高中数学人教版必修平面与平面垂直的性质 教案系列一.docx
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高中数学人教版必修平面与平面垂直的性质教案系列一
2.3.4平面与平面垂直的性质
一、教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：
（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.
（2）它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
三、教学重点与难点
教学重点:
平面与平面垂直的性质定理.
教学难点:
平面与平面性质定理的应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：
α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图1
（二）导入新课
思路1.（情境导入）
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
思路2.（事例导入）
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？
图2
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB
α,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.
图3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
活动:
问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.
问题②引导学生进行语言转换.
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.
讨论结果：
①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：
如图4.
图4
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：
AB⊥β.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
图5
如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB
α，AB⊥a于B.
求证：
AB⊥β.
证明：
在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证：
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.
如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：
a
α.
图6
证明：
设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,
∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么a
α.
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是：
直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：
“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
（四）应用示例
思路1
例1如图7，已知α⊥β，a⊥β,a
α,试判断直线a与平面α的位置关系.
图7
解:
在α内作垂直于α与β交线的垂线b,
∵α⊥β,
∴b⊥β.
∵a⊥β,
∴a∥b.
∵a
α,
∴a∥α.
变式训练
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：
（1）a⊥γ；
（2）b⊥γ.
图8图9
证明：
如图9,
（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a
α，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PM
γ，PN
γ，∴a⊥γ.
（2）在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.
同理,b∥a2.
∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a1
α，a2
β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.
∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
点评：
面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：
“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
例2如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=
的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
图10图11
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离.
（1）证明：
在矩形ABCD中，BC⊥AB,
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.
又∵BC
侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：
如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.
PE=
BA=
CE=
=
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：
在矩形ABCD中，AB∥CD,
∵CD
侧面PCD，AB
侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.
取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF中，EG=
为所求.
变式训练
如图12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.
图12
活动:
请同学考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：
∵面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC=BC,
面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC.
设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,
则B1C1∥AE，即BC∥AE.
过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC,
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC.
又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=
即D为BC的中点.
又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.
故AE⊥AD，AE⊥AC1,
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
∵C1D=
a，AD=
a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.
点评:
利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.
思路2
例1如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,
图13
（1）求证：
平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：
（证法一）:
由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD
平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
（证法二）:
取AB中点O，连接OD、OC,
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.
设AC=a，则OC=OD=
又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°.
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:
取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同
（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=
a，OE=
a,∴cos∠OEC=
即为所求.
变式训练
如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.
图14
（1）求证：
AC′⊥BC′；
（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；
（3）求二面角C′BDA的正切值.
（1）证明：
由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′O
ABC′,
∴面ABC′⊥面ABD.
又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.
∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.
（2）解:
∵BC′⊥面AC′D,BC′
面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH为AB在面BC′D上的射影,
∴∠ABH为AB与面BC′D所成的角.
又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3
.∴AH=
.
∴sin∠ABH=
即AB与平面BC′D所成角的正弦值为
.
（3）解:
过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角.
在Rt△AC′B中,C′O=
在Rt△BC′D中,C′G=
.
∴OG=
=
.∴tan∠C′GO=
即二面角C′BDA的正切值为
.
点评:
直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.
例2如图15,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.
图15
活动:
可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.
解：
由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角.
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得AB1=
.
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2.
在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=
.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=
，得AN=
.
sin∠AQN=
=
即二面角BB1CA的正弦值为
.
变式训练
如图16，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2
，M为BC的中点.
（1）证明：
AM⊥PM；
（2）求二面角PAMD的大小.
图16图17
（1）证明：
如图17,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,
∵△PCD为正三角形,
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
.
∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.
由勾股定理可求得EM=
，AM=
，AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.
又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.
（2）解:
由
（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM,
∴∠PME是二面角PAMD的平面角.
∴tan∠PME=
=1.∴∠PME=45°.
∴二面角PAMD为45°.
（五）知能训练
课本本节练习.
（六）拓展提升
（2007全国高考,理18）如图18,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.
（1）证明SO⊥平面ABC;
（2）求二面角ASCB的余弦值.
图18图19
（1）证明：
如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=
SA,且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=
SA.
从而OA2+SO2=SA2.所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO.
又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.
（2）解:
如图19,取SC中点M,连接AM、OM,
由
（1）,知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角ASCB的平面角.
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.又AM=
SA,故
sin∠AMO=
.
所以二面角ASCB的余弦值为
.
（七）课堂小结
知识总结：
利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：
转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3B组3、4.
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