小学数学教学中常见的问题与思考.docx

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小学数学教学中常见的问题与思考

小学数学教学中常见的问题与思考

马口小学数学教研组材料

1.最小的一位数是几？

表示各个不同的计数单位所占的位置，叫做数位。

表示一个数占有几个数位的数叫做位数。

3285，在十进制中的数位从右起往左有个位、十位、百位……每位数上的单位数，个位上是1，十位上10，百位上是100。

一个数如果千位以上的数字都是0，只有百位上有不为0的数字，则此数是三位数。

一个数若是两位数，其中十位数字不是0所表示的数叫做二位数。

同理，用一个不是零所表示的数叫做一位数。

由此可知，0不是一位数，所以最小的一位数绝不是0。

那么最小的一位数是几呢？

我们知道，一个数中每位数的单位数最小，三位数中最小的数是100，二位数中最小的数是10，所以，一位数中最小的数就是1。

2.“0”为什么是偶数？

0÷2=0，所以0是偶数，因为0能被2整除。

0在数轴上正处于偶数的位置，也说明0是偶数。

我们一般用2n表示偶数，当n=0时，2n就是0，说明了0就是偶数。

肯定0是偶数，不仅如上所述，合乎偶数的定义，而且在叙述数学规律时有很大便利。

例如：

中学代数讲到乘方运算符号法则时，总结出这么一条规律：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，这里，偶次幂就包括0次幂在内。

3.甲数比乙数多，乙数比甲数少几分之几？

甲数比乙数多几分之几，是指甲数比乙数多的部分占乙数的几分之几，是以乙数为标准数的；而乙数比甲数少几分之几，是指乙数比甲数少的部分占甲数的几分之几，是以甲数为标准数的。

两者的标准数不同，因此答案也不一样。

分子不变，还是1，如果是问少几分之几，分母就是原分母与分子的和，如果是问多几分之几，分母就是原分母与分子的差。

4.X÷12＝7……3是方程吗？

等式是表示两个数（或两个代数式）相等的算式，而代数式是用“＋”“－”“×”“÷”、乘方、开方以及括号等表示运算法则或顺序的符号联结数字或字母得到的式子。

“……”并不表示7与3之间的某种运算关系，也不表示运算顺序，因此“7……3”不是代数式，“X÷12＝7……3”不是等式。

等式应满足传递性和对称性

①根据87÷12＝7……3，73÷10＝7……3，无法得出87÷12＝73÷10

②将87÷12＝7……3变成7……3＝87÷12，就毫无意义。

5.比值能否用百分数表示？

百分数是分数的一种特殊情况，只表示两个同类量的倍比关系，而不表示具体的数量。

比值表示两个数量的倍比关系，可分为同类量的倍比关系和不同类量的倍比关系。

表示同类量的倍比关系可以用百分数来表示。

如“甲车速度与乙车速度的比值是2”可以说成“甲车速度与乙车速度的比

是200%”。

表示不同类量的倍比关系不能用百分数表示。

如根据“一辆汽车3小时行了180千米”，可得这辆汽车行驶的路程和时间的比值是60千米/时，此处路程和时间的比值不能用百分数表示。

一分为二地考虑。

6.互为倒数的两个数成反比例吗？

“两个数”可以表示两个确定的数，也可以表示两个变量。

可以看出“两个数”可以指具体的数也可以指变量是不争的事实，因此，互为倒数的两个数成反比例。

7.正方体的体积一定，底面积和高成什么比例？

正方体的体积一定，底面积和高不成比例。

因为，当正方体的体积一定时，底面积和高都是固定的，不可变。

为什么部分学生会认为正方体的体积一定，底面积和高成反比例呢？

人教版六年级上册第42页是这样描述的：

“如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示：

x×y=k（一定）。

”部分学生可能将这句话简化成“积一定，成反比”（部分教师教学时，也讲“商一定，成正比；积一定，成反比”），关注的是“积一定”，而忽略了两种相关联的量必须是变量这一重要条件。

如何让学生深刻理解正、反比例关系中的“变量”呢？

以人教版教材为例，教师可充分利用第42页教材中将相同体积的水倒入不同杯子的实验及得到的底面积与高的数据表，让学生充分感知底面积与高的变化规律，认识到反比例关系必须建立在“变量”的基础上。

成比例的两个量必须是变量。

8.在同一个圆中，能说圆面积和周长的比是2分之r吗？

比可分为同类量的比和不同类量的比.同类量的比，是在两个相同单位的量之间进行的比，比值表示“一个数是另一个数的几倍（或几分之几）”，如在同一个圆中周长与直径的比；不同类量的比，是在两个单位不同但相关的量之间进行的，如汽车行驶的路程和时间的比。

我们认为，在同一个圆中面积与周长的比为2分之r，揭示了同圆中面积与周长的数量关系，是圆的一种重要数学特征。

另外，通过不同类量的比来研究事物的现象普遍存在。

因此，我们认为在同一个圆中，既可以进行同类量的比，如直径和半径的比，也可以进行不同类量的比，如面积与周长的比。

9.有12个苹果，要平均分到若干个盘子里，可以怎样分？

有学生说可以分在1个盘子里，行吗？

“平均分”隐含“分成几部分”、“各部分一样多”。

综观教材中涉及“平均分”的内容，都是至少分成2份。

我们建议大家注意以下问题：

①除法算式并不等于分法。

首先，一个算式能表示2种分法；其次，本题应该根据分法写算式，而不是根据算式确定分法。

②生活中的“放法”不等于数学中“分法”。

“分法”是将整体分成几个部分，强调“分”。

而“放法”可以分开放到几处，也可以集中放在一起。

将12个苹果放到1个盘子里，没有体现“分”的特点，只能算1种放法，而不能算1种分法。

10.用0、1、2组成的最大小数是20.1还是21.0？

小数是十进制分数的特殊表现形式。

从小数意义的角度看，把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……表示这样的十分之几、百分之几、千分之几等的数（如0.1、0.36、0.854）都是小数。

21.0中的0在十分位上，起了占位的作用。

从小数的结构看，每个小数都是由整数部分、小数点和小数部分组成。

21.0完全符合小数的基本结构。

无论是从小数的意义还是小数的结构看，都不能认为可以化成整数的小数就不是小数，因此，毫无疑问，用0、1、2组成最大的小数应该是21.0。

11.是真分数吗？

⏹各种教材中对分数的定义基本上都是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

”

⏹从这里的定义看，教材中分数的分子、分母都是非零自然数。

⏹人教版五年级下册第69页写道：

“分子比分母小的分数叫真分数。

”

⏹北师大版五年级上册第34页写道：

“像，，，，……这样的分数叫真分数。

”

根据教材中关于分数和真分数的定义，我们认为真分数的分子和分母都是非零自然数，所以不是一个真分数。

12.乙数是甲数的，甲、乙两数和的倒数除以甲数，商是多少？

解答本题时，多数教师会根据“乙数是甲数的”设乙数为

1，甲数为2，得到“商是”。

可是，如果设甲数为1，乙数为，则最后的结果为。

这里用的是“依比设数法”，小学阶段解决与比（或分数）

有关的题时，多数情况下此法很“管用”。

如：

“A、B两个正方形的边长比是1︰2，求它们的面积比。

”设A、B的边长分别为1、2，它们的面积比是1︰4，再设A、B的边长为符合1︰2条件的其他数值，它们的面积比仍然为1︰4。

为何用依比设数法，有时结果唯一，有时出现多个结果？

⏹我们不妨从代数的角度进行分析：

如果设正方形A、B的边长分别为x、2x，它们的面

积比是︰=1︰4，结果为定值；

如果设甲、乙两数分别为2x、x，则有÷2x=

，最后的结果中仍然含有未知数，即结果随着x值的不同

而不同。

严格来说，以上两例都要用代数方法解答。

但是考虑到小学生的知识现状，教材中出现的与比有关的题几乎全部是属于“结果为定值”的情况，即都可以通过依比设数法“解答”。

建议教学时，既要让学生用依比设数的方法解答类似的题目，又要让学生学会用不同的数去验证结果是否为定值。

在设置题目时，要避免结果不唯一的情况出现。

对于一些学有余力的学生，要鼓励他们尽可能用代数知识解答这类题目，加强中学、小学知识的衔接，为学生的后续发展打下坚实基础。

13.抓住本质，揭开谜雾

⏹“30÷8=60÷（）。

”30÷8、60÷18的结果都是商3余6，但为什么括号里不能填18？

⏹等式的传递性和商不变的性质都是数学中的重要性质，他们应该和谐统一，而不是相互矛盾的。

出现矛盾的根源在于：

⏹第一，教材中的“商”可以分为“全商”和“半商”。

“全商”，如“6÷3=2”、“30÷8=3.75”中的2和3.75，是除法运算的最终结果，是一个具体的数值，离开具体的除法环境仍然有意义。

“半商”，如“30÷8=3……6”、“60÷18=3……6”中的3，只有和余6结合起来，才能表示除法的结果。

“3……6”不是一个具体的数，也不是通常意义下的运算式，而是一个组合体（其中3和6的意义不一样），脱离了具体的除法算式，它的意义不明确。

⏹第二，等式的传递性是对数或能算出具体数值的式而言的。

如由12÷6=2、1÷0.5=2、300÷150=2可得到12÷6=1÷0.5=300÷150=2。

“3……6”只是为了便于理解而采用的一种表达形式，本身并不是一个数，也不是通常意义下的式，所以尽管30÷8、60÷18的结果写成带余数的形式都是“3……6”，但不能根据等式的传递性推出30÷8=60÷18。

14.产品合格率一定，不合格产品数和合格产品数成正比例吗？

为什么？

⏹如果合格率是100%（或0%），那么不合格产品数（或合格产品数）为0，不是变量，不能说它们成正比例。

⏹如果合格率不为0%或100%，不妨设合格率为k（0＜k＜1，且k为定值）。

若总产品数为x件，则合格产品y=kx，x=。

设不合格产品为z，则z=x－y=－y=（－1）y，其中－1为定值，不妨记为a，则有z=ay（a为定值且不为0），即不合格产品和合格产品成正比例。

⏹为避免出现合格率为0%或100%时学生理解困难，甚至钻牛角尖，建议原题附上合格率范围“0＜k＜1”。

15、

省略亿后面的尾数求近似值是还是100亿？

⏹约有45%的教师认为和100亿相等，都行。

人教版四年级上册第15页例题“12756≈10000=1万”边旁注：

“是‘舍’还是‘入’，要看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5”；第22页习题“≈亿”边旁注“不是整亿数的用四舍五入法省略亿位后面的尾数”，可见“省略亿位后面的尾数”是按“四舍五入”取近似值，保留到亿位。

⏹和100亿虽然相等，但作为近似数时，精确到个位，有11个有效数字；而100亿是精确到亿位，只有3个有效数字。

因此，本题的答案是100亿。

17、直观经验有时并不可靠

把一块长方体木块削成圆柱体，以最大的面为

底面削成的圆柱体是不是能削成的圆柱体中体积

最大的？

老师“论证”的方法主要有两类：

①根据经验说理。

若长方体有一组面是正方形，则以正方形的面为底削成的最大圆柱体的体积是能削成的圆柱体中体积最大的（记为经验A）；若长方体中没有正方形的面，则以棱长最接近的两棱所在的面为底削成的最大圆柱体是能削成的圆柱体中体积最大的（记为经验B）。

这种“论证”受“正方形内剪出的面积最大的圆是面积相等的四边形中能剪出的圆中面积最大的”、“长方形的两邻边相差越小越接爱正方形”等直观经验的影响。

②举例论证。

如有教师以长5米、宽4米、高9米的长方体为例，算出以长、宽所在面（最小的面）为底削成的最大圆柱体的体积是113.04立方米，以长、高所在面（最大的面）为底削成的最大圆柱体的体积是78.5立方米，以宽、高所在的面为底削成的最大圆柱体的体积是62.8立方米，得出以最大面为底削成的圆柱体体积不是能削成的圆柱体中体积最大的。

如长方体的长、宽、高分别为7、4、2厘米时，能削成的最大圆柱体是以长、宽所在面为底面，而不是以宽、高所在面为底面。

可见，直观经验有时并不可靠