高中数学第二册上点到直线的距离公式.docx

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高中数学第二册上点到直线的距离公式

2019-2020年高中数学第二册（上）点到直线的距离公式

一、教学目标

（一）知识教学点

点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．

（二）能力训练点

培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．

（三）知识渗透点

由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．

二、教材分析

1．重点：

展示点到直线的距离公式的探求思维过程．

2．难点：

推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．

3．疑点：

点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．

三、活动设计

启发、思考，逐步推进，讲练结合．

四、教学过程

（一）提出问题

已知点P（x0，y0）和直线l：

Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？

（二）构造特殊的点到直线的距离学生解决

思考题1　求点P（2，0）到直线L：

x-y=0的距离（图1-33）．

学生可能寻求到下面三种解法：

方法2　设M（x，y）是l：

x-y=0上任意一点，则

当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离．

方法3　直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|

进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法：

方法4　过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS|

方法5　过P作x轴的垂线交L于S

∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，

比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？

思考题2　求点P（2．0）到直线2x-y=0的距离（图1-34）．

思考题　3求点P（2，0）到直线2x-y+2=0的距离（图1-35）．

思考题4　求点P（2，1）到直线2x-y+2=0的距离（图1-36）．

过P作直线的垂线，垂足为Q，过P作x轴的平行线交直线于R，

（三）推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到

设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox，　PR与l交于R（x1，x1）（图1-37）．

∵PR∥Ox，

∴y1=y．

代入直线l的方程可得：

当α＜90°时（如图1-37甲），α1=α．

当α＞90°时（如图1-37乙），α1=π-α．

∵α＜90°，

∴|PQ|=|PR|sinα1

这样，我们就得到平面内一点P（x0，y0）到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：

如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．

（四）例题

例1　求点P0（-1，2）到直线：

（1）2x+y-10=0，

（2）3x=2的距离．

解：

（1）根据点到直线的距离公式，得

（2）因为直线3x=2平行于y轴，所以

例2　求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．

解：

在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P（3，0），则两平行线间的距离就是点P（3，0）到直线2x-7y+8=0的距离（图1-38）．

例3　正方形的中心在C（-1，0），一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．

解：

正方形的边心距

设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到

C1=-5（舍去0）或C1=7．

∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0．

设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这

解之有C2=-3或C2=9．

∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．

（五）课后小结

（1）点到直线的距离公式及其证明方法．

（2）两平行直线间的距离公式．

五、布置作业

1．（1．10练习第1题）求坐标原点到下列直线的距离：

2．（1．10练习第2题）求下列点到直线的距离：

3．（1．10练习第3题）求下列两条平行线的距离：

（1）2x+3y-8=0，　2x+3y+18=0．

（2）3x+4y=10，　3x+4y=0．

解：

x-y-6=0或x-y+2=0．

5．正方形中心在C（-1，0），一条边所在直线方程是3x-y二0，求其它三边所在的直线方程．

解：

此题是例3交换条件与结论后的题：

x+3y-5=0，　x+3y+7=0，　3x-y+9=0．

六、板书设计

2019-2020年高中数学第二册（上）点到直线的距离说课

各位老师，大家好！

我说课的内容是《点到直线的距离》．我将通过教材分析、目标分析、教学方法、过程设计和教学反思五个部分，阐述本课的教学设计．

一、教材分析

1．教学内容

《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．

2．地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．

二、目标分析

１．学情分析

　我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．

２．教学目标

根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．

【知识技能】

⑴理解点到直线的距离公式的推导过程；

⑵掌握点到直线的距离公式；

⑶掌握点到直线的距离公式的应用．

【数学思考】

⑴通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想；

⑵通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力；

⑶通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

【解决问题】

由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线

的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力．

【情感态度】

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣．

３．教学重点、难点

　为更好地完成教学目标，本课教学重点设置为：

【重点】

⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；

⑵点到直线的距离公式的应用．

【难点】

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．

【难点突破】

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．

三、教学方法

根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力．

四、过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节．

环节１　创设情境

在教学环节1中，以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏，以及一个具体实例：

当火车在高速行驶时，如果旅客离铁轨中心的距离小于的安全距离时，就可能被吸入车轮下而发生危险．创设情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，从而有效调动学生的学习兴趣．

（设计意图：

以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，有效调动学生的学习兴趣．）

那么“应该如何求点到直线的距离呢？

”带着这个问题，教学进入环节2．

环节２　点到直线的距离公式的推导过程

首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：

过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离．

（设计意图：

引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础．）

接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．

问题1如何求点到直线的距离？

补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．

方法①利用定义

由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点到直线的距离，转化为点、垂足两点之间距离来解决．

解：

过点作的垂线，设垂足为

方法②利用直角三角形的面积公式

结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法

的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：

由垂直条件，

可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识．

解：

过点作的垂线，交点为点

在Rt

方法③利用三角函数

根据定义作出图象后，由于涉及到Rt和直线倾斜

角，学生容易联想利用三角函数知识解决问题．

解：

过点作的垂线，垂足为

方法④利用函数的思想

在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：

连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决．

解：

设直线上的点，则

当时，取得等号，即此时点

对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点和直线的位置，引出补充问题2．

问题2如何求点到直线的距离？

组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．

在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．

（设计意图：

为了推导点到直线的距离公式，学生会

面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具

体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般

位置时，点到直线的距离的求法．）

在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．

问题3如何求点到直线（）的距离？

方法①利用定义的推导方法

通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点到直线的距离转化为点与垂足，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程．尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略，这一前提条件，而直接得到与垂直直线的斜率为．我要加以纠正，并强调对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．

方法②利用直角三角形的面积公式的的推导方法

学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了．所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力．在此过程中，应该提醒学生注意Rt三边边长的求法．

方法③利用平面向量的推导方法

由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题．所以我班部分思维能力较强的学生，可能会提出利用向量知识推导公式，我要给予肯定．尽管这种方法具有一定难度，但根据我班学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图象，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图．在这一过程中，学生可能会遇到，无法表示与直线垂直的向量的坐标的困难，我给予提示：

可以借助于，向量与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决．对于这种方法的具体推导过程，要求学生课后，在自学教材阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成．这种利用向量的算法，为今后在立体几何中，利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础．

（设计意图：

在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象．为帮助学生理清思路，在教学中强调了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读．）

点到直线的距离公式

点到直线（其中）的距离

在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：

当时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．

在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3．

环节３　点到直线的距离公式的应用

在本环节，我安排了三个典型例题．其中例1是引用教材，由于例题中所给直线的方程已经是一般式，所以学生容易忽略运用公式的前提：

首先应将直线方程化为一般式，在确定了系数的值之后，再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．为了强调运用公式的这一前提条件，我在例1中补充设置了⑶、⑷两个小问．

例1求点到下列直线的距离：

⑴　⑵　

⑶　　　⑷　

（设计意图：

通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用．同时，“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在补充例题中，使学生在“错误体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的．）

在解决了例1的基础上，由浅入深，补充了直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．

例2⑴　已知点到直线的距离为，求的值；

⑵　已知点到直线的距离为，求的值．

由于例2的两个问题中，直线方程所含参数都具有明显的几何意义：

一个表示直线的斜率，另一个表示直线在轴上的截距．所以解出参数的值后，在“几何画板”中，以数学实验的形式，通过度量进行操作确认．其中⑴随直线的不断变化，学生可观察点到直线距离的度量值、直线斜率的度量值的变化趋势．当时，可发现此时两条直线的斜率的度量值，与计算结果吻合．同时，度量出，说明点落在两条直线所成角的角平分线上（如图1）；在⑵中，学生可观察点到直线距离的度量值、直线在轴上截距的变化趋势．当时，直线在轴上的截距的度量值，也与计算结果吻合（如图2）．本例既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课对称问题和直线系

的研究设下伏笔，并由问题⑵中两平行线间距离为，引出教材的例题．

图1图2

（设计意图：

点到直线距离公式的应用，是本课的一个重点内容．在例1的基础上，增补直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．在几何画板的软件平台中，通过数学实验，让学生感受在利用代数方法研究几何问题后，再回归几何本身的重要性．）

例3求平行线和的距离．

教材上采用了类比化归的思想，将两平行直线之间的距离，转化为点到直线的距离来解决问题．由于两平行线间的距离处处相等，所以教材选择了一条直线上的特殊点，便于简化计算．学生可能会提出如果在直线上任选一点能否得到这两条平行线之间的距离的问题，由此引出了教材的习题15．根据课堂剩余时间，此题作为机动练习．

此时，本课教学任务已基本完成，为进一步巩固知识，教学进入环节4．

（设计意图：

紧扣教材，让学生体会类比化归的思想方法，同时，为课后作业中推导两平行线之间的距离公式，设下伏笔．）

环节４　课堂总结

由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．

⑴点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路；

⑵点到直线的距离公式；

⑶点到直线的距离公式的应用前提条件．

（设计意图：

通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）

课后作业

1在自学教材阅读材料“向量与直线”后，利用向量的方法证明点到直线的距离公式；

②教材13、14、16

板书设计

五、教学反思

根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下五点反思：

1．对于这一节内容，有两种不同的处理方式：

一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；

2．点到直线的距离的推导过程，含有比较抽象的字母运算．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：

利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法．让学生在明了算法步骤的前提下，再进行有效的公式推导和自学阅读；

3．向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：

基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式；

4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以我重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；

5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置，以期达到强化训练的目的．