新课标人教A版高中数学必修5教案完整版.docx

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新课标人教A版高中数学必修5教案完整版

1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程一.课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。

思考：

C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。

A能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二.讲授新课[探索研究]CB在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，AcbaBCAsinsinsin1有，，又,cccabcc则ABCsinsinsinCBabc从而在直角三角形ABC中，ABCsinsinsin思考1：

那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，

（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，abaBbAsinsin有CD=,则，ABsinsin1

cb同理可得，CBsinsinabc从而ABCsinsinsin

（2）当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导）思考2：

还有其方法吗？

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

jACABACCB（证法二）：

过点A作单位向量，由向量的加法可得jABjACCB（）则CjABjACjCB∴B00jABcos90A0jCBcos90CAacjcsinAasinC∴，即sinAsinCabcbcjBC同理，过点C作，可得从而sinBsinCABCsinsinsin从上面的研探过程，可得以下定理abc正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即ABCsinsinsin[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，akAckCbkBsinsinsin即存在正数k使，，；cbababacc

（2）等价于，，CBABABACCsinsinsinsinsinsinsinsinsin思考：

正弦定理的基本作用是什么？

bAsina①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；BsinaABsinsin②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。

b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]00A32.0B81.8ABCa42.9例1．在中，已知，，cm，解三角形。

解：

根据三角形内角和定理，00000C180（AB）180（32.081.8）66.2；2

0asinB42.9sin81.8b80.1（cm）根据正弦定理，；sinA0sin32.00asinC42.9sin66.2c74.1（cm）.根据正弦定理，sinA0sin32.0评述：

对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

ABC练习：

在中，已知下列条件解三角形。

A45C30A60B45c10cmc20cm

（1），，，

（2），，00A40ABCa20b281例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。

解：

根据正弦定理，0bsinA28sin400000B640180B116.BsinB0.8999.因为＜＜，所以，或a200asinC20sin76000000C180（AB）180（4064）76B64c30（cm）.⑴当时，，sinA0sin400asinC20sin24000000C180（AB）180（40116）24B116c13（cm）.⑵当时，，sinA0sin40应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

课堂练习第4页练习第2题。

abckk（>o）思考题：

在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？

ABCsinsinsin三.课时小结（由学生归纳总结）abcabckk0

（1）定理的表示形式：

；ABCABCsinsinsinsinsinsinkakAckCbkB（0）sinsinsin或，，

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

四.课后作业：

P10面1、2题。

3

1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：

由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：

根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境请学生回答完后再提问：

前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？

”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。

求A、B两点的距离（精5175确到0.1m）4

提问1：

ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：

运用该定理解题还需要那些边和角呢？

请学生回答。

分析：

这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

ACAB解：

根据正弦定理，得=sinACBsinABC55sin75ACsinACB55sinACB55sin75=≈65.7（m）AB===sin54sinABCsinABCsin（1805175）答:

A、B两点间的距离为65.7米变式练习：

两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

2老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：

akm例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：

这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。

首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：

测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得asin（）asin（）AC==sin[180（）]sin（）asinasinBC==sin[180（）]sin（）计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离22AB=ACBC2ACBCcos分组讨论：

还没有其它的方法呢？

师生一起对不同方法进行对比、分析。

5

变式训练：

若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=606略解：

将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20评注：

可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

4、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

5、课堂练习：

课本第14页练习第1、2题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：

检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解四、课后作业1、课本第22页第1、2、3题2、思考题：

某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。

公路的走向是M站的北偏东40。

开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。

问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：

由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。

在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得22223ACBCABcosC==,2ACBC3143222则sinC=1-cosC=,2316

123sinC=,31353所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=62在MAC中，由正弦定理得31ACsinMAC353MC===3562sinAMC32从而有MB=MC-BC=15答：

汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

7

1.2解三角形应用举例第二课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。

3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点重点：

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程Ⅰ.课题导入提问：

现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？

今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：

求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：

选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。

由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得asinsinasinsinAC=AB=AE+h=AC+h=+hsin（）sin（）40例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯8

1角=50。

已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD（精确到1m）师:

根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？

若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？

生：

需求出BD边。

师：

那如何求BD边呢？

生：

可首先求出AB边，再根据BAD=求得。

解:

在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BCABBAC=-,BAD=.根据正弦定理,=sin（）sin（90）BCsin（90）BCcosBCcossin所以AB==在RtABD中,得BD=ABsinBAD=sin（）sin（）sin（）27.3cos501sin544027.3cos501sin5440将测量数据代入上式,得BD==≈177（m）sin439sin（5440501）CD=BD-BC≈177-27.3=150（m）答:

山的高度约为150米.思考：

有没有别的解法呢？

若在ACD中求CD，可先求出AC。

思考如何求出AC？

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.思考1：

欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

（在BCD中）思考2：

在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？

（BC边）解:

在ABC中,A=15,C=25-15=10,根据正弦定理,BCABABsinA=,BC=≈7.4524（km）CD=BCtanDBC≈BCtan8≈sinCsinAsinC1047（m）9

答:

山的高度约为1047米Ⅲ.课堂练习：

课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

Ⅴ.课后作业1.2解三角形应用举例第三课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。

二、教学重点、难点重点：

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：

前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？

今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?

（角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile）学生看图思考并讲述解题思路10

分析：

首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：

在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，2222ABBC2ABBCcosABC67.554.0267.554.0cos137AC==≈113.1554.0sin137BCACBCsinABC根据正弦定理,=sinCAB==≈113.15ACsinCABsinABC0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:

此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端3A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：

（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，3AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，30103=。

因为sin4=2sin2cos2sin（1804）sin23cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=152答：

所求角为15，建筑物高度为15m解法二：

（设方程来求解）设DE=x，AE=h22222233在RtACE中,（10+x）+h=30在RtADE中,x+h=（10）11

h33两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==3103x2=30,=15答：

所求角为15，建筑物高度为15m解法三：

（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得3BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10mx4在RtACE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②301033②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=152答：

所求角为15，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？

需要多少时间才追赶上该走私船？

师：

你能根据题意画出方位图？

教师启发学生做图建立数学模型分析：

这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：

如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=+=7512045222（14x）=9+（10x）-2910xcos120392化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-（舍去）216所以BC=10x=15,AB=14x=21,12

15BCsin120353又因为sinBAC===AB214214713，BAC=38,或BAC=141（钝角不合题意，舍去）131338+=834513答：

巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：

在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习课本第16页练习Ⅳ.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

Ⅴ.课后作业13

1.2解三角形应用举例第四课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。

另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验二、教学重点、难点重点：

推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点：

利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题三、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：

以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。

在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？

abc生：

h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaAabc1师：

根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可a21以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？

211生：

同理可得，S=bcsinA,S=acsinB22Ⅱ.讲授新课[范例讲解]2例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）

（1）已知a=14cm,c=24cm,B=150;

（2）已知B=60,C=45,b=4cm;（3）已知三边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm分析：

这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们14

可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？

求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：

略例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？

（精确到20.1cm）？

思考：

你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

解：

设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，222222cab1276888cosB==≈0.75322ca2127681210.7532sinB=0.6578应用S=acsinB212S≈681270.6578≈2840.38（m）22答：

这个区域的面积是2840.38m。

3变式练习1：

已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：

解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

33答案：

a=6,S=9;a=12,S=18例3、在ABC中，求证：

2222a