.
所以l′：
y－b＝（x－a），即y＝x＋，
由得x2＋x＋＝0，即[b2＋2（1－a）2]x2＋4（1－a）（2－a）x＋2[（2－a）2－b2]＝0.（*）
又b2＝2－a2，所以方程（*）可化为（a－2）2x2＋4（1－a）·（2－a）x＋4（a－1）2＝0，
所以Δ＝[4（1－a）（2－a）]2－16（a－2）2（a－1）2＝0，
所以直线l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
综上所述，该同学的结论正确．
（3）当OT>时，直线m与曲线Γ没有公共点．
当OT＝时，直线m与曲线Γ有且只有一个公共点．
当06.
（2018·衡阳模拟）已知F1、F2分别为椭圆C1：
＋＝1（a>b>0）的上、下焦点，其中F1是抛物线C2：
x2＝4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且MF1＝.
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2＋（y＋1）2＝1相切的直线l：
y＝k（x＋t）（t≠0）交椭圆于A、B两点，若椭圆上一点P满足：
＋＝λ（λ≠0），求实数λ的取值范围．
解：
（1）由C2：
x2＝4y知F1（0，1），c＝1.
设M（x0，y0）（x0<0），M在抛物线C2上，故x＝4y0.①
又MF1＝，则y0＋1＝.②
由①②得x0＝－，y0＝.
而点M在椭圆上，所以2a＝MF1＋MF2＝4，
故a＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C1的方程为＋＝1.
（2）因为直线l：
y＝k（x＋t）与圆x2＋（y＋1）2＝1相切，
所以＝1⇒k＝（t≠0）．
把y＝k（x＋t）代入＋＝1并整理得：
（4＋3k2）x2＋6k2tx＋3k2t2－12＝0.
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有
x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋kt＋kx2＋kt＝.
因为λ＝（x1＋x2，y1＋y2），
所以P.
又因为点P在椭圆上，所以＋＝1⇒λ2＝＝（t≠0）．
因为t2>0，所以＋＋1>1，所以0<λ2<4，
所以λ的取值范围为（－2，0）∪（0，2）．
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