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离散数学复习资料
《离散数学》习题与解答
第一篇数理逻辑
第一章命题逻辑
1-1
（1）指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题指出他的真值
a）离散数学是计算机科学系的一门必修棵
b）∏>
吗？
c）明天我去看电影
d）请勿随地吐痰
e）不存在最大质数
f）如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲的语言就容易多了
g）9+5<12
h）x<3
i）月球上有水
j）我正在说假话
[解]
a）不是命题
b）是命题,真值视具体情况而定
c）不是命题
d）是命题,真值为t
e）是命题,真值为t
f）是命题,真值为f
g）不是命题
h）是命题,真值视具体情况而定
i）不是命题
1-2
（1）用P表示命题“天下雪”,（又表示命题“我将去镇上”,R表示命题“我有时间”.以符号形式写出下列命题:
（a）如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上.
（b）我将去镇上，仅当我有时间.
（c）天不下雪
（d）天下雪,那么我不去镇上
[解]
a）（┐P∧R）→Q
b）Q→R
c）┐P
d）P→┐Q
1-2
（2）将下面这段述中所出现的原子命题符号化,并指出他们的真值,然后将这段述中的每一命题符号化
是有理数是不对的.2是偶素数.2或4是素数.如果2是素数则3也是素数.2是素数当且仅当3也是素数.
[解]:
述中出现5个原子命题，将他们符号化为:
P:
是有理数其真值为F
Q:
2是素数其真值为T
R:
2是偶数其真值为T
S:
3是素数其真值为T
U:
4是素数其真值为F
述中各命题符号化为:
┐P;Q∧R;Q∨U;Q→S;Q＜＝＞S
1-2（3）将下列命题符号化
a）如果3+3=6,则雪是白色的.
b）如果3+3≠6,则雪是白色的
c）如果3+3=6,则雪不是白色的.
d）如果3+3≠6,则雪不是白色的
e）王强身体很好，成绩也很好.
f）四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行
[解]:
设P:
3+3=6Q:
雪是白色的
R:
王强成绩很好S:
王强身体很好
U:
四边形ABCD是平行四边形V:
四边形ABCD的对边是平行的
于是:
a）可表示为:
P→Q
b）可表示为:
┐P→Q
c）可表示为:
P→┐Q
d）可表示为：
┐P→┐Q
e）可表示为：
S∧R
f）可表示为:
U＜＝＞V
1-3
（1）判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式
a）（Q→R∧S）
b）（P＜＝＞（R→S））
c）（（┐P→Q）→（Q→P）））
d）（RS→T）
e）（（P→（Q→R））→（（P→Q）→（P→R）））
[解]:
a）不是合式公式（若规定运算符优先级后也可以作为合式公式）
b）是合式公式
c）不是合式公式（括号不配对）
d）不是合式公式
e）是合式公式
1-3
（2）对下列各式用指定的公式进行代换:
a）（（（A→B）→B）→A）,用（A→C）代换A，用（（B∧C）→A代换B。
b）（（A→B）∨（B→A）,用B代换A,A代换B.
[解]:
a）（（（（A→C）→（（B∧C）→A））→（（B∧C）→A））→（A→C））
b）（（B→A）∨（A→B））
1-3（3）用符号形式写出下列命题
a）假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.
b）我今天进城,除非下雨.
c）仅当你走,我将留下.
[解]a）设P:
上午天下雨.Q:
我去看电影
R:
我在家读书S:
我在家看报
原命题可译为:
（┐P→Q）∧（P→（R∨S））
b）设:
P:
我今天进城Q:
天下雨
原命题可译为:
┐Q→P
c）设:
P:
你走Q:
我留下
原命题可译为:
Q→P
１－３（4）称┐P→┐Q为条件命题P→Q的反换式
Q→P为条件命题P→Q的逆换式
┐Q→┐P为条件命题P→Q的逆反式
试写出如下条件命题的反换式，逆换式，逆反式。
（a）如果他有勇气，则他将得胜。
（b）如果天下雨，我不去。
[解]（a）设P：
他有勇气，Q：
他将得胜
原条件命题可译为：
P→Q
反换式：
┐P→┐Q，表示：
如果他没有勇气，则他将不能获胜。
逆换式：
Q→P，表示：
如果他将得胜，则他有勇气。
逆反式：
┐Q→┐P，表示：
如果他不获胜，则他没有勇气。
（b）设P：
天下雨，Q：
我去
原条件命题可译为：
P→┐Q
反换式：
┐P→Q，表示：
如果如果天不下雨，则我去。
逆换式：
Q→P，表示：
如果我不去，则天下雨。
逆反式：
┐Q→┐P，表示：
如果我去，则天不下雨。
1-4
（1）试求下列各命题公式的真值表并解释其结果
（a）（P→Q）∧（Q→P）；
（b）（P∧Q）→P；
（c）Q→（P∨Q）；
（d）（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）；
（e）（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））；
（f）┐（P→Q）∧Q∧R。
[解]（a）从真值表1-1中可看出：
（P→Q）∧（Q→P）＜＝＞（P＜＝＞Q）
（b）从真值表1-2中可看出：
（P∧Q）→P是永真式
（c）从真值表1-3中可看出：
Q→（P∨Q）是永真式
（d）从真值表1-4中可看出：
（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）是永真式
（e）从真值表1-5中可看出：
（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））
＜＝＞┐P∨Q
＜＝＞P→Q
＜＝＞┐（P∧┐Q）
P Q
P→Q
Q→P
（P→Q）∧（Q→P）
TT
TF
FT
FF
T
F
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
（f）从真值表1-6中可看出：
┐（P→Q）∧Q∧R是永真式
表1-1
P Q
P∧Q
（P∧Q）→P
TT
TF
FT
FF
T
F
F
F
T
T
T
T
表1-2
P Q
P∨Q
Q→（P∨Q）
TT
TF
FT
FF
T
T
T
F
T
T
T
T
表1-3
P Q
┐P
P→Q
┐P∨Q
（P→Q）＜＝＞（┐P∨Q）
TT
TF
FT
FF
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
表1-4
P Q
┐P
┐Q
┐P∨Q
┐（┐P∧┐Q）
（┐P∨Q）∧（┐（┐P∧┐Q））
TT
TF
FT
FF
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
表1-5
P QR
P→Q
┐（P→Q）
┐（P→Q）∧Q
┐（P→Q）∧Q∧R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
表1-6
1-4
（2）用真值表判断下列各组公式是否等价：
（a）P→（Q→R）与（P∧Q）→R
（b）（P→Q）→R与（P∧Q）→R
[解]由表1-7可知P→（Q→R）＜＝＞（P∧Q）→R
而（P→Q）→R＜≠＞（P∧Q）→R
P QR
P→（Q→R）
（P∧Q）→R
（P→Q）→R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
F
表1-7
1-4（3）试以真值表证明下列命题：
（a）合取运算的结合律
（b）德摩根定律
[解]（a）如表1-8，（P∧Q）∧R＜＝＞
（b）如表1-9，┐（P∧Q）＜＝＞┐P∨┐Q
┐（P∨Q）＜＝＞┐P∧┐Q
P QR
P∧Q
（P∧Q）∧R
Q∧R
P∧（Q∧R）
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
T
T
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
表1-8
PQ
┐P
┐Q
┐P∨┐Q
┐（P∧Q）
┐P∧┐Q
┐（P∨Q）
TT
TF
FT
FF
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
表1-9
2-4（4）证明下列等价式：
（a）A→（B→A）＜＝＞┐A→（A→┐B）；
（b）（A∨B）→C＜＝＞（A→C）∧（B→C）；
（c）┐（A＜＝＞B）＜＝＞（A∧┐B）∨（┐A∧B）；
（d）（（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D
[证]（a）A→（B→A）＜＝＞┐A∨（┐B∨A）
＜＝＞（┐B∨A）∨┐A
＜＝＞（A∨┐B）∨┐A
＜＝＞A∨（┐B∨┐A）
＜＝＞A∨（┐A∨┐B）
＜＝＞A∨（A→┐B）
＜＝＞┐A→（A→┐B）
（b）（A→C）∧（B→C）＜＝＞（┐A∨C）∧（┐B∨C）
＜＝＞（┐A∧┐B）∨C
＜＝＞┐（A∨B）∨C
＜＝＞（A∨B）C
（c）┐（A＜＝＞B）＜＝＞┐（（A→B）∧（B→A））
＜＝＞┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
＜＝＞┐（┐A∨B）∨┐（┐B∨A））
＜＝＞（A∧┐B）∨（B∧┐A））
（d）（（（A∧B）∧C）→D）∧（C→（A∨（B∨D）））
＜＝＞（（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐C∨（A∨B∨D）））
＜＝＞（┐A∨┐B∨┐C∨D）（┐C∨A∨B∨D）
＜＝＞（┐C∨D）∨（（┐A∨┐B）∧（A∨B））
＜＝＞（┐C∨D）∨（（A∧┐B）∨（B∧┐A））
＜＝＞（┐C∨D）∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
＜＝＞（┐C∨┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A）））∨D
＜＝＞┐（C∧（┐A∨B）∧（┐B∨A））∨D
＜＝＞┐（C∧（A→B）∧（B→A））∨D
＜＝＞┐（C∧（A＜＝＞B））∨D
＜＝＞（C∧（A＜＝＞B））→D
1-4（5）判断下列命题公式的类型（永真；永假；非永真，也非永假）：
（a）（（P→Q）∧P）→Q；
（b）┐（P→（P∨Q））∧R；
（c）P∧（（（P∨Q）∧┐P）→Q）.
[解]（a）（（P→Q）∧P）→Q
＜＝＞（（┐P∨Q）∧P）→Q
＜＝＞┐（（┐P∨Q）∧P）∨Q
＜＝＞（┐（┐P∨Q）∨┐P）∨Q
＜＝＞（（P∧┐Q）∨┐P）∨Q
＜＝＞（（P∨┐P）∧（┐Q∨┐P））∨Q
＜＝＞（┐Q∨┐P）∨Q
＜＝＞T∨┐P
＜＝＞T
∴（a）为永真式
（b）┐（P→（P∨Q））∧R
＜＝＞┐（┐P∨P∨Q）∧R
＜＝＞（P∧┐P∧┐Q）∧R
＜＝＞F∧R
＜＝＞F
∴（b）为永假式
（c）P∧（（（P∨Q）∧┐P）→Q）
＜＝＞P∧（┐（（P∨Q）∧┐P）∨Q）
＜＝＞P∧（┐（（P∧┐P）∨（Q∧┐P））∨Q）
＜＝＞P∧（┐（F∨（Q∧┐P））∨Q）
＜＝＞P∧（┐Q∨P∨Q）
＜＝＞P∧T
＜＝＞P
∴（c）为非永真式，也非永假式
1-4.（6）化简如下语句：
“情况并非如此：
若他不来，则我不去”。
[解]：
首先符号化上述语句。
设P：
他来。
Q：
我去
则原句：
┐（┐P→┐Q）
然后化简上述命题公式
┐（┐P→┐Q）
＜＝＞┐（┐┐Q→┐┐P）
＜＝＞┐（Q→P）
＜＝＞┐（┐Q∨P）
＜＝＞Q∧┐P
即：
我去了，但他未来。
1—4（7）（a）如果A∨C＜＝＞B∨C，是否有A＜＝＞B？
如果A∧C＜＝＞B∧C，是否有A＜＝＞B？
如果┐A＜＝＞┐B，是否有A＜＝＞B？
[解]（a）不能说必有A＜＝＞B，因为当A∨C＜＝＞B∨C时，有可能某种指派使C为T，但A、B的值并不相同
（b）不能说必有A＜＝＞B，因为当A∧C＜＝＞B∧C时，有可能某种指派使C为F，但A、B的值并不相同
（c）结论正确。
因为（A→B）＜＝＞（┐B→┐A），所以┐B→┐A为永真式时，A→B也是永真式。
即┐B＝＞┐A时，必有A＝＞B。
同理┐A＝＞┐B时，B＝＞A。
所以┐B＜＝＞┐A时，必有A＜＝＞B
1—5
（1）试证下列各式为永真式：
（a）（P∧（P→Q））→Q；
（b）┐P→（P→Q）；
（c）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）；
（d）（（P∧Q）∨（Q∧R）∨（R∧P））＜＝＞（（P∨Q）∧（Q∨R）∧（R∨P））
[解]（a）（P∧（P→Q））→Q
＜＝＞（P∧（┐P∨Q））→Q
＜＝＞（P∧┐P）∨（P∧Q））→Q
＜＝＞（P∧Q）→Q
＜＝＞┐（P∧Q）∨Q
＜＝＞┐P∨┐Q∨Q
＜＝＞┐P∨T
＜＝＞T
（b）┐P→（P→Q）
＜＝＞P∨（┐P∨Q）
＜＝＞P∨┐P∨Q
＜＝＞T∨Q
＜＝＞T
（c）当本条件命题的后件为F时，必有P：
T；R：
F考察条件的前件（P→Q）∧（Q→R）。
当Q：
F时，因P→Q：
F；当Q：
T时，因Q→R：
F。
所以前件必为F。
故（P→Q）∧（Q→R）＝＞P→R
因此（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）是永真式
（d）（P∧Ｑ）∨（Ｑ∧R）∨（R∧P）
＜＝＞（Ｑ∧（P∨R））∨（R∧P）
＜＝＞（Ｑ∨（R∧P））∧（（P∨R）∨（R∧P））
＜＝＞（Ｑ∨R）∧（Ｑ∨P）∧（P∨R）
＜＝＞（P∨Ｑ）∧（Ｑ∨R）∧（R∨P）
∴（P∧Ｑ）∨（Ｑ∧R）∨（R∧P）＜＝＞（P∨Q）∧（Q∨R）∧（R∨P）
1-5
（2）不构造真值表证明下列蕴涵式：
（a）（P→Q）＝＞P→（P∧Q）;
（b）（P→Q）→Q＝＞P∨Q；
（c）（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））＝＞R→Ｑ
[证]（a）解法1
设P→Q为T，则
（1）P为T，Q为T因而P→（P∧Q）为T
或
（2）P为F则必有P→（P∧Q）为T
所以（a）成立。
解法2
设P→（P∧Q）为F
则P为T，Ｑ为F所以P→Q为F
所以（a）成立。
解法3
（P→Q）→（P→（P∧Q））
＜＝＞┐（┐P∨Q）∨（┐P∨（P∧Q））
＜＝＞┐（┐P∨Q）∨（（┐P∨P）∧（┐P∨Q））
＜＝＞┐（┐P∨Q）∨（┐P∨Q）
＜＝＞T
所以（a）成立。
（b）设P∨Q为F，则P为F，Q为F
则P→Q为T，所以（P→Q）→Q为F
所以（b）成立。
（c）（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））
＜＝＞┐（┐Q∨F）∨（┐R∨（┐R∨F））
＜＝＞┐（┐Q）∨（┐R∨┐R）
＜＝＞┐（┐Q）∨┐R
＜＝＞┐Q→┐R
＜＝＞R→Ｑ
所以（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））＜＝＞R→Ｑ
当然有（Q→（P∧┐P））→（R→（R→（P∧┐P）））＝＞R→Ｑ
1-5（3）试证明P＜＝＞Q，Q逻辑蕴含P。
[证]本题要求证明：
（P＜＝＞Q）∧Ｑ＝＞Ｐ
设（P＜＝＞Q）∧Ｑ为Ｔ，则Ｑ为Ｔ且（P＜＝＞Q）为Ｔ
所以Ｐ必为Ｔ，因而蕴含式成立。
１－５（４）逻辑推证下列各式：
（a）Ｐ＝＞（┐P→Ｃ）；
（b）┐Ａ∧Ｂ∧Ｃ＝＞Ｃ；
（c）Ｃ＝＞Ａ∨Ｂ∨┐Ｂ；
（d）┐（Ａ∧Ｂ）＝＞┐Ａ∨┐Ｂ；
（e）┐Ａ→（Ｂ∨Ｃ），Ｄ∨Ｅ，（Ｄ∨Ｅ）→┐Ａ＝＞Ｂ∨Ｃ；
（f）（Ａ∧Ｂ）→Ｃ，┐Ｄ，┐Ｃ∨Ｄ＝＞┐Ａ∨┐Ｂ。
［证］（a）若Ｐ为Ｔ，则┐P为Ｆ，故┐P→Ｃ必为Ｔ。
所以（a）成立。
（b）若Ｃ为Ｆ，则┐Ａ∧Ｂ∧Ｃ必为Ｆ。
故（b）成立。
（c）因为Ａ∨Ｂ∨┐Ｂ＜＝＞Ｔ。
故Ｃ＝＞Ａ∨Ｂ∨┐Ｂ。
（d）设┐Ａ∨┐Ｂ为Ｆ，则Ａ为Ｔ且Ｂ为Ｔ
所以Ａ∧Ｂ为Ｔ，┐（Ａ∧Ｂ）为Ｆ。
故（d）成立。
（e）设┐Ａ→（Ｂ∨Ｃ），Ｄ∨Ｅ，（Ｄ∨Ｅ）→┐Ａ均为Ｔ
则因Ｄ∨Ｅ为Ｔ及（Ｄ∨Ｅ）→┐Ａ为Ｔ，而可得┐Ａ为Ｔ
又因┐Ａ→（Ｂ∨Ｃ）为Ｔ 故得Ｂ∨Ｃ为Ｔ，故（e）成立。
（f）设（Ａ∧Ｂ）→Ｃ，┐Ｄ，┐Ｃ∨Ｄ均为Ｔ，
则Ｄ为Ｆ，由┐Ｃ∨Ｄ为Ｔ，可知Ｃ为Ｆ。
再由（Ａ∧Ｂ）→Ｃ为Ｔ可得Ａ∧Ｂ为Ｆ，
因而必有┐（Ａ∧Ｂ）为Ｔ，也即Ａ∨┐Ｂ为Ｔ，
故（f）成立。
１－６（１）把下列各式用只含∨和┐的等价式表达，并要尽可能简单：
（a）（P∧Ｑ）∧┐P；
（b）（Ｐ→（Ｑ∨┐Ｒ））∧┐P∧Ｑ；
（c）┐P∧┐Ｑ∧（┐Ｒ→Ｐ）。
［解］（a）（P∧Ｑ）∧┐P
＜＝＞（P∧┐P）∧Ｑ
＜＝＞Ｆ∧Ｑ
＜＝＞┐（Ｔ∨┐Ｑ）
（b）（Ｐ→（Ｑ∨┐Ｒ））∧┐P∧Ｑ
＜＝＞（┐Ｐ∨Ｑ∨┐Ｒ）∧（┐P∧Ｑ）
＜＝＞（┐Ｐ∧┐P∧Ｑ）∨（Ｑ∧┐P∧Ｑ）∨（┐Ｒ∧┐P∧Ｑ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∨（┐P∧Ｑ）∨（┐P∧Ｑ∧┐Ｒ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∨（┐P∧Ｑ∧┐Ｒ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∧（Ｔ∧┐Ｒ）
＜＝＞（┐P∧Ｑ）∧Ｔ
＜＝＞┐P∧Ｑ
＜＝＞┐（P∨┐Ｑ）
（c）┐P∧┐Ｑ∧（┐Ｒ→Ｐ）
＜＝＞┐P∧┐Ｑ∧（Ｒ∨Ｐ）
＜＝＞（┐P∧┐Ｑ∧Ｒ）∨（┐P∧┐Ｑ∧Ｐ）
＜＝＞（┐P∧┐Ｑ∧Ｒ）∨Ｆ
＜＝＞┐P∧┐Ｑ∧Ｒ
＜＝＞┐（P∨Ｑ∨┐Ｒ）
１－６（２）对下列各式仅用“或非”（↓）表示：
（a）┐P；
（b）P∨Ｑ；
（c）P∧Ｑ；
［解］：
（a）┐P＜＝＞┐（P∨P）＜＝＞P↓P
（b）P∨Ｑ＜＝＞┐（┐（P∨Ｑ））＜＝＞┐（P↓Ｑ）
＜＝＞（P↓Ｑ）↓（P↓Ｑ）
（c）P∧Ｑ＜＝＞┐（┐P∨┐Ｑ）＜＝＞┐P↓┐Ｑ
＜＝＞（P↓P）↓（Ｑ↓Ｑ）
１－６（３）对下列各式仅用“与非”（↑）表示：
（a）┐P；
（b）P∨Ｑ；
（c）P∧Ｑ；
［解］：
（a）┐P＜＝＞┐（P∧P）＜＝＞P↑P
（b）P∨Ｑ＜＝＞┐（┐P∧┐Ｑ）＜＝＞┐P↑┐Ｑ
＜＝＞（P↑P）↑（Ｑ↑Ｑ）
（c）P∧Ｑ＜＝＞┐（┐（P∧Ｑ））＜＝＞┐（P↑Ｑ）
＜＝＞（P↑Ｑ）↑（P↑Ｑ）
１－６（４）把P→（┐P→Q）分别表示成只含“↑”和只含“↓”的等价公式。
［解］P→（┐P→Q）＜＝＞┐P∨（P∨Q）＜＝＞Ｔ∨Q＜＝＞Ｔ
＜＝＞┐P∨P＜＝＞（┐P↑┐P）↑（P↑P）
＜＝＞P↑（P↑P）。
P→（┐P→Q）＜＝＞┐P∨P
＜＝＞（┐P↓P）↓（┐P↓P）
＜＝＞（（P↓P）↓P）↓（（P↓P）↓P）。
１－６（５）把P↑Ｑ表示成只含“↓”的等价公式，把P↓Ｑ表示成只含“↑”的等价公式。
［解］P↑Ｑ＜＝＞┐（P∧Ｑ）＜＝＞┐P∨┐Ｑ＜＝＞（P↓P）∨（Ｑ↓Ｑ）
＜＝＞［（P↓P）↓（Ｑ↓Ｑ）］↓［（P↓P）↓（Ｑ↓Ｑ）］。
P↓Ｑ＜＝＞┐（P∨Ｑ）＜＝＞┐P∧┐Ｑ＜＝＞（P↑P）∧（Ｑ↑Ｑ）
＜＝＞［（P↑P）↑（Ｑ↑Ｑ）］↑［（P↑P）↑（Ｑ↑Ｑ）］。
１－６（６）证明｛∨｝，｛∧｝和｛→｝不是最小联结词组。
［证］（反证法）若｛∨｝，｛∧｝，｛→｝均是最小联结词组，则
否定（┐）命题连接词可分别仅用∨，∧，→表示，即
┐P＜＝＞（P∨…）
┐P＜＝＞（P∧…）
┐P＜＝＞P→（P→（P→…）…）
但当时所有命题变元均指派Ｔ时，各等价式的左端为Ｆ
而右端却为Ｔ，故产生矛盾。
故｛∨｝，｛∧｝和｛→｝均不是最小联结词组。
c
１－６（７）证明｛┐，→｝，｛┐，→｝是最小联结词组。
［证］：
因为｛┐，∨｝是最小联结词组，且Ｐ∨Ｑ＜＝＞┐Ｐ→Ｑ 。
故｛┐，→｝是功能完备的联结词组。
又｛┐｝和｛→｝都不是功能完备的，所以｛┐，→｝是最小联结词组。
c c c
又因为Ｐ→Ｑ＜＝＞┐（Ｐ→Ｑ）故｛┐，→｝也是功能完备的联结词组。
但｛→｝
c
不是功能完备的。
因为若它是功能完备的，则否定（┐）命题联结词必有仅用→表示，即：
c c c
┐P＜＝＞（Ｐ→（Ｐ→（Ｐ→…）…） c
但当对命题变元指派Ｆ时，上等价式的左端为Ｔ，但右端为Ｆ，矛盾。
所以｛┐，→｝也是最小联结词组。
１－７（１）求公式Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）的析取式和合取式。
［解］析取式：
Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）＜＝＞Ｐ∧（┐Ｐ∨Ｑ）
＜＝＞（Ｐ∧┐Ｐ）∨（Ｐ∧Ｑ）
合取式：
Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）＜＝＞Ｐ∧（┐Ｐ∨Ｑ）
或
Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）＜＝＞Ｐ∧（┐Ｐ∨Ｑ）
＜＝＞（Ｐ∨（Ｑ∧┐Ｑ））∧（┐Ｐ∨Ｑ）
＜＝＞（Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨┐Ｑ）∧（┐Ｐ∨Ｑ）
１－７（２）把下列各式化为析取式（每项两个变元）：
（a）（┐Ｐ∧Ｑ）→Ｒ；
（b）Ｐ→（（Ｑ∧Ｒ）→Ｓ）；
（c）（Ｐ→Ｑ）→Ｒ；
（d）┐（Ｐ∧Ｑ）∧（Ｐ∨Ｑ）；
［解］：
（a）（┐Ｐ∧Ｑ）→Ｒ＜＝＞┐（┐Ｐ∧Ｑ）∨Ｒ
＜＝＞Ｐ∨┐Ｑ∨Ｒ
＜＝＞Ｐ∧（Ｑ∨┐Ｑ）∨┐Ｑ∧（Ｒ∨┐Ｒ）∨Ｒ∧（Ｐ∨┐Ｐ）
＜＝＞（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧┐Ｑ）∨（┐Ｑ∧Ｒ）∨（┐Ｑ∧┐Ｒ）∨（Ｒ∧Ｐ）（Ｒ∧┐Ｐ）
（b）Ｐ→（（Ｑ∧Ｒ）→Ｓ）
＜＝＞┐Ｐ∨（┐（Ｑ∧Ｒ）∨Ｓ）＜＝＞┐Ｐ∨┐Ｑ∨┐Ｒ∨Ｓ
＜＝＞┐Ｐ∧（Ｑ∨┐Ｑ）∨┐Ｑ∧（Ｒ∨┐Ｒ）∨┐Ｒ∧（Ｓ∨┐Ｓ）∨Ｓ∧（Ｐ∨┐Ｐ）
＜＝＞（┐Ｐ∧Ｑ）∨（┐Ｐ∧┐Ｑ）∨┐（Ｑ∧Ｒ）∨（┐Ｑ∧┐Ｒ）∨（┐Ｒ∧Ｓ）∨（┐Ｒ∧┐Ｓ）∨（ＳＰ）∨（Ｓ∧┐Ｐ）
（c）（Ｐ→Ｑ）→Ｒ＜＝＞┐（┐Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ
＜＝＞（Ｐ∧┐Ｑ）∨Ｒ＜＝＞（Ｐ∧┐Ｑ）∨（Ｒ∧（Ｐ∨┐Ｐ））
＜＝＞（Ｐ∧┐Ｑ）∨（Ｒ∧Ｐ）∨（Ｒ∧┐Ｐ）
（d）┐（Ｐ∧Ｑ）∧（Ｐ∨Ｑ）
＜＝＞（┐Ｐ∨┐Ｑ）∧（Ｐ∨Ｑ）
＜＝＞（┐Ｐ∧Ｐ）∨（┐Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧┐Ｑ）∨（┐Ｑ∧Ｑ）
１－７（３）把下列各式化为合取式：
（a）Ｐ∨（┐Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）；
（b）┐（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ∨Ｑ）；
（c）┐（Ｐ→Ｑ）；
（d）（Ｐ→Ｑ）→Ｒ；
（e）（┐Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧┐Ｑ）
［解］：
（a）Ｐ∨（┐Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）＜＝＞（Ｐ∨┐Ｐ）∧（Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨Ｒ）
＜＝＞（Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨Ｒ）
（b）┐（Ｐ→Ｑ
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